Неэрмитова квантовая механика
Понятие в физике

В физике неэрмитова квантовая механика описывает квантово-механические системы, в которых гамильтонианы не являются эрмитовыми .

История

Первая статья, в названии которой есть «неэрмитова квантовая механика», была опубликована в 1996 году [1] Наомити Хатано и Дэвидом Р. Нельсоном. Авторы сопоставили классическую статистическую модель закрепления линий потока столбчатыми дефектами в высокотемпературных сверхпроводниках с квантовой моделью с помощью обратного интеграла по траектории и в итоге получили неэрмитовый гамильтониан с мнимым векторным потенциалом в случайном скалярном потенциале. Затем они сопоставили это с решеточной моделью и придумали модель сильной связи с асимметричным прыжком, которая теперь широко называется моделью Хатано-Нельсона. Авторы показали, что существует область, где все собственные значения являются действительными, несмотря на неэрмитовость.

Симметрия четности–времени (PT) изначально изучалась как специфическая система в неэрмитовой квантовой механике. [2] [3] В 1998 году физик Карл Бендер и бывший аспирант Стефан Бетчер опубликовали статью [4] , в которой они обнаружили, что неэрмитовы гамильтонианы, наделенные ненарушенной PT-симметрией (инвариантностью относительно одновременного действия операторов инверсии четности и обращения времени ), также могут обладать действительным спектром. При правильно определенном внутреннем произведении собственные функции PT-симметричного гамильтониана имеют положительные нормы и демонстрируют унитарную временную эволюцию , что является требованиями для квантовых теорий. [5] За свою работу Бендер получил премию Дэнни Хайнемана 2017 года по математической физике . [6]

Тесно связанной концепцией является концепция псевдоэрмитовых операторов, которые рассматривались физиками Полем Дираком [7] , Вольфгангом Паули [8] , а также Цунг-Дао Ли и Джан Карло Виком [9] . Псевдоэрмитовы операторы были открыты (или переоткрыты) почти одновременно математиками Марком Крейном и его коллегами [10] [11] [12] [13] как G-гамильтоновы [ необходимо разъяснение ] при изучении линейных динамических систем. Эквивалентность между псевдоэрмитовостью и G-гамильтонианом легко установить. [14]

В начале 1960-х годов Ольга Таусская, Майкл Дразин и Эмили Хейнсворт продемонстрировали, что необходимым и достаточным критерием для того, чтобы конечномерная матрица имела действительные собственные значения, является то, что указанная матрица является псевдоэрмитовой с положительно определенной метрикой. [15] [16] В 2002 году Али Мостафазаде показал, что диагонализуемые PT-симметричные гамильтонианы принадлежат к классу псевдоэрмитовых гамильтонианов. [17] [18] [19] В 2003 году было доказано, что в конечных измерениях PT-симметрия эквивалентна псевдоэрмитовости независимо от диагонализуемости, [20] тем самым применяясь к физически интересному случаю недиагонализуемых гамильтонианов в исключительных точках. Это указывает на то, что механизм нарушения PT-симметрии в точках исключения, где гамильтониан обычно не диагонализуем, представляет собой столкновение Крейна между двумя собственными модами с противоположными знаками действий.

В 2005 году PT-симметрия была введена в область оптики исследовательской группой Гонсало Муги, отметившей, что PT-симметрия соответствует наличию сбалансированного усиления и потери. [21] В 2007 году физик Деметриос Христодулидес и его коллеги продолжили изучение последствий PT-симметрии в оптике. [22] [23] В последующие годы были проведены первые экспериментальные демонстрации PT-симметрии в пассивных и активных системах. [24] [25] PT-симметрия также применялась к классической механике , метаматериалам , электрическим цепям и ядерному магнитному резонансу . [26] [22] В 2017 году Дордже Броди и Маркус Мюллер предложили неэрмитов PT-симметричный гамильтониан , который «формально удовлетворяет условиям гипотезы Гильберта–Полиа ». [27] [28]

