преобразование Лоренца

Часть серии статей о
Пространство-время
Специальная теория относительности Общая теория относительности
Концепции пространства-времени Пространственно-временное многообразие Принцип эквивалентности Преобразования Лоренца пространство Минковского
Общая теория относительности Введение в общую теорию относительности Математика общей теории относительности Уравнения поля Эйнштейна
Классическая гравитация Введение в гравитацию Закон всемирного тяготения Ньютона
Соответствующая математика Четырехвекторный Выводы теории относительности Диаграммы пространства-времени Дифференциальная геометрия Изогнутое пространство Искривленное пространство-время Математика общей теории относительности Топология пространства-времени
Физический портал  Категория
в т е

В физике преобразования Лоренца представляют собой семейство линейных преобразований из одной системы координат в пространстве-времени в другую систему, которая движется с постоянной скоростью относительно первой. Соответствующее обратное преобразование затем параметризуется отрицательной величиной этой скорости. Преобразования названы в честь голландского физика Хендрика Лоренца .

Наиболее распространенная форма преобразования, параметризованная действительной константой , представляющей скорость, ограниченную направлением x , выражается как ^{[1] ​​[2]} где ( t , x , y , z ) и ( t ′, x ′, y ′, z ′) — координаты события в двух системах отсчета с пространственными началами, совпадающими при t = t ′ =0, где штрихованная система отсчета видна из нештрихованной системы отсчета как движущаяся со скоростью v вдоль оси x , где c — скорость света , а — фактор Лоренца . Когда скорость v намного меньше c , фактор Лоренца пренебрежимо мало отличается от 1, но по мере того, как v приближается к c , неограниченно растет. Значение v должно быть меньше c, чтобы преобразование имело смысл.${\displaystyle v,}$$${\displaystyle {\begin{align}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{align}}}$$${\textstyle \гамма =\left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{-1}}$${\displaystyle \гамма}$

Выражение скорости как эквивалентной формы преобразования имеет вид ^[3]${\textstyle \beta = {\frac {v}{c}},}$$${\displaystyle {\begin{align}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\\y'&=y\\z'&=z.\end{align}}}$$

Системы отсчёта можно разделить на две группы: инерциальные (относительное движение с постоянной скоростью) и неинерциальные (ускоряющиеся, движущиеся по криволинейным траекториям, вращательное движение с постоянной угловой скоростью и т. д.). Термин «преобразования Лоренца» относится только к преобразованиям между инерциальными системами, обычно в контексте специальной теории относительности.

В каждой системе отсчета наблюдатель может использовать локальную систему координат (обычно декартовы координаты в этом контексте) для измерения длин и часы для измерения временных интервалов. Событие — это то, что происходит в точке пространства в момент времени, или, более формально, в точке пространства-времени . Преобразования связывают пространственные и временные координаты события , измеренные наблюдателем в каждой системе отсчета. ^{[nb 1]}

Они заменяют преобразование Галилея из ньютоновской физики , которое предполагает абсолютное пространство и время (см. Относительность Галилея ). Преобразование Галилея является хорошим приближением только при относительных скоростях, намного меньших скорости света. Преобразования Лоренца имеют ряд неинтуитивных особенностей, которые не проявляются в преобразованиях Галилея. Например, они отражают тот факт, что наблюдатели, движущиеся с разными скоростями, могут измерять разные расстояния , прошедшее время и даже разный порядок событий , но всегда такие, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Инвариантность скорости света является одним из постулатов специальной теории относительности .

Исторически преобразования были результатом попыток Лоренца и других объяснить, как скорость света наблюдалась независимой от системы отсчёта , и понять симметрии законов электромагнетизма . Позднее преобразования стали краеугольным камнем специальной теории относительности .

Преобразование Лоренца является линейным преобразованием . Оно может включать в себя поворот пространства; преобразование Лоренца без поворота называется усилением Лоренца . В пространстве Минковского — математической модели пространства-времени в специальной теории относительности — преобразования Лоренца сохраняют пространственно-временной интервал между любыми двумя событиями. Это свойство является определяющим свойством преобразования Лоренца. Они описывают только преобразования, в которых событие пространства-времени в начале координат остается фиксированным. Их можно рассматривать как гиперболическое вращение пространства Минковского. Более общий набор преобразований, который также включает в себя трансляции, известен как группа Пуанкаре .

Многие физики, включая Вольдемара Фойгта , Джорджа Фицджеральда , Джозефа Лармора и самого Хендрика Лоренца ^[4] , обсуждали физику, подразумеваемую этими уравнениями, с 1887 года. ^[5] В начале 1889 года Оливер Хевисайд показал с помощью уравнений Максвелла , что электрическое поле, окружающее сферическое распределение заряда, должно перестать иметь сферическую симметрию, как только заряд приходит в движение относительно светоносного эфира . Затем Фицджеральд предположил, что результат искажения Хевисайда может быть применен к теории межмолекулярных сил. Несколько месяцев спустя Фицджеральд опубликовал гипотезу о том, что движущиеся тела сокращаются, чтобы объяснить озадачивающий результат эксперимента Майкельсона и Морли с эфирным ветром 1887 года . В 1892 году Лоренц независимо представил ту же идею в более подробной форме, которая впоследствии была названа гипотезой сокращения Фицджеральда–Лоренца . ^[6] Их объяснение было широко известно до 1905 года. ^[7]

Лоренц (1892–1904) и Лармор (1897–1900), которые верили в гипотезу светоносного эфира, также искали преобразование, при котором уравнения Максвелла инвариантны при переходе от эфира к движущейся системе отсчета. Они расширили гипотезу сокращения Фицджеральда–Лоренца и обнаружили, что временная координата также должна быть изменена (« местное время »). Анри Пуанкаре дал физическую интерпретацию локальному времени (в первом порядке по v / c , относительной скорости двух систем отсчета, нормализованной к скорости света) как следствие синхронизации часов, в предположении, что скорость света постоянна в движущихся системах отсчета. ^[8] Лармору приписывают то, что он был первым, кто понял решающее свойство замедления времени, присущее его уравнениям. ^[9]

В 1905 году Пуанкаре первым осознал, что преобразование имеет свойства математической группы , и назвал его в честь Лоренца. ^[10] Позже в том же году Альберт Эйнштейн опубликовал то, что сейчас называется специальной теорией относительности , выведя преобразование Лоренца при предположениях принципа относительности и постоянства скорости света в любой инерциальной системе отсчета , а также отказавшись от механистического эфира как ненужного. ^[11]

Событие — это то, что происходит в определенной точке пространства-времени или, в более общем смысле, в самой точке пространства-времени. В любой инерциальной системе отсчета событие задается временной координатой ct и набором декартовых координат x , y , z для указания положения в пространстве в этой системе отсчета. Нижние индексы обозначают отдельные события.

