Симметрии пространства-времени

Эта статья включает список ссылок , связанных чтений или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Май 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Пространственно-временные симметрии — это свойства пространства-времени , которые можно описать как демонстрирующие некоторую форму симметрии . Роль симметрии в физике важна для упрощения решений многих проблем. Пространственно-временные симметрии используются при изучении точных решений уравнений поля Эйнштейна общей теории относительности . Пространственно-временные симметрии отличаются от внутренних симметрий .

Физические проблемы часто исследуются и решаются путем выявления особенностей, имеющих некоторую форму симметрии. Например, в решении Шварцшильда сферическая симметрия играет важную роль в выводе решения Шварцшильда и выведении физических следствий этой симметрии (таких как отсутствие гравитационного излучения в сферически пульсирующей звезде). В космологических проблемах симметрия играет роль в космологическом принципе , который ограничивает тип вселенных, согласующихся с крупномасштабными наблюдениями (например, метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (FLRW) ). Симметрии обычно требуют некоторой формы сохранения свойств, наиболее важными из которых в общей теории относительности являются следующие:

• сохранение геодезических пространств-времени
• сохранение метрического тензора
• сохранение тензора кривизны

Эти и другие симметрии будут рассмотрены ниже более подробно. Это свойство сохранения, которым обычно обладают симметрии (упоминавшееся выше), может быть использовано для обоснования полезного определения самих этих симметрий.

Строгое определение симметрий в общей теории относительности было дано Холлом (2004). В этом подходе идея состоит в том, чтобы использовать (гладкие) векторные поля , чьи локальные диффеоморфизмы потока сохраняют некоторое свойство пространства-времени . (Обратите внимание, что следует подчеркнуть в своих размышлениях, что это диффеоморфизм — преобразование на дифференциальном элементе. Подразумевается, что поведение объектов с протяженностью может быть не столь явно симметричным. ) Это сохраняющее свойство диффеоморфизмов уточняется следующим образом. Говорят, что гладкое векторное поле X на пространстве-времени M сохраняет гладкий тензор T на M (или T инвариантно относительно X ), если для каждого гладкого локального диффеоморфизма потока ϕ _{t ,} связанного с X , тензоры T и ϕ^∗
_т( T ) равны в области определения ϕ _t . Это утверждение эквивалентно более удобному условию, что производная Ли тензора под векторным полем обращается в нуль: на M . Это имеет следствием то, что для любых двух точек p и q на M координаты T в системе координат вокруг p равны координатам T в системе координат вокруг q . Симметрия в пространстве-времени представляет собой гладкое векторное поле, локальные потоковые диффеоморфизмы которого сохраняют некоторую (обычно геометрическую) особенность пространства-времени. (Геометрическая) особенность может относиться к конкретным тензорам (таким как метрика или тензор энергии-импульса) или к другим аспектам пространства-времени, таким как его геодезическая структура. Векторные поля иногда называют коллинеациями , векторными полями симметрии или просто симметриями . Множество всех векторных полей симметрии на M образует алгебру Ли относительно операции скобок Ли , как видно из тождества: член справа обычно записывается, с некоторой долей злоупотребления обозначениями , как$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T=0}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{[X,Y]}T={\mathcal {L}}_{X}({\mathcal {L}}_{Y}T)-{\mathcal {L}}_{Y}({\mathcal {L}}_{X}T)}$$$${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]T.}$$

Векторные поля Киллинга являются одним из важнейших типов симметрий и определяются как гладкие векторные поля X , сохраняющие метрический тензор g :$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0.}$$

В развернутом виде это обычно записывается так:$${\displaystyle X_{a;b}+X_{b;a}=0.}$$

Векторные поля Киллинга находят широкое применение (в том числе в классической механике ) и связаны с законами сохранения .

Гомотетическим векторным полем называется поле, удовлетворяющее условию: где c — действительная константа. Гомотетические векторные поля находят применение при изучении сингулярностей в общей теории относительности.$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=2cg.}$$

Аффинное векторное поле — это поле, удовлетворяющее:$${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}g)_{ab;c}=0}$$

Аффинное векторное поле сохраняет геодезические и сохраняет аффинный параметр.

Вышеуказанные три типа векторных полей являются частными случаями проективных векторных полей , которые сохраняют геодезические, но не обязательно сохраняют аффинный параметр.

Конформное векторное поле — это поле, которое удовлетворяет условию: где ϕ — гладкая вещественная функция на M.$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\phi g}$$

Коллинеация кривизны — это векторное поле, сохраняющее тензор Римана :$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}{R^{a}}_{bcd}=0}$$

где R ^a _bcd — компоненты тензора Римана. Множество всех гладких коллинеаций кривизны образует алгебру Ли относительно операции скобок Ли (если условие гладкости опущено, множество всех коллинеаций кривизны не обязательно образует алгебру Ли ). Алгебра Ли обозначается CC ( M ) и может быть бесконечномерной . Каждое аффинное векторное поле является коллинеацией кривизны.

