Матрицы Гелл-Манна

Матрицы Гелл-Манна , разработанные Мюрреем Гелл-Манном , представляют собой набор из восьми линейно независимых эрмитовых матриц 3×3 без следов , используемых при изучении сильного взаимодействия в физике элементарных частиц . Они охватывают алгебру Ли группы SU(3) в определяющем представлении.

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.}$

Эти матрицы являются бесследовыми , эрмитовыми и подчиняются дополнительному соотношению ортонормированности следов, поэтому они могут генерировать унитарные элементы группы матриц SU(3) посредством возведения в степень . ^[1] Эти свойства были выбраны Гелл-Манном, потому что они затем естественным образом обобщают матрицы Паули для SU(2) до SU(3), что легло в основу кварковой модели Гелл-Манна . ^[2] Обобщение Гелл-Манна далее распространяется на общую SU( n ) . Об их связи со стандартным базисом алгебр Ли см. базис Вейля–Картана .

В математике ортонормированность обычно подразумевает норму, которая имеет значение единицы (1). Матрицы Гелл-Манна, однако, нормализованы до значения 2. Таким образом, след парного произведения приводит к условию ортонормализации

${\displaystyle \operatorname {tr} (\lambda _{i}\lambda _{j})=2\delta _{ij},}$

где находится дельта Кронекера .${\displaystyle \delta _{ij}}$

Это так, что вложенные матрицы Паули, соответствующие трем вложенным подалгебрам SU (2), традиционно нормализуются. В этом трехмерном матричном представлении подалгебра Картана представляет собой набор линейных комбинаций (с действительными коэффициентами) двух матриц и , которые коммутируют друг с другом.${\displaystyle \lambda _{3}}$${\displaystyle \lambda _{8}}$

Существует три значимых подалгебры SU(2) :

• ${\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\}}$
• ${\displaystyle \{\lambda _{4},\lambda _{5},x\},}$и
• ${\displaystyle \{\lambda _{6},\lambda _{7},y\},}$

где x и y — линейные комбинации и . Казимиры SU(2) этих подалгебр взаимно коммутируют.${\displaystyle \lambda _{3}}$${\displaystyle \lambda _{8}}$

Однако любое унитарное преобразование подобия этих подалгебр даст подалгебры SU(2). Существует несчетное число таких преобразований.

8 генераторов SU(3) удовлетворяют коммутационным и антикоммутационным соотношениям ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c}f^{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I+2\sum _{c}d^{abc}\lambda _{c},\end{aligned}}}$

со структурными константами

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{abc}&=-{\frac {1}{4}}i\operatorname {tr} (\lambda _{a}[\lambda _{b},\lambda _{c}]),\\d^{abc}&={\frac {1}{4}}\operatorname {tr} (\lambda _{a}\{\lambda _{b},\lambda _{c}\}).\end{aligned}}}$

Структурные константы полностью антисимметричны по трем индексам, обобщая антисимметрию символа Леви-Чивиты SU (2) . Для текущего порядка матриц Гелл-Манна они принимают значения${\displaystyle f^{abc}}$ ${\displaystyle \epsilon _{jkl}}$

${\displaystyle f^{123}=1\ ,\quad f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}={\frac {1}{2}}\ ,\quad f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\ .}$

В общем случае они оцениваются как нулевые, если только не содержат нечетное количество индексов из набора {2,5,7}, соответствующих антисимметричному (мнимому) λ s.

Используя эти коммутационные соотношения, произведение матриц Гелл-Манна можно записать как

${\displaystyle \lambda _{a}\lambda _{b}={\frac {1}{2}}([\lambda _{a},\lambda _{b}]+\{\lambda _{a},\lambda _{b}\})={\frac {2}{3}}\delta _{ab}I+\sum _{c}\left(d^{abc}+if^{abc}\right)\lambda _{c},}$

где I — единичная матрица.

Поскольку восемь матриц и тождество представляют собой полный след-ортогональный набор, охватывающий все матрицы 3×3, несложно найти два соотношения полноты Фирца (Ли и Ченг, 4.134), аналогичные тем, которым удовлетворяют матрицы Паули . А именно, используя точку для суммирования по восьми матрицам и используя греческие индексы для их индексов строк/столбцов, выполняются следующие тождества:

${\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }={\frac {1}{3}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }+{\frac {1}{2}}\lambda _{\delta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\beta }^{\gamma }}$

и

${\displaystyle \lambda _{\beta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\delta }^{\gamma }={\frac {16}{9}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {1}{3}}\lambda _{\delta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\beta }^{\gamma }~.}$

Можно предпочесть переработанную версию, полученную в результате линейной комбинации вышеизложенного,

${\displaystyle \lambda _{\beta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\delta }^{\gamma }=2\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {2}{3}}\delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }~.}$

Конкретный выбор матриц называется групповым представлением , поскольку любой элемент SU(3) может быть записан в форме с использованием обозначений Эйнштейна , где восемь являются действительными числами, а сумма по индексу j подразумевается. При наличии одного представления эквивалентное представление может быть получено произвольным унитарным преобразованием подобия, поскольку это оставляет коммутатор неизменным.${\displaystyle \mathrm {exp} (i\theta ^{j}g_{j})}$${\displaystyle \theta ^{j}}$

Матрицы могут быть реализованы как представление бесконечно малых генераторов специальной унитарной группы, называемой SU(3) . Алгебра Ли этой группы (фактически действительная алгебра Ли) имеет размерность восемь и, следовательно, имеет некоторое множество с восемью линейно независимыми генераторами, которое можно записать как , где i принимает значения от 1 до 8. ^[1]${\displaystyle g_{i}}$

Квадратная сумма матриц Гелл-Манна дает квадратичный оператор Казимира , групповой инвариант,

${\displaystyle C=\sum _{i=1}^{8}\lambda _{i}\lambda _{i}={\frac {16}{3}}I}$

где — единичная матрица 3×3. Существует также другой, независимый, кубический оператор Казимира .${\displaystyle I\,}$

Эти матрицы служат для изучения внутренних (цветовых) вращений глюонных полей , связанных с цветными кварками квантовой хромодинамики (ср. цвета глюона ). Калибровочное цветовое вращение — это зависящий от пространства-времени элемент группы SU(3) , где подразумевается суммирование по восьми индексам k .${\displaystyle \;U=\exp \left({\frac {\ i\ }{2}}\ \theta ^{k}({\mathbf {r} },t)\ \lambda _{k}\right)\;,}$

• элемент Казимира
• Коэффициенты Клебша–Гордана для SU(3)
• Обобщения матриц Паули
• Групповые представления
• Форма убийства
• Матрицы Паули
• Кутрит
• СУ(3)

• Гелл-Манн, Мюррей (1962-02-01). «Симметрии барионов и мезонов». Physical Review . 125 (3). Американское физическое общество (APS): 1067–1084. Bibcode : 1962PhRv..125.1067G. doi : 10.1103/physrev.125.1067 . ISSN  0031-899X.
• Ченг, Т.-П.; Ли, Л.-Ф. (1983). Калибровочная теория элементарной физики частиц . Oxford University Press . ISBN 0-19-851961-3.
• Georgi, H. (1999). Алгебры Ли в физике элементарных частиц (2-е изд.). Westview Press . ISBN 978-0-7382-0233-4.
• Arfken, GB; Weber, HJ; Harris, FE (2000). Математические методы для физиков (7-е изд.). Academic Press . ISBN 978-0-12-384654-9.
• Коккеди, JJJ (1969). Модель Кварка . В. А. Бенджамин . LCCN  69014391.