Из второго постулата относительности Эйнштейна (инвариантность c ) следует, что:

$${\displaystyle c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}=0\quad {\text{(светоподобные разделенные события 1, 2)}}}$$

( Д1 )

во всех инерциальных системах отсчета для событий, связанных световыми сигналами . Величина слева называется пространственно-временным интервалом между событиями a ₁ = ( t ₁ , x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и a ₂ = ( t ₂ , x ₂ , y ₂ , z ₂ ) . Интервал между любыми двумя событиями, не обязательно разделенными световыми сигналами, на самом деле инвариантен, т. е. не зависит от состояния относительного движения наблюдателей в различных инерциальных системах отсчета, как показано с использованием однородности и изотропии пространства . Таким образом, искомое преобразование должно обладать свойством:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}\\[6pt]={}&c^{2}(t_{2}'-t_{1}')^{2}-(x_{2}'-x_{1}')^{2}-(y_{2}'-y_{1}')^{2}-(z_{2}'-z_{1}')^{2}\quad {\text{(все события 1, 2)}}.\end{aligned}}}$$

( Д2 )

где ( t , x , y , z ) — пространственно-временные координаты, используемые для определения событий в одном кадре, а ( t ′, x ′, y ′, z ′) — координаты в другом кадре. Сначала можно заметить, что ( D2 ) выполняется, если произвольный 4 -кортеж b чисел добавляется к событиям a ₁ и a ₂ . Такие преобразования называются пространственно-временными трансляциями и здесь далее не рассматриваются. Затем можно заметить, что линейное решение, сохраняющее начало более простой задачи, решает и общую задачу:

$${\displaystyle {\begin{align}&c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=c^{2}t'^{2}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}\\[6pt]{\text{or}}\quad &c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}=c^{2}t'_{1}t'_{2}-x'_{1}x'_{2}-y'_{1}y'_{2}-z'_{1}z'_{2}\end{align}}}$$

( Д3 )

(решение, удовлетворяющее первой формуле, автоматически удовлетворяет и второй; см. поляризационное тождество ). Нахождение решения более простой задачи — это всего лишь вопрос поиска в теории классических групп , сохраняющих билинейные формы различной сигнатуры. ^{[nb 2]} Первое уравнение в ( D3 ) можно записать более компактно как:

$${\displaystyle (a,a)=(a',a')\quad {\text{или}}\quad a\cdot a=a'\cdot a',}$$

( Д4 )

где (·, ·) относится к билинейной форме сигнатуры (1, 3) на R ⁴ , представленной правой формулой в ( D3 ). Альтернативная нотация, определенная справа, называется релятивистским скалярным произведением . Пространство-время, математически рассматриваемое как R ^{4 ,} наделенное этой билинейной формой, известно как пространство Минковского M . Таким образом, преобразование Лоренца является элементом группы O(1, 3) , группы Лоренца или, для тех, кто предпочитает другую метрическую сигнатуру , O(3, 1) (также называемой группой Лоренца). ^{[nb 3]} Имеется:

$${\displaystyle (a,a)=(\Lambda a,\Lambda a)=(a',a'),\quad \Lambda \in \mathrm {O} (1,3),\quad a,a'\in M,}$$

( Д5 )

что является в точности сохранением билинейной формы ( D3 ), что подразумевает (в силу линейности Λ и билинейности формы), что ( D2 ) выполняется. Элементами группы Лоренца являются вращения и усиления и их смеси. Если включить пространственно-временные трансляции, то получим неоднородную группу Лоренца или группу Пуанкаре .

Отношения между штрихованными и нештрихованными пространственно-временными координатами являются преобразованиями Лоренца , каждая координата в одной системе отсчета является линейной функцией всех координат в другой системе отсчета, а обратные функции являются обратным преобразованием. В зависимости от того, как системы отсчета движутся относительно друг друга и как они ориентированы в пространстве относительно друг друга, в уравнения преобразования входят другие параметры, описывающие направление, скорость и ориентацию.

Преобразования, описывающие относительное движение с постоянной (равномерной) скоростью и без вращения пространственных координатных осей, называются лоренцевскими бустами или просто бустами , а относительная скорость между системами является параметром преобразования. Другой базовый тип преобразования Лоренца — это вращение только в пространственных координатах, эти подобные бусты являются инерционными преобразованиями, поскольку относительного движения нет, системы просто наклонены (а не непрерывно вращаются), и в этом случае величины, определяющие вращение, являются параметрами преобразования (например, представление ось–угол или углы Эйлера и т. д.). Комбинация поворота и буста является однородным преобразованием , которое преобразует начало координат обратно в начало координат.

Полная группа Лоренца O(3, 1) также содержит специальные преобразования, которые не являются ни вращениями, ни усилениями, а скорее отражениями в плоскости, проходящей через начало координат. Можно выделить два из них: пространственная инверсия , при которой пространственные координаты всех событий меняют знак, и временная инверсия, при которой временная координата для каждого события меняет свой знак.

Ускорения не следует путать с простыми смещениями в пространстве-времени; в этом случае системы координат просто смещаются, и относительного движения нет. Однако они также считаются симметриями, навязанными специальной теорией относительности, поскольку они оставляют интервал пространства-времени инвариантным. Сочетание вращения с ускорением, за которым следует сдвиг в пространстве-времени, является неоднородным преобразованием Лоренца , элементом группы Пуанкаре, которая также называется неоднородной группой Лоренца.

«Неподвижный» наблюдатель в системе F определяет события с координатами t , x , y , z . Другая система F ′ движется со скоростью v относительно F , и наблюдатель в этой «движущейся» системе F ′ определяет события с помощью координат t ′, x ′, y ′, z ′ .

Оси координат в каждом кадре параллельны ( оси x и x ′ параллельны, оси y и y ′ параллельны, оси z и z ′ параллельны), остаются взаимно перпендикулярными, и относительное движение происходит вдоль совпадающих осей xx′ . При t = t ′ = 0 начала обеих систем координат совпадают, ( x, y, z ) = ( x ′, y ′, z ′) = (0, 0, 0) . Другими словами, в этом событии времена и положения совпадают. Если все это выполняется, то говорят, что системы координат находятся в стандартной конфигурации или синхронизированы .

Если наблюдатель в F регистрирует событие t , x , y , z , то наблюдатель в F ′ регистрирует то же самое событие с координатами ^[13]

где v — относительная скорость между кадрами в направлении x , c — скорость света , а (строчная буква gamma ) — фактор Лоренца .$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1- {\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

Здесь v — параметр преобразования, для заданного усиления это постоянное число, но может принимать непрерывный диапазон значений. В используемой здесь настройке положительная относительная скорость v > 0 — это движение вдоль положительных направлений осей xx ′ , нулевая относительная скорость v = 0 — это отсутствие относительного движения, а отрицательная относительная скорость v < 0 — это относительное движение вдоль отрицательных направлений осей xx ′ . Величина относительной скорости v не может быть равна или превышать c , поэтому допускаются только досветовые скорости − c < v < c . Соответствующий диапазон γ составляет 1 ≤ ​​γ < ∞ .