Ссылки

  1. ^ Хатано, Наомити; Нельсон, Дэвид Р. (1996-07-15). «Переходы локализации в неэрмитовой квантовой механике». Physical Review Letters . 77 (3): 570– 573. arXiv : cond-mat/9603165 . Bibcode : 1996PhRvL..77..570H. doi : 10.1103/PhysRevLett.77.570. S2CID  43569614.
  2. ^ Н. Моисеев, «Неэрмитова квантовая механика», Cambridge University Press, Кембридж, 2011
  3. ^ "Несамосопряженные операторы в квантовой физике: математические аспекты". Wiley.com . 2015-07-20 . Получено 2018-06-12 .
  4. ^ Бендер, Карл М.; Бетчер, Стефан (1998-06-15). "Действительные спектры в неэрмитовых гамильтонианах, имеющих симметрию $\mathsc{P}\mathsc{T}$". Physical Review Letters . 80 (24): 5243– 5246. arXiv : physics/9712001 . Bibcode : 1998PhRvL..80.5243B. doi : 10.1103/PhysRevLett.80.5243. S2CID  16705013.
  5. ^ Бендер, Карл М. (2007). «Making sense of non-Hermitian Hamiltonians». Reports on Progress in Physics . 70 (6): 947– 1018. arXiv : hep-th/0703096 . Bibcode :2007RPPh...70..947B. doi :10.1088/0034-4885/70/6/R03. ISSN  0034-4885. S2CID  119009206.
  6. ^ «Премия Дэнни Хейнемана по математической физике».
  7. ↑ Дирак, ПАМ (18 марта 1942 г.). «Бейкерианская лекция — Физическая интерпретация квантовой механики». Труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки . 180 (980): 1– 40. Bibcode : 1942RSPSA.180....1D. doi : 10.1098/rspa.1942.0023 .
  8. ^ Паули, В. (1 июля 1943 г.). «О новом методе квантования поля Дирака». Reviews of Modern Physics . 15 (3): 175– 207. Bibcode : 1943RvMP...15..175P. doi : 10.1103/revmodphys.15.175.
  9. ^ Ли, ТД; Вик, ГЦ (февраль 1969). «Отрицательная метрика и унитарность S-матрицы». Nuclear Physics B. 9 ( 2): 209–243 . Bibcode :1969NuPhB...9..209L. doi :10.1016/0550-3213(69)90098-4.
  10. ^ М. Г. Крейн, “Обобщение некоторых исследований А. М. Ляпунова по линейным дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами”, ДАН СССР 73, 445 (1950).
  11. ^ М. Г. Крейн, Очерки дифференциальных и интегральных уравнений и теории операторов (Биркхаузер, 1983).
  12. ^ И. М. Гельфанд и В. Б. Лидский, “О структуре областей устойчивости линейных канонических систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами”, УМН 10:1(63), 3−40 (1955).
  13. ↑ В. Якубович и В. Старжинский, Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами (М.: Изд-во МГУ, 1975), т. I.
  14. ^ Чжан, Жуйли; Цинь, Хун; Сяо, Цзяньюань (2020-01-01). «PT-симметрия влечет за собой псевдоэрмитовость независимо от диагонализуемости». Журнал математической физики . 61 (1): 012101. arXiv : 1904.01967 . Bibcode : 2020JMP....61a2101Z. doi : 10.1063/1.5117211. ISSN  0022-2488. S2CID  102483351.
  15. ^ Таусский, Ольга; Паркер, В. (1960). «Проблема 4846». The American Mathematical Monthly . 67 (2): 192– 193. doi :10.2307/2308556.
  16. ^ Дразин, Майкл (1962). «Критерии реальности собственных значений матрицы». Mathematische Zeitschrift . 78 (1): 449–452 . doi : 10.1007/BF01195188.
  17. ^ Mostafazadeh, Ali (2002). «Псевдоэрмитовость против симметрии: необходимое условие реальности спектра неэрмитова гамильтониана». Журнал математической физики . 43 (1): 205– 214. arXiv : math-ph/0107001 . Bibcode :2002JMP....43..205M. doi :10.1063/1.1418246. ISSN  0022-2488. S2CID  15239201.
