Метрическая подпись

В математике сигнатура ( v , p , r ) ^{[ требуется разъяснение ]} метрического тензора g (или, что эквивалентно, действительной квадратичной формы, рассматриваемой как действительная симметричная билинейная форма на конечномерном векторном пространстве ) — это число (подсчитанное с кратностью) положительных, отрицательных и нулевых собственных значений действительной симметричной матрицы g _ab метрического тензора относительно базиса . В релятивистской физике v традиционно представляет число временных или виртуальных измерений, а p — число пространственных или физических измерений. В качестве альтернативы его можно определить как размерности максимального положительного и нулевого подпространства . По закону инерции Сильвестра эти числа не зависят от выбора базиса и, таким образом, могут использоваться для классификации метрики. Сигнатура часто обозначается парой целых чисел ( v , p ), подразумевающих r  = 0, или как явный список знаков собственных значений, таких как (+, −, −, −) или (−, +, +, +) для сигнатур (1, 3, 0) и (3, 1, 0) ^{[ необходимо разъяснение ]} соответственно. ^[1]

Сигнатура называется неопределенной или смешанной , если и v, и p не равны нулю, и вырожденной, если r не равно нулю. Риманова метрика — это метрика с положительно определенной сигнатурой ( v , 0) . Лоренцева метрика — это метрика с сигнатурой ( p , 1) или (1, p ) .

Существует еще одно понятие сигнатуры невырожденного метрического тензора, заданного одним числом s, определяемым как ( v − p ) , где v и p такие же, как указано выше, что эквивалентно приведенному выше определению, когда размерность n = v + p задана или подразумевается. Например, s = 1 − 3 = −2 для (+, −, −, −) и его зеркальное отображение s' = − s = +2 для (−, +, +, +) .

Сигнатура метрического тензора определяется как сигнатура соответствующей квадратичной формы . ^[2] Это число ( v , p , r ) положительных, отрицательных и нулевых собственных значений любой матрицы (т. е. в любом базисе для базового векторного пространства), представляющей форму, подсчитанное с их алгебраическими кратностями . Обычно требуется r = 0 , что равносильно утверждению, что метрический тензор должен быть невырожденным, т. е. никакой ненулевой вектор не ортогонален всем векторам.

По закону инерции Сильвестра числа ( v , p , r ) не зависят от базиса.

По спектральной теореме симметричная матрица n  ×  n над действительными числами всегда диагонализируема и, следовательно, имеет ровно n действительных собственных значений (подсчитанных с алгебраической кратностью ). Таким образом, v + p = n = dim( V ) .

Согласно закону инерции Сильвестра , сигнатура скалярного произведения (также известного как действительная симметричная билинейная форма) g не зависит от выбора базиса. Более того, для каждой метрики g сигнатуры ( v , p , r ) существует базис такой, что g _ab = +1 для a = b = 1, ..., v , g _ab = −1 для a = b = v + 1, ..., v + p и g _ab = 0 в противном случае. Отсюда следует, что существует изометрия ( V ₁ , g ₁ ) → ( V ₂ , g ₂ ) тогда и только тогда, когда сигнатуры g ₁ и g ₂ равны. Аналогично сигнатура одинакова для двух конгруэнтных матриц и классифицирует матрицу с точностью до конгруэнтности. Эквивалентно, сигнатура постоянна на орбитах общей линейной группы GL( V ) на пространстве симметричных контравариантных тензоров ранга 2 S ² V ^∗ и классифицирует каждую орбиту.

Число v (соответственно p ) является максимальной размерностью векторного подпространства, на котором скалярное произведение g является положительно-определенным (соответственно отрицательно-определенным), а r является размерностью радикала скалярного произведения g или нулевого подпространства симметричной матрицы g _ab скалярного произведения . Таким образом, невырожденное скалярное произведение имеет сигнатуру ( v , p , 0) , причем v + p = n . Двойственность особых случаев ( v , p , 0) соответствует двум скалярным собственным значениям, которые могут быть преобразованы друг в друга зеркальным отображением взаимно.

Сигнатура единичной матрицы n  ×  n равна ( n , 0, 0) . Сигнатура диагональной матрицы — это количество положительных, отрицательных и нулевых чисел на ее главной диагонали .

Следующие матрицы имеют одинаковую сигнатуру (1, 1, 0) , поэтому они конгруэнтны из-за закона инерции Сильвестра :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Стандартное скалярное произведение, определенное на , имеет n -мерные сигнатуры ( v , p , r ) , где v + p = n и ранг r = 0 .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В физике пространство Минковского представляет собой пространственно-временное многообразие с основаниями v = 1 и p = 3 и имеет скалярное произведение, определяемое либо матрицей :${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle {\check {г}}}$

${\displaystyle {\check {g}}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

которая имеет сигнатуру и известна как превосходство пространства или подобное пространству; или зеркальная сигнатура , известная как виртуальное превосходство или подобное времени с матрицей. ${\displaystyle (1,3,0)^{-}}$${\displaystyle (1,3,0)^{+}}$${\displaystyle {\шляпа {г}}}$

${\displaystyle {\hat {g}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}=-{\check {g}}}$

Существует несколько методов вычисления сигнатуры матрицы.

• Для любой невырожденной симметричной матрицы размера n  ×  n диагонализуйте ее (или найдите все ее собственные значения ) и подсчитайте количество положительных и отрицательных знаков.
• Для симметричной матрицы характеристический многочлен будет иметь все действительные корни, знаки которых в некоторых случаях могут быть полностью определены правилом знаков Декарта .
• Алгоритм Лагранжа дает способ вычислить ортогональный базис и, таким образом, вычислить диагональную матрицу, конгруэнтную (то есть имеющую ту же сигнатуру) другой: сигнатура диагональной матрицы — это число положительных, отрицательных и нулевых элементов на ее диагонали.
• Согласно критерию Якоби, симметричная матрица является положительно определенной тогда и только тогда, когда все определители ее главных миноров положительны.

В математике обычным соглашением для любого риманова многообразия является использование положительно определенного метрического тензора (это означает, что после диагонализации все элементы на диагонали становятся положительными).

В теоретической физике пространство -время моделируется псевдоримановым многообразием . Сигнатура подсчитывает, сколько времениподобных или пространственноподобных символов находится в пространстве-времени, в смысле, определенном специальной теорией относительности : как это используется в физике элементарных частиц , метрика имеет собственное значение на времениподобном подпространстве и его зеркальное собственное значение на пространственноподобном подпространстве. В конкретном случае метрики Минковского ,

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},}$

метрическая сигнатура равна или (+, −, −, −), если ее собственное значение определено в направлении времени, или или (−, +, +, +), если собственное значение определено в трех пространственных направлениях x , y и z . (Иногда используется противоположное соглашение о знаках , но с приведенным здесь s напрямую измеряет собственное время .)${\displaystyle (1,3,0)^{+}}$${\displaystyle (1,3,0)^{-}}$

Если метрика регулярна всюду, то сигнатура метрики постоянна. Однако если допустить метрики, которые вырождены или разрывны на некоторых гиперповерхностях, то сигнатура метрики может измениться на этих поверхностях. ^[3] Такие метрики, изменяющие сигнатуру, возможно, могут иметь приложения в космологии и квантовой гравитации .

• псевдориманово многообразие
• Подписать соглашение