Преобразования не определены, если v выходит за эти пределы. При скорости света ( v = c ) γ бесконечно, а быстрее света ( v > c ) γ является комплексным числом , каждое из которых делает преобразования нефизическими. Координаты пространства и времени являются измеримыми величинами и численно должны быть действительными числами.

В качестве активного преобразования наблюдатель в F′ замечает, что координаты события «усиливаются» в отрицательных направлениях осей xx ′ из-за − v в преобразованиях. Это имеет эквивалентный эффект системы координат F′, усиленной в положительных направлениях осей xx ′ , в то время как событие не изменяется и просто представляется в другой системе координат, пассивном преобразовании .

Обратные отношения ( t , x , y , z в терминах t ′, x ′, y ′, z ′ ) можно найти, алгебраически решая исходный набор уравнений. Более эффективный способ — использовать физические принципы. Здесь F ′ — «стационарная» система отсчета, а F — «движущаяся». ​​Согласно принципу относительности, не существует привилегированной системы отсчета, поэтому преобразования из F ′ в F должны иметь точно такую ​​же форму, как преобразования из F в F ′ . Единственное отличие заключается в том, что F движется со скоростью − v относительно F ′ (т. е. относительная скорость имеет ту же величину, но противоположно направлена). Таким образом, если наблюдатель в F ′ замечает событие t ′, x ′, y ′, z ′ , то наблюдатель в F замечает то же самое событие с координатами

и значение γ остается неизменным. Этот «трюк» простого изменения направления относительной скорости с сохранением ее величины и обмена штрихованными и нештрихованными переменными всегда применим для нахождения обратного преобразования каждого усиления в любом направлении.

Иногда удобнее использовать β = v / c (строчная бета ) вместо v , так что это гораздо яснее показывает симметрию в преобразовании. Из допустимых диапазонов v и определения β следует −1 < β < 1. Использование β и γ является стандартным во всей литературе.$${\displaystyle {\begin{align}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\,,\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\,,\\\end{align}}}$$

Когда скорость ускорения имеет произвольное векторное направление с вектором ускорения , то преобразование из нештрихованной пространственно-временной системы координат в штрихованную систему координат задается выражением ^[14]${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {v}}/c}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'{\vphantom {-\gamma \beta _{x}}}\\x'{\vphantom {1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}^{2}}}\\y'{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}\beta _{y}}}\\z'{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{y}\beta _{z}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta _{x}&-\gamma \beta _{y}&-\gamma \beta _{z}\\-\gamma \beta _{x}&1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}^{2}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}\beta _{y}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}\beta _{z}\\-\gamma \beta _{y}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}\beta _{y}&1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{y}^{2}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{y}\beta _{z}\\-\gamma \beta _{z}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}\beta _{z}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{y}\beta _{z}&1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{z}^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct{\vphantom {-\gamma \beta _{x}}}\\x{\vphantom {1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}^{2}}}\\y{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}\beta _{y}}}\\z{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{y}\beta _{z}}}\end{bmatrix}},}$$

где фактор Лоренца равен . Определитель матрицы преобразования равен +1, а ее след равен . Обратное преобразование получается путем изменения знака на противоположный .${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}^{2}}}}$${\displaystyle 2(1+\gamma )}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$

Преобразования Лоренца также могут быть получены способом, который напоминает круговые вращения в трехмерном пространстве с использованием гиперболических функций . Для усиления в направлении x результаты следующие:

где ζ ( zeta в нижнем регистре ) — параметр, называемый быстротой (используются и многие другие символы, включая θ, ϕ, φ, η, ψ, ξ ). Учитывая сильное сходство с вращениями пространственных координат в 3-мерном пространстве в декартовых плоскостях xy, yz и zx, усиление Лоренца можно рассматривать как гиперболическое вращение пространственно-временных координат в декартовых плоскостях времени xt, yt и zt 4-мерного пространства Минковского . Параметр ζ — это гиперболический угол поворота, аналогичный обычному углу для круговых вращений. Это преобразование можно проиллюстрировать с помощью диаграммы Минковского .

Гиперболические функции возникают из разности квадратов времени и пространственных координат в интервале пространства-времени, а не из суммы. Геометрическое значение гиперболических функций можно визуализировать, взяв x = 0 или ct = 0 в преобразованиях. Возводя в квадрат и вычитая результаты, можно получить гиперболические кривые постоянных значений координат, но изменяя ζ , что параметризует кривые в соответствии с тождеством$${\displaystyle \cosh ^{2}\zeta -\sinh ^{2}\zeta =1\,.}$$

Наоборот, оси ct и x могут быть построены для переменных координат, но постоянного ζ . Определение обеспечивает связь между постоянным значением быстроты и наклоном оси ct в пространстве-времени. Следствием этих двух гиперболических формул является тождество, которое соответствует фактору Лоренца$${\displaystyle \tanh \zeta ={\frac {\sinh \zeta }{\cosh \zeta }}\,,}$$$${\displaystyle \cosh \zeta ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\,.}$$

Сравнивая преобразования Лоренца с точки зрения относительной скорости и быстроты или используя приведенные выше формулы, связи между β , γ и ζ следующие:$${\displaystyle {\begin{aligned}\beta &=\tanh \zeta \,,\\\gamma &=\cosh \zeta \,,\\\beta \gamma &=\sinh \zeta \,.\end{aligned}}}$$

Взятие обратного гиперболического тангенса дает быстроту$${\displaystyle \zeta =\tanh ^{-1}\beta \,.}$$

Так как −1 < β < 1 , то следует −∞ < ζ < ∞ . Из соотношения между ζ и β следует , что положительная быстрота ζ > 0 есть движение вдоль положительных направлений осей xx ′ , нулевая быстрота ζ = 0 есть отсутствие относительного движения, а отрицательная быстрота ζ < 0 есть относительное движение вдоль отрицательных направлений осей xx ′ .

Обратные преобразования получаются путем обмена штрихованными и нештрихованными величинами для переключения систем координат и отрицания быстроты ζ → − ζ, поскольку это эквивалентно отрицанию относительной скорости. Следовательно,

Обратные преобразования можно аналогичным образом визуализировать, рассмотрев случаи, когда x ′ = 0 и ct ′ = 0 .