  18. ^ Mostafazadeh, Ali (2002). «Псевдоэрмитовость против PT-симметрии. II. Полная характеристика неэрмитовых гамильтонианов с действительным спектром». Журнал математической физики . 43 (5): 2814– 2816. arXiv : math-ph/0110016 . Bibcode :2002JMP....43.2814M. doi :10.1063/1.1461427. ISSN  0022-2488. S2CID  17077142.
  19. ^ Mostafazadeh, Ali (2002). «Псевдоэрмитовость против PT-симметрии III: Эквивалентность псевдоэрмитовости и наличие антилинейных симметрий». Журнал математической физики . 43 (8): 3944– 3951. arXiv : math-ph/0107001 . Bibcode :2002JMP....43.3944M. doi :10.1063/1.1489072. ISSN  0022-2488. S2CID  7096321.
  20. ^ Сколаричи, Г. (2003-10-01). «О псевдоэрмитовых недиагонализуемых гамильтонианах». Журнал математической физики . 44 (10): 4450– 4459. arXiv : quant-ph/0211161 . doi :10.1063/1.1609031.
  21. ^ Ruschhaupt, A; Delgado, F; Muga, JG (2005-03-04). "Физическая реализация -симметричного потенциального рассеяния в плоском волноводе". Journal of Physics A: Mathematical and General . 38 (9): L171 – L176 . arXiv : 1706.04056 . doi :10.1088/0305-4470/38/9/L03. ISSN  0305-4470. S2CID  118099017.
  22. ^ ab Бендер, Карл (апрель 2016 г.). «PT-симметрия в квантовой физике: от математического любопытства до оптических экспериментов». Europhysics News . 47, 2 (2): 17– 20. Bibcode : 2016ENews..47b..17B. doi : 10.1051/epn/2016201 .
  23. ^ Makris, KG; El-Ganainy, R.; Christodoulides, DN; Musslimani, ZH (2008-03-13). "Динамика пучка в симметричных оптических решетках $\mathcal{P}\mathcal{T}$". Physical Review Letters . 100 (10): 103904. Bibcode : 2008PhRvL.100j3904M. doi : 10.1103/PhysRevLett.100.103904. PMID  18352189.
  24. ^ Guo, A.; Salamo, GJ; Duchesne, D.; Morandotti, R .; Volatier-Ravat, M.; Aimez, V.; Siviloglou, GA; Christodoulides, DN (2009-08-27). "Наблюдение нарушения $\mathcal{P}\mathcal{T}$-симметрии в комплексных оптических потенциалах". Physical Review Letters . 103 (9): 093902. Bibcode : 2009PhRvL.103i3902G. doi : 10.1103/PhysRevLett.103.093902. PMID  19792798.
  25. ^ Рютер, Кристиан Э.; Макрис, Константинос Г.; Эль-Ганайни, Рами; Христодулидес, Деметриос Н.; Сегев, Мордехай; Кип, Детлеф (март 2010 г.). «Наблюдение симметрии четности–времени в оптике». Nature Physics . 6 (3): 192– 195. Bibcode :2010NatPh...6..192R. doi : 10.1038/nphys1515 . ISSN  1745-2481.
  26. ^ Миллер, Джоанна Л. (октябрь 2017 г.). «Исключительные точки создают исключительные датчики». Physics Today . 10, 23 (10): 23–26 . Bibcode : 2017PhT....70j..23M. doi : 10.1063/PT.3.3717 .
  27. ^ Бендер, Карл М.; Броди, Дордже К.; Мюллер, Маркус П. (2017-03-30). "Гамильтониан для нулей дзета-функции Римана". Physical Review Letters . 118 (13): 130201. arXiv : 1608.03679 . Bibcode : 2017PhRvL.118m0201B. doi : 10.1103/PhysRevLett.118.130201. PMID  28409977. S2CID  46816531.
  28. ^ "Квантовые физики атакуют гипотезу Римана | Quanta Magazine". Quanta Magazine . Получено 2018-06-12 .
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Неэрмитова_квантовая_механика&oldid=1252533264"