Частотно-избирательная поверхность

This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these messages) A major contributor to this article appears to have a close connection with its subject. It may require cleanup to comply with Wikipedia's content policies, particularly neutral point of view. Please discuss further on the talk page. (October 2020) (Learn how and when to remove this message) This article needs attention from an expert in Physics. The specific problem is: See template messages below. WikiProject Physics may be able to help recruit an expert. (October 2017) This article may be too technical for most readers to understand. Please help improve it to make it understandable to non-experts, without removing the technical details. (October 2017) (Learn how and when to remove this message) This article may contain an excessive amount of intricate detail that may interest only a particular audience. Please help by spinning off or relocating any relevant information, and removing excessive detail that may be against Wikipedia's inclusion policy. (October 2017) (Learn how and when to remove this message) This article is written like a personal reflection, personal essay, or argumentative essay that states a Wikipedia editor's personal feelings or presents an original argument about a topic. Please help improve it by rewriting it in an encyclopedic style. (October 2017) (Learn how and when to remove this message) This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (July 2024) (Learn how and when to remove this message) (Learn how and when to remove this message)

Articles about
Electromagnetism
Electricity Magnetism Optics History Computational Textbooks Phenomena
Electrostatics Charge density Conductor Coulomb law Electret Electric charge Electric dipole Electric field Electric flux Electric potential Electrostatic discharge Electrostatic induction Gauss law Insulator Permittivity Polarization Potential energy Static electricity Triboelectricity
Magnetostatics Ampère law Biot–Savart law Gauss magnetic law Magnetic dipole Magnetic field Magnetic flux Magnetic scalar potential Magnetic vector potential Magnetization Permeability Right-hand rule
Electrodynamics Bremsstrahlung Cyclotron radiation Displacement current Eddy current Electromagnetic field Electromagnetic induction Electromagnetic pulse Electromagnetic radiation Faraday law Jefimenko equations Larmor formula Lenz law Liénard–Wiechert potential London equations Lorentz force Maxwell equations Maxwell tensor Poynting vector Synchrotron radiation
Electrical network Alternating current Capacitance Current density Direct current Electric current Electric power Electrolysis Electromotive force Impedance Inductance Joule heating Kirchhoff laws Network analysis Ohm law Parallel circuit Resistance Resonant cavities Series circuit Voltage Watt Waveguides
Magnetic circuit AC motor DC motor Electric machine Electric motor Gyrator–capacitor Induction motor Linear motor Magnetomotive force Permeance Reluctance (complex) Reluctance (real) Rotor Stator Transformer
Covariant formulation Electromagnetic tensor Electromagnetism and special relativity Four-current Four-potential Mathematical descriptions Maxwell equations in curved spacetime Relativistic electromagnetism Stress–energy tensor
Scientists Ampère Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Helmholtz Henry Hertz Hopkinson Jefimenko Joule Kelvin Kirchhoff Larmor Lenz Liénard Lorentz Maxwell Neumann Ohm Ørsted Poisson Poynting Ritchie Savart Singer Steinmetz Tesla Thomson Volta Weber Wiechert
v t e

Частотно -селективная поверхность ( FSS ) — это тонкая, повторяющаяся поверхность (например, экран микроволновой печи), предназначенная для отражения, передачи или поглощения электромагнитных полей в зависимости от частоты поля. В этом смысле FSS — это тип оптического фильтра или оптических фильтров с металлической сеткой , в которых фильтрация осуществляется за счет регулярного периодического (обычно металлического, но иногда диэлектрического) рисунка на поверхности FSS. Хотя это явно не указано в названии, FSS также обладают свойствами, которые изменяются в зависимости от угла падения и поляризации ; это неизбежные следствия способа, которым построены FSS. Частотно-селективные поверхности чаще всего используются в радиосигналах электромагнитного спектра и находят применение в таких разнообразных приложениях, как вышеупомянутые микроволновые печи , антенные обтекатели и современные метаматериалы . Иногда частотно-селективные поверхности называют просто периодическими поверхностями, и они являются двумерным аналогом новых периодических объемов, известных как фотонные кристаллы .

Многие факторы вовлечены в понимание работы и применения частотно-селективных поверхностей. Они включают методы анализа, принципы работы, принципы проектирования, методы производства и методы соединения этих структур в космические, наземные и воздушные платформы.