До сих пор преобразования Лоренца применялись к одному событию . Если есть два события, между ними есть пространственное разделение и временной интервал. Из линейности преобразований Лоренца следует, что можно выбрать два значения координат пространства и времени, преобразования Лоренца можно применить к каждому из них, затем вычесть, чтобы получить преобразования Лоренца разностей;

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t'&=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x'&=\gamma \left(\Delta x-v\,\Delta t\right)\,,\end{aligned}}}$$с обратными отношениями$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t&=\gamma \left(\Delta t'+{\frac {v\,\Delta x'}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x&=\gamma \left(\Delta x'+v\,\Delta t'\right)\,.\end{aligned}}}$$

где Δ (заглавная дельта ) обозначает разницу величин; например, Δ x = x ₂ − x ₁ для двух значений координат x и т. д.

Эти преобразования различий, а не пространственных точек или моментов времени, полезны по ряду причин:

• В расчетах и ​​экспериментах измеряются или представляют интерес расстояния между двумя точками или временные интервалы (например, длина движущегося транспортного средства или продолжительность времени, необходимая для перемещения из одного места в другое),
• преобразования скорости можно легко вывести, сделав разницу бесконечно малой и разделив уравнения, а затем повторив процесс для преобразования ускорения,
• если системы координат никогда не совпадают (т. е. не находятся в стандартной конфигурации) и если оба наблюдателя могут договориться о событии t ₀ , x ₀ , y ₀ , z ₀ в F и t ₀ ′, x ₀ ′, y ₀ ′, z ₀ ′ в F ′ , то они могут использовать это событие в качестве начала координат, а разности пространственно-временных координат являются разностями между их координатами и этим началом координат, например, Δ x = x − x ₀ , Δ x ′ = x ′ − x ₀ ′ и т. д.

Критически важным требованием преобразований Лоренца является инвариантность скорости света, факт, используемый при их выводе и содержащийся в самих преобразованиях. Если в F уравнение для импульса света вдоль направления x имеет вид x = ct , то в F ′ преобразования Лоренца дают x ′ = ct ′ , и наоборот, для любого − c < v < c .

Для относительных скоростей, намного меньших скорости света, преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея в соответствии с принципом соответствия . Иногда говорят, что нерелятивистская физика — это физика «мгновенного действия на расстоянии». ^[15]$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&\approx t\\x'&\approx x-vt\end{aligned}}}$$

Вот три противоречивых, но верных предсказания преобразований:

Относительность одновременности

Предположим, что два события происходят вдоль оси x одновременно ( Δ t = 0 ) в F , но разделены ненулевым смещением Δ x . Тогда в F ′ мы обнаруживаем, что , поэтому события больше не являются одновременными с точки зрения движущегося наблюдателя.${\displaystyle \Delta t'=\gamma {\frac {-v\,\Delta x}{c^{2}}}}$

Замедление времени

Предположим, что в системе F покоятся часы . Если в той же точке этой системы отсчета измеряется интервал времени, так что Δ x = 0 , то преобразования дают этот интервал в системе F ′ как Δ t ′ = γ Δ t . Наоборот, предположим, что в системе F покоятся часы . Если в той же точке этой системы отсчета измеряется интервал времени, так что Δ x ′ = 0 , то преобразования дают этот интервал в системе F как Δ t = γ Δ t ′ . В любом случае, каждый наблюдатель измеряет интервал времени между тиками движущихся часов так, что он в γ раз больше интервала времени между тиками его собственных часов.

Сокращение длины

Предположим, что в системе F находится покоящийся стержень, выровненный вдоль оси x, с длиной Δ x . В системе F ′ стержень движется со скоростью - v , поэтому его длину необходимо измерить, выполнив два одновременных ( Δ t ′ = 0 ) измерения на противоположных концах. При этих условиях обратное преобразование Лоренца показывает, что Δ x = γ Δ x ′ . В системе F два измерения больше не являются одновременными, но это не имеет значения, поскольку стержень находится в состоянии покоя в системе F. Таким образом, каждый наблюдатель измеряет расстояние между конечными точками движущегося стержня, которое оказывается короче на коэффициент 1/ γ, чем конечные точки идентичного стержня, находящегося в состоянии покоя в его собственной системе отсчета. Сокращение длины влияет на любую геометрическую величину, связанную с длинами, поэтому с точки зрения движущегося наблюдателя площади и объемы также будут казаться уменьшающимися вдоль направления движения.

Использование векторов позволяет компактно выражать положения и скорости в произвольных направлениях. Единичное ускорение в любом направлении зависит от полного вектора относительной скорости v с величиной | v | = v , которая не может быть равна или превышать c , так что 0 ≤ v < c .

Изменяются только время и координаты, параллельные направлению относительного движения, тогда как перпендикулярные координаты не изменяются. Имея это в виду, разделим пространственный вектор положения r , измеренный в F , и r ′ , измеренный в F′ , каждый на компоненты, перпендикулярные (⊥) и параллельные ( ‖ ) v , тогда преобразования будут такими, где · — скалярное произведение . Фактор Лоренца γ сохраняет свое определение для усиления в любом направлении, поскольку он зависит только от величины относительной скорости. Определение β = v / c с величиной 0 ≤ β < 1 также используется некоторыми авторами.$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\perp }+\mathbf {r} _{\|}\,,\quad \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{\perp }'+\mathbf {r} _{\|}'\,,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {\mathbf {r} _{\parallel }\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {r} _{\|}'&=\gamma (\mathbf {r} _{\|}-\mathbf {v} t)\\\mathbf {r} _{\perp }'&=\mathbf {r} _{\perp }\end{aligned}}}$$

Вводя единичный вектор n = v / v = β / β в направлении относительного движения, относительная скорость равна v = v n с величиной v и направлением n , а проекция и отклонение вектора дают соответственно$${\displaystyle \mathbf {r} _{\parallel }=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {r} _{\perp }=\mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$

Накопление результатов дает полные преобразования,

Проекция и отклонение также применимы к r ′ . Для обратных преобразований поменяйте местами r и r ′ , чтобы переключить наблюдаемые координаты, и измените знак относительной скорости v → − v (или просто единичный вектор n → − n, поскольку величина v всегда положительна), чтобы получить

Единичный вектор имеет преимущество упрощения уравнений для одного усиления, позволяет восстанавливать v или β , когда это удобно, и параметризация быстроты немедленно получается путем замены β и βγ . Это не удобно для множественных усилений.

Векторная связь между относительной скоростью и быстротой ^[16] и «вектор быстроты» может быть определен как каждый из которых служит полезным сокращением в некоторых контекстах. Величина ζ является абсолютным значением скаляра быстроты, ограниченным 0 ≤ ζ < ∞ , что согласуется с диапазоном 0 ≤ β < 1 .$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\beta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh \zeta \,,}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta \,,}$$

Определение координатных скоростей и фактора Лоренца по формуле

${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {u} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt'}}\,,\quad \gamma _{\mathbf {v} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}}}$

взятие дифференциалов по координатам и времени векторных преобразований, а затем деление уравнений приводит к

${\displaystyle \mathbf {u} '={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}\left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {v} \right]}$

Скорости u и u ′ являются скоростями некоторого массивного объекта. Они также могут быть для третьей инерциальной системы отсчета (скажем, F ′′), в этом случае они должны быть постоянными . Обозначим любую сущность через X. Тогда X движется со скоростью u относительно F или, что эквивалентно, со скоростью u ′ относительно F′, в свою очередь, F′ движется со скоростью v относительно F. Обратные преобразования можно получить аналогичным образом, или, как и в случае с координатами положения, поменять местами u и u ′ и изменить v на − v .