Менее известная форма симметрии касается векторных полей, которые сохраняют тензор энергии-импульса. Они по-разному называются материальными коллинеациями или материальными симметриями и определяются как: где T — ковариантный тензор энергии-импульса. Здесь можно подчеркнуть тесную связь между геометрией и физикой, поскольку векторное поле X рассматривается как сохраняющее определенные физические величины вдоль линий потока X , что верно для любых двух наблюдателей. В связи с этим можно показать, что каждое векторное поле Киллинга является материальными коллинеациями (согласно уравнениям поля Эйнштейна, с космологической постоянной или без нее ). Таким образом, при наличии решения УЭФ векторное поле, сохраняющее метрику, обязательно сохраняет соответствующий тензор энергии-импульса . Когда тензор энергии-импульса представляет собой идеальную жидкость, каждое векторное поле Киллинга сохраняет плотность энергии, давление и векторное поле потока жидкости. Когда тензор энергии-импульса представляет собой электромагнитное поле, векторное поле Киллинга не обязательно сохраняет электрическое и магнитное поля.$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T=0}$$

Этот раздел пуст. Вы можете помочь, дополнив его. ( Июль 2010 )

Как упоминалось в начале статьи, основное применение этих симметрий происходит в общей теории относительности, где решения уравнений Эйнштейна можно классифицировать, налагая некоторые определенные симметрии на пространство-время.

Классификация решений EFE составляет большую часть исследований общей теории относительности. Различные подходы к классификации пространства-времени, включая использование классификации Сегре тензора энергии-импульса или классификации Петрова тензора Вейля, были широко изучены многими исследователями, в частности Стефани и др. (2003). Они также классифицируют пространство-время с использованием векторных полей симметрии (особенно симметрии Киллинга и гомотетической симметрии). Например, векторные поля Киллинга могут использоваться для классификации пространства-времени, поскольку существует ограничение на количество глобальных, гладких векторных полей Киллинга, которыми может обладать пространство-время (максимум десять для четырехмерных пространств-времени). Вообще говоря, чем выше размерность алгебры векторных полей симметрии в пространстве-времени, тем большую симметрию допускает пространство-время. Например, решение Шварцшильда имеет алгебру Киллинга размерности четыре (три пространственных вращательных векторных поля и временной перенос), тогда как метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (исключая статический подслучай Эйнштейна) имеет алгебру Киллинга размерности шесть (три переноса и три вращения). Статическая метрика Эйнштейна имеет алгебру Киллинга размерности семь (предыдущие шесть плюс временной перенос).

Предположение о том, что пространство-время допускает определенное векторное поле симметрии, может накладывать ограничения на пространство-время.

Следующие пространства-времена имеют свои собственные статьи в Википедии:

• Статическое пространство-время
• Стационарное пространство-время
• Сферически симметричное пространство-время
• Пространство Минковского
• пространство де Ситтера
• Пространство анти-де Ситтера

• Выводы преобразований Лоренца
• Поле (физика)  – Физические величины, принимающие значения в каждой точке пространства и времени.
• Тензор Киллинга  – симметричное (0,2)-тензорное поле T, такое, что полная симметризация его ковариантной производной равна нулюСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Теорема Нётер  – Утверждение, связывающее дифференцируемые симметрии с сохраняющимися величинами.
• Разложение Риччи
• Симметрия в физике  – свойство системы, сохраняющееся при некотором преобразовании.Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Симметрия в квантовой механике  – свойства, лежащие в основе современной физики
• Группы Ли  – Группа, которая также является дифференцируемым многообразием с гладкими групповыми операциями.Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Группа Лоренца  – Группа Ли преобразований Лоренца
• Группа Пуанкаре  – Группа симметрий плоского пространства-времени
• Группа Бонди–Мецнера–Сакса  – Асимптотическая группа симметрии общей теории относительности
• Группа Элерса  – Физическая концепция
• Группа Герох

• Холл, Грэм (2004). Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности (Всемирные научные заметки по физике) . Сингапур: World Scientific. ISBN 981-02-1051-5.. Определение симметрии см. в разделе 10.1 .
• Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; Маккаллум, Малкольм; Хоенселаерс, Корнелиус; Херлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7.
• Шютц, Бернард (1980). Геометрические методы математической физики . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-29887-3.. См. Главу 3 для свойств производной Ли и Раздел 3.10 для определения инвариантности.