Преобразование скорости полезно при изучении звездной аберрации , эксперименте Физо и релятивистском эффекте Доплера .

Преобразования Лоренца для ускорения можно получить аналогичным образом, взяв дифференциалы векторов скорости и разделив их на дифференциал времени.

В общем случае, если заданы четыре величины A и Z = ( Z _x , Z _y , Z _z ) и их усиленные Лоренцом аналоги A ′ и Z ′ = ( Z ′ _x , Z ′ _y , Z ′ _z ) , соотношение вида подразумевает, что величины преобразуются при преобразованиях Лоренца, аналогичных преобразованиям пространственно-временных координат;$${\displaystyle A^{2}-\mathbf {Z} \cdot \mathbf {Z} ={A'}^{2}-\mathbf {Z} '\cdot \mathbf {Z} '}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}A'&=\gamma \left(A-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {Z} }{c}}\right)\,,\\\mathbf {Z} '&=\mathbf {Z} +(\gamma -1)(\mathbf {Z} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -{\frac {\gamma Av\mathbf {n} }{c}}\,.\end{aligned}}}$$

Разложение Z (и Z ′ ) на компоненты, перпендикулярные и параллельные v , точно такое же, как и для вектора положения, как и процесс получения обратных преобразований (обмен ( A , Z ) и ( A ′, Z ′) для переключения наблюдаемых величин и изменение направления относительного движения на противоположное путем замены n ↦ − n ).

Величины ( A , Z ) в совокупности составляют четырехвектор , где A — «временной компонент», а Z — «пространственный компонент». Примерами A и Z являются следующие:

Для данного объекта (например, частицы, жидкости, поля, материала), если A или Z соответствуют свойствам, специфичным для объекта, таким как его плотность заряда , плотность массы , спин и т. д., его свойства могут быть зафиксированы в системе покоя этого объекта. Тогда преобразования Лоренца дают соответствующие свойства в системе, движущейся относительно объекта с постоянной скоростью. Это нарушает некоторые понятия, принимаемые как должное в нерелятивистской физике. Например, энергия E объекта является скаляром в нерелятивистской механике, но не в релятивистской механике, потому что энергия изменяется при преобразованиях Лоренца; ее значение различно для различных инерциальных систем. В системе покоя объекта он имеет энергию покоя и нулевой импульс. В усиленной системе его энергия отличается, и она, по-видимому, имеет импульс. Аналогично, в нерелятивистской квантовой механике спин частицы является постоянным вектором, но в релятивистской квантовой механике спин s зависит от относительного движения. В системе покоя частицы псевдовектор спина может быть зафиксирован как ее обычный нерелятивистский спин с нулевой временной величиной s _t , однако усиленный наблюдатель будет воспринимать ненулевую временную компоненту и измененный спин. ^[17]

Не все величины инвариантны в форме, показанной выше, например, орбитальный угловой момент L не имеет времениподобной величины, как и электрическое поле E , ни магнитное поле B. Определение углового момента таково: L = r × p , а в усиленной системе отсчета измененный угловой момент равен L ′ = r ′ × p ′ . Применение этого определения с использованием преобразований координат и импульса приводит к преобразованию углового момента. Оказывается, L преобразуется с другой векторной величиной N = ( E / c ² ) r − t p , связанной с усилениями, подробности см . в разделе релятивистский угловой момент . Для случая полей E и B преобразования не могут быть получены напрямую с использованием векторной алгебры. Сила Лоренца является определением этих полей, и в F это F = q ( E + v × B ) , а в F ′ это F ′ = q ( E ′ + v ′ × B ′) . Метод вывода преобразований электромагнитного поля эффективным способом, который также иллюстрирует единицу электромагнитного поля, использует тензорную алгебру, приведенную ниже.

Везде курсивные нежирные заглавные буквы представляют собой матрицы 4×4, а некурсивные жирные буквы представляют собой матрицы 3×3.

Записывая координаты в виде векторов-столбцов и метрику Минковского η в виде квадратной матрицы, пространственно-временной интервал принимает вид (верхний индекс T обозначает транспонирование ) и инвариантен относительно преобразования Лоренца , где Λ — квадратная матрица, которая может зависеть от параметров.$${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}\,,\quad \eta ={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,,\quad X={\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle X\cdot X=X^{\mathrm {T} }\eta X={X'}^{\mathrm {T} }\eta {X'}}$$$${\displaystyle X'=\Lambda X}$$

Множество всех преобразований Лоренца в этой статье обозначается . Это множество вместе с матричным умножением образует группу , в этом контексте известную как группа Лоренца . Кроме того, приведенное выше выражение X · X является квадратичной формой сигнатуры (3,1) на пространстве-времени, а группа преобразований, которая оставляет эту квадратичную форму инвариантной, является неопределенной ортогональной группой O(3,1), группой Ли . Другими словами, группа Лоренца есть O(3,1). Как представлено в этой статье, любые упомянутые группы Ли являются матричными группами Ли . В этом контексте операция композиции сводится к матричному умножению .${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Из инвариантности интервала пространства-времени следует , и это матричное уравнение содержит общие условия на преобразование Лоренца, чтобы гарантировать инвариантность интервала пространства-времени. Взяв определитель уравнения с использованием правила произведения ^{[nb 4],} мы немедленно получаем$${\displaystyle \eta =\Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \Lambda }$$$${\displaystyle \left[\det(\Lambda )\right]^{2}=1\quad \Rightarrow \quad \det(\Lambda )=\pm 1}$$

Записывая метрику Минковского как блочную матрицу и преобразование Лоренца в наиболее общей форме, выполнение блочных матричных умножений получает общие условия на Γ, a , b , M для обеспечения релятивистской инвариантности. Не так много информации можно напрямую извлечь из всех условий, однако один из результатов полезен; b ^T b ≥ 0 всегда, поэтому следует, что$${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}\,,\quad \Lambda ={\begin{bmatrix}\Gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}\,,}$$$${\displaystyle \Gamma ^{2}=1+\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }$$$${\displaystyle \Gamma ^{2}\geq 1\quad \Rightarrow \quad \Gamma \leq -1\,,\quad \Gamma \geq 1}$$

Отрицательное неравенство может быть неожиданным, поскольку Γ умножает временную координату, и это влияет на симметрию времени . Если выполняется положительное равенство, то Γ является фактором Лоренца.

Определитель и неравенство предоставляют четыре способа классификации преобразований Лоренца ( далее для краткости обозначаются как LT ) . Любое конкретное LT имеет только один знак определителя и только одно неравенство. Существует четыре множества, которые включают каждую возможную пару, заданную пересечениями ( символ в форме буквы «n» означает «и») этих классифицирующих множеств.

где «+» и «−» обозначают знак определителя, а «↑» для ≥ и «↓» для ≤ обозначают неравенства.

Полная группа Лоренца распадается на объединение (символ в форме буквы U, означающий «или») четырех непересекающихся множеств$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$$

Подгруппа группы должна быть замкнута относительно той же операции группы (здесь умножение матриц). Другими словами, для двух преобразований Лоренца Λ и L из конкретной подгруппы составные преобразования Лоренца Λ L и L Λ должны быть в той же подгруппе, что и Λ и L . Это не всегда так: композиция двух антихронных преобразований Лоренца является ортохронной, а композиция двух несобственных преобразований Лоренца является собственной. Другими словами, в то время как множества , , , и все образуют подгруппы, множества, содержащие несобственные и/или антихронные преобразования без достаточного количества собственных ортохронных преобразований (например , , , ), не образуют подгрупп.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\uparrow }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }}$

Если Лоренц-ковариантный 4-вектор измеряется в одной инерциальной системе отсчета с результатом , и то же самое измерение, выполненное в другой инерциальной системе отсчета (с той же ориентацией и началом координат), дает результат , два результата будут связаны соотношением , где матрица усиления представляет собой преобразование Лоренца без вращения между нештрихованной и штрихованной системами отсчета, а является скоростью штрихованной системы отсчета, наблюдаемой из нештрихованной системы отсчета. Матрица задается как ^[18]${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$$${\displaystyle X'=B(\mathbf {v} )X}$$${\displaystyle B(\mathbf {v} )}$${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma v_{x}/c&-\gamma v_{y}/c&-\gamma v_{z}/c\\-\gamma v_{x}/c&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{x}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{x}v_{y}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{y}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{y}v_{x}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{y}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{z}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{z}v_{x}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{z}v_{y}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{z}^{2}}{v^{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {\vec {\beta }}^{T}\\-\gamma {\vec {\beta }}&I+(\gamma -1){\dfrac {{\vec {\beta }}{\vec {\beta }}^{T}}{\beta ^{2}}}\end{bmatrix}},}$$

где — величина скорости, а — фактор Лоренца. Эта формула представляет собой пассивное преобразование, поскольку описывает, как координаты измеряемой величины изменяются от нештрихованной системы отсчета к штрихованной. Активное преобразование задается выражением .${\textstyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$${\textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$${\displaystyle B(-\mathbf {v} )}$

Если кадр F ′ ускоряется со скоростью u относительно кадра F , а другой кадр F ′′ ускоряется со скоростью v относительно F ′ , то отдельные ускорения и композиция двух ускорений соединяет координаты в F ′′ и F , Последовательные преобразования действуют слева. Если u и v коллинеарны ( параллельны или антипараллельны вдоль одной и той же линии относительного движения), матрицы ускорения коммутируют : B ( v ) B ( u ) = B ( u ) B ( v ) . Это составное преобразование оказывается другим ускорением, B ( w ) , где w коллинеарно с u и v .$${\displaystyle X''=B(\mathbf {v} )X'\,,\quad X'=B(\mathbf {u} )X}$$$${\displaystyle X''=B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )X\,.}$$

Если u и v не коллинеарны, а направлены в разные стороны, ситуация значительно усложняется. Лоренцовы усиления вдоль разных направлений не коммутируют: B ( v ) B ( u ) и B ( u ) B ( v ) не равны. Хотя каждое из этих составов не является одним усилением, каждое из них все равно является преобразованием Лоренца, поскольку сохраняет интервал пространства-времени. Оказывается, композиция любых двух Лоренцовых усилений эквивалентна усилению, за которым следует или которому предшествует вращение по пространственным координатам в форме R ( ρ ) B ( w ) или B ( w ) R ( ρ ) . W и w являются составными скоростями , в то время как ρ и ρ являются параметрами вращения (например, переменными ось-угол , углами Эйлера и т. д.). Вращение в форме блочной матрицы просто, где R ( ρ ) — это матрица вращения 3d , которая вращает любой вектор 3d в одном направлении (активное преобразование) или, что эквивалентно, систему координат в противоположном направлении (пассивное преобразование). Непросто связать w и ρ ( или w и ρ ) с исходными параметрами усиления u и v . В композиции усилений матрица R называется вращением Вигнера и приводит к прецессии Томаса . В этих статьях приводятся явные формулы для составных матриц преобразования, включая выражения для w , ρ , w , ρ .$${\displaystyle \quad R({\boldsymbol {\rho }})={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {R} ({\boldsymbol {\rho }})\end{bmatrix}}\,,}$$

В этой статье для ρ используется представление ось-угол . Вращение происходит вокруг оси в направлении единичного вектора e на угол θ (положительный против часовой стрелки, отрицательный по часовой стрелке, согласно правилу правой руки ). «Вектор ось-угол» будет служить полезным сокращением. $${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} }$$

Пространственные вращения сами по себе также являются преобразованиями Лоренца, поскольку они оставляют интервал пространства-времени инвариантным. Как и усиления, последовательные вращения вокруг разных осей не коммутируют. В отличие от усилений, композиция любых двух вращений эквивалентна одному вращению. Некоторые другие сходства и различия между матрицами усиления и вращения включают:

• обратные величины : B ( v ) ⁻¹ = B (− v ) (относительное движение в противоположном направлении) и R ( θ ) ⁻¹ = R (− θ ) (вращение в противоположном направлении вокруг той же оси)
• тождественное преобразование для отсутствия относительного движения/вращения: B ( 0 ) = R ( 0 ) = I
• определитель единицы : det( B ) = det( R ) = +1 . Это свойство делает их правильными преобразованиями.
• Симметрия матрицы : B симметрична (равнозначна транспонированию ), тогда как R несимметрична, но ортогональна (транспонирование равно инверсии , R ^T = R ⁻¹ ).

Наиболее общее собственное преобразование Лоренца Λ( v , θ ) включает в себя усиление и вращение вместе и является несимметричной матрицей. Как частные случаи, Λ( 0 , θ ) = R ( θ ) и Λ( v , 0 ) = B ( v ) . Явная форма общего преобразования Лоренца громоздка для записи и не будет приведена здесь. Тем не менее, выражения в замкнутой форме для матриц преобразования будут приведены ниже с использованием групповых теоретических аргументов. Будет проще использовать параметризацию быстроты для усилений, и в этом случае записывают Λ( ζ , θ ) и B ( ζ ) .

Набор преобразований с матричным умножением в качестве операции композиции образует группу, называемую «ограниченной группой Лоренца», и является специальной неопределенной ортогональной группой SO ⁺ (3,1). (Знак плюс указывает на то, что она сохраняет ориентацию временного измерения).$${\displaystyle \{B({\boldsymbol {\zeta }}),R({\boldsymbol {\theta }}),\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\}}$$

Для простоты рассмотрим бесконечно малый лоренцевский буст в направлении x (исследование буста в любом другом направлении или вращение вокруг любой оси следует идентичной процедуре). Бесконечно малый буст — это небольшой буст вдали от тождества, полученный путем разложения Тейлора матрицы буста до первого порядка около ζ = 0 , где не показанные члены более высокого порядка пренебрежимо малы, поскольку ζ мало, а B _x — это просто матрица буста в направлении x . Производная матрицы — это матрица производных (записей по той же переменной), и подразумевается, что производные сначала находятся, а затем оцениваются при ζ = 0 ,$${\displaystyle B_{x}=I+\zeta \left.{\frac {\partial B_{x}}{\partial \zeta }}\right|_{\zeta =0}+\cdots }$$$${\displaystyle \left.{\frac {\partial B_{x}}{\partial \zeta }}\right|_{\zeta =0}=-K_{x}\,.}$$

На данный момент K _x определяется этим результатом (его значение будет объяснено вскоре). В пределе бесконечного числа бесконечно малых шагов конечное преобразование буста в виде матричной экспоненты получается там, где было использовано предельное определение экспоненты (см. также характеристики экспоненциальной функции ). В более общем смысле ^{[nb 5]}$${\displaystyle B_{x}=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {\zeta }{N}}K_{x}\right)^{N}=e^{-\zeta K_{x}}}$$

$${\displaystyle B({\boldsymbol {\zeta }})=e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} }\,,\quad R({\boldsymbol {\theta }})=e^{{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }\,.}$$

Вектор угла оси θ и вектор быстроты ζ — это всего шесть непрерывных переменных, которые составляют параметры группы (в этом конкретном представлении), а генераторами группы являются K = ( K _x , K _y , K _z ) и J = ( J _x , J _y , J _z ) , каждый из которых является вектором матриц с явными формами ^{[примечание 6]}

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}K_{x}&={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad &K_{y}&={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad &K_{z}&={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\\[10mu]J_{x}&={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad &J_{y}&={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad &J_{z}&={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\end{alignedat}}}$$

Все они определяются аналогично K _x выше, хотя знаки минус в генераторах усиления являются обычными. Физически генераторы группы Лоренца соответствуют важным симметриям в пространстве-времени: J — это генераторы вращения , которые соответствуют угловому моменту , а K — это генераторы усиления , которые соответствуют движению системы в пространстве-времени. Производная любой гладкой кривой C ( t ) с C (0) = I в группе, зависящей от некоторого параметра группы t относительно этого параметра группы, вычисленная при t = 0 , служит определением соответствующего генератора группы G , и это отражает бесконечно малое преобразование от тождества. Гладкую кривую всегда можно принять за экспоненту, поскольку экспонента всегда будет гладко отображать G обратно в группу через t → exp( tG ) для всех t ; эта кривая снова даст G при дифференцировании при t = 0 .

Разложение экспонент в ряд Тейлора позволяет получить компактно воспроизводящие матрицы усиления и поворота, приведенные в предыдущем разделе.$${\displaystyle B({\boldsymbol {\zeta }})=I-\sinh \zeta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \zeta -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}}$$$${\displaystyle R({\boldsymbol {\theta }})=I+\sin \theta (\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )^{2}\,.}$$

Было установлено, что общее собственное преобразование Лоренца является произведением усиления и вращения. На бесконечно малом уровне произведение коммутативно, поскольку требуются только линейные члены (произведения типа ( θ · J )( ζ · K ) и ( ζ · K )( θ · J ) считаются членами более высокого порядка и пренебрежимо малы). Взятие предела, как и прежде, приводит к конечному преобразованию в виде экспоненты$${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda &=(I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +\cdots )(I+{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots )\\&=(I+{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots )(I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +\cdots )\\&=I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots \end{aligned}}}$$$${\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }.}$$

Обратное также верно, но разложение конечного общего преобразования Лоренца на такие множители нетривиально. В частности, потому что генераторы не коммутируют. Для описания того, как найти множители общего преобразования Лоренца в терминах усиления и поворота в принципе (это обычно не дает внятного выражения в терминах генераторов J и K ), см. вращение Вигнера . Если, с другой стороны, разложение дано в терминах генераторов, и требуется найти произведение в терминах генераторов, то применяется формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа .$${\displaystyle e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }\neq e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} }e^{{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} },}$$

Генераторы Лоренца можно складывать вместе или умножать на действительные числа, чтобы получить больше генераторов Лоренца. Другими словами, набор всех генераторов Лоренца вместе с операциями обычного сложения матриц и умножения матрицы на число образует векторное пространство над действительными числами. ^{[nb 7]} Генераторы J _x , J _y , J _z , K _x , K _y , K _z образуют базисный набор V , а компоненты векторов угла оси и быстроты θ _x , θ _y , θ _z , ζ _x , ζ _y , ζ _z являются координатами генератора Лоренца относительно этого базиса. ^{[nb 8]}$${\displaystyle V=\{{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \}}$$

Три из соотношений коммутации генераторов Лоренца таковы, что скобка [ A , B ] = AB − BA известна как коммутатор , а другие соотношения можно найти, выполняя циклические перестановки компонентов x, y, z (т.е. изменяя x на y, y на z и z на x, повторяя).$${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=J_{z}\,,\quad [K_{x},K_{y}]=-J_{z}\,,\quad [J_{x},K_{y}]=K_{z}\,,}$$

Эти коммутационные соотношения и векторное пространство генераторов удовлетворяют определению алгебры Ли . Подводя итог, алгебра Ли определяется как векторное пространство V над полем чисел и с бинарной операцией [ , ] (называемой скобкой Ли в этом контексте) на элементах векторного пространства, удовлетворяющей аксиомам билинейности , альтернатизации и тождеству Якоби . Здесь операция [ , ] является коммутатором, который удовлетворяет всем этим аксиомам, векторное пространство является набором генераторов Лоренца V , как указано ранее, а поле является набором действительных чисел.${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)}$

Связывающая терминология, используемая в математике и физике: Генератор группы — это любой элемент алгебры Ли. Параметр группы — это компонент вектора координат, представляющий произвольный элемент алгебры Ли относительно некоторого базиса. Базис, таким образом, — это набор генераторов, являющихся базисом алгебры Ли в обычном векторном смысле.

Экспоненциальное отображение из алгебры Ли в группу Ли обеспечивает взаимно-однозначное соответствие между достаточно малыми окрестностями начала координат алгебры Ли и окрестностями единичного элемента группы Ли. В случае группы Лоренца экспоненциальное отображение — это просто матричная экспонента . Глобально экспоненциальное отображение не является взаимно-однозначным, но в случае группы Лоренца оно сюръективно (на). Следовательно, любой элемент группы в связной компоненте тождества может быть выражен как экспонента элемента алгебры Ли.$${\displaystyle \exp \,:\,{\mathfrak {so}}(3,1)\to \mathrm {SO} (3,1),}$$

Преобразования Лоренца также включают инверсию четности , которая отрицает только все пространственные координаты, и обращение времени , которое отрицает только временную координату, поскольку эти преобразования оставляют интервал пространства-времени инвариантным. Здесь I — это трехмерная единичная матрица . Они оба симметричны, они являются своими собственными инверсиями (см. инволюция (математика) ), и каждое имеет определитель −1. Последнее свойство делает их несобственными преобразованиями.$${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle T={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$$

Если Λ — собственное ортохронное преобразование Лоренца, то T Λ — собственное антихронное преобразование, P Λ — собственное ортохронное преобразование, а TP Λ = PT Λ — собственное антихронное преобразование.

Две другие симметрии пространства-времени не были учтены. Для того чтобы интервал пространства-времени был инвариантным, можно показать ^[19] , что необходимо и достаточно, чтобы преобразование координат имело вид где C — постоянный столбец, содержащий переносы во времени и пространстве. Если C ≠ 0, это неоднородное преобразование Лоренца или преобразование Пуанкаре . ^{[20] [21]} Если C = 0, это однородное преобразование Лоренца . Преобразования Пуанкаре далее в этой статье не рассматриваются.$${\displaystyle X'=\Lambda X+C}$$

Запись общего матричное преобразование координат в виде матричного уравнения позволяет преобразовать другие физические величины, которые не могут быть выражены как 4-векторы; например, тензоры или спиноры любого порядка в 4-мерном пространстве-времени, которые должны быть определены. В соответствующей нотации индекса тензора , вышеприведенное матричное выражение имеет вид$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{x'}^{0}\\{x'}^{1}\\{x'}^{2}\\{x'}^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\Lambda ^{0}}_{0}&{\Lambda ^{0}}_{1}&{\Lambda ^{0}}_{2}&{\Lambda ^{0}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda ^{1}}_{0}&{\Lambda ^{1}}_{1}&{\Lambda ^{1}}_{2}&{\Lambda ^{1}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda ^{2}}_{0}&{\Lambda ^{2}}_{1}&{\Lambda ^{2}}_{2}&{\Lambda ^{2}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda ^{3}}_{0}&{\Lambda ^{3}}_{1}&{\Lambda ^{3}}_{2}&{\Lambda ^{3}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{1}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{2}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {x'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }x^{\mu },}$$

где нижний и верхний индексы обозначают ковариантные и контравариантные компоненты соответственно, ^[22] и применяется соглашение о суммировании . Стандартным соглашением является использование греческих индексов, которые принимают значение 0 для временных компонентов и 1, 2, 3 для пространственных компонентов, в то время как латинские индексы просто принимают значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов (противоположное для Ландау и Лифшица). Обратите внимание, что первый индекс (читающийся слева направо) соответствует в матричной нотации индексу строки . Второй индекс соответствует индексу столбца.

Матрица преобразования универсальна для всех четырехвекторов , а не только для четырехмерных пространственно-временных координат. Если A — любой четырехвектор, то в индексной записи тензора $${\displaystyle {A'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }A^{\mu }\,.}$$

В качестве альтернативы можно записать , в которой штрихованные индексы обозначают индексы A в штрихованной системе отсчета. Для общего n -компонентного объекта можно записать , где Π — соответствующее представление группы Лоренца , матрица n × n для каждого Λ . В этом случае индексы не следует рассматривать как индексы пространства-времени (иногда называемые индексами Лоренца), и они пробегают от 1 до n . Например, если X — биспинор , то индексы называются индексами Дирака .$${\displaystyle A^{\nu '}={\Lambda ^{\nu '}}_{\mu }A^{\mu }\,.}$$$${\displaystyle {X'}^{\alpha }={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }X^{\beta }\,,}$$

Существуют также векторные величины с ковариантными индексами. Они, как правило, получаются из соответствующих им объектов с контравариантными индексами с помощью операции понижения индекса ; например, где η — метрический тензор . (Связанная статья также предоставляет больше информации о том, что такое операция повышения и понижения индексов на самом деле математически.) Обратное этому преобразованию задается как где, если рассматривать его как матрицы, η ^μν является обратной величиной η _μν . Как это и происходит, η ^μν = η _μν . Это называется повышением индекса . Чтобы преобразовать ковариантный вектор A _μ , сначала повысьте его индекс, затем преобразуйте его в соответствии с тем же правилом, что и для контравариантных 4 -векторов, затем, наконец, понизьте индекс;$${\displaystyle x_{\nu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu },}$$$${\displaystyle x^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }x_{\nu },}$$$${\displaystyle {A'}_{\nu }=\eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }A_{\mu }.}$$

Но$${\displaystyle \eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },}$$

То есть, это ( μ , ν ) -компонента обратного преобразования Лоренца. Определяется (в качестве обозначения) и может быть записано в этом обозначении$${\displaystyle {\Lambda _{\nu }}^{\mu }\equiv {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },}$$$${\displaystyle {A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }.}$$

Теперь тонкость. Подразумеваемое суммирование в правой части выполняется по индексу строки матрицы, представляющей Λ ⁻¹ . Таким образом, в терминах матриц это преобразование следует рассматривать как обратное транспонирование Λ , действующее на вектор-столбец A _μ . То есть, в чисто матричной записи,$${\displaystyle {A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }A_{\mu }}$$$${\displaystyle A'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mathrm {T} }A.}$$

Это означает, что ковариантные векторы (рассматриваемые как матрицы-столбцы) преобразуются в соответствии с дуальным представлением стандартного представления группы Лоренца. Это понятие обобщается на общие представления, просто замените Λ на Π(Λ) .

Если A и B — линейные операторы на векторных пространствах U и V , то линейный оператор A ⊗ B может быть определен на тензорном произведении U и V , обозначаемом U ⊗ V согласно ^[23]

Из этого сразу видно, что если u и v — 4-векторы в V , то u ⊗ v ∈ T ₂ V ≡ V ⊗ V преобразуется как

Второй шаг использует билинейность тензорного произведения, а последний шаг определяет 2-тензор в компонентной форме, или, скорее, он просто переименовывает тензор u ⊗ v .

Эти наблюдения очевидным образом обобщаются на большее количество факторов, и, используя тот факт, что общий тензор в векторном пространстве V может быть записан как сумма коэффициента (компоненты!) на тензорные произведения базисных векторов и базисных ковекторов, можно прийти к закону преобразования для любой тензорной величины T. Он задается как ^[24]