Метод волн Блоха – MoM – это метод первых принципов для определения структуры фотонной зоны трижды периодических электромагнитных сред, таких как фотонные кристаллы . Он основан на методе трехмерной спектральной области ^[1] , специализированном для трижды периодических сред. Этот метод использует метод моментов (MoM) в сочетании с разложением электромагнитного поля по волнам Блоха для получения матричного уравнения собственных значений для полос распространения. Собственное значение – это частота (для заданной постоянной распространения), а собственный вектор – это набор амплитуд тока на поверхности рассеивателей. Метод волн Блоха – MoM в принципе похож на метод разложения по плоским волнам , но поскольку он дополнительно использует метод моментов для получения поверхностного интегрального уравнения, он значительно более эффективен как с точки зрения числа неизвестных, так и числа плоских волн, необходимых для хорошей сходимости.

Волна Блоха - MoM - это расширение на 3 измерения метода спектральной области MoM, обычно используемого для анализа 2D периодических структур, таких как частотно-селективные поверхности (FSS). В обоих случаях поле расширяется как набор мод собственных функций (либо волна Блоха в 3D, либо дискретная плоская волна - также известная как мода Флоке - спектр в 2D), и интегральное уравнение применяется к поверхности рассеивателей в каждой элементарной ячейке. В случае FSS элементарная ячейка является 2-мерной, а в случае фотонного кристалла элементарная ячейка является 3-мерной.

Подход Блоховской волны - MoM будет проиллюстрирован здесь для случая идеально электропроводящих (PEC) структур, допускающих только источники электрического тока, J. ​​Однако его также можно легко распространить на диэлектрические структуры, используя известные внутренние и внешние эквивалентные задачи, обычно используемые в обычных формулировках метода моментов пространственной области. ^[2] В диэлектрических задачах имеется в два раза больше неизвестных - J и M - и также в два раза больше уравнений для обеспечения - непрерывности тангенциальных E и H - на диэлектрических интерфейсах. ^[3]

Для структур ФЭП электрическое поле E связано с векторным магнитным потенциалом A известным соотношением:

$${\displaystyle \mathbf {E} ~=~-jk\eta \left[\mathbf {A} +{\frac {1}{k^{2}}}\nabla (\nabla \bullet \mathbf {A} )\right]}$$

1.1.1

а векторный магнитный потенциал в свою очередь связан с токами источника через:

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} +k^{2}\mathbf {A} ~=~-\mathbf {J} }$$

1.1.2

где

$${\displaystyle k^{2}~=~\omega ^{2}(\mu \varepsilon )}$$

1.1.3

Для решения уравнений ( 1.1.1 ) и ( 1.1.2 ) в бесконечном периодическом объеме можно предположить разложение волн Блоха для всех токов, полей и потенциалов:

$${\displaystyle \mathbf {J} (x,y,z)~=~\sum _{mnp}~\mathbf {J} (\alpha _{m},\beta _{n},\gamma _{p})~e^{j(\alpha _{m}x+\beta _{n}y+\gamma _{p}z)}}$$

1.2.1а

$${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z)~=~\sum _{mnp}~\mathbf {E} (\alpha _{m},\beta _{n},\gamma _{p})~e^{j(\alpha _{m}x+\beta _{n}y+\gamma _{p}z)}}$$

1.2.1б

$${\displaystyle \mathbf {A} (x,y,z)~=~\sum _{mnp}~\mathbf {A} (\alpha _{m},\beta _{n},\gamma _{p})~e^{j(\alpha _{m}x+\beta _{n}y+\gamma _{p}z)}}$$

1.2.1с

где для простоты мы предполагаем ортогональную решетку, в которой α зависит только от m , β зависит только от n и γ зависит только от p . При таком предположении

$${\displaystyle \alpha _{m}~=~k_{0}~\sin \theta _{0}~\cos \phi _{0}~+~{\frac {2m\pi }{l_{x}}}}$$

1.2.2а

$${\displaystyle \beta _{n}~=~k_{0}~\sin \theta _{0}~\sin \phi _{0}~+~{\frac {2n\pi }{l_{y}}}}$$

1.2.2б

$${\displaystyle \gamma _{p}~=~k_{0}~\cos \theta _{0}~+~{\frac {2p\pi }{l_{z}}}}$$

1.2.2с

и,

$${\displaystyle k_{0}~=~2\pi /\lambda }$$

1.2.3

где l _x , l _y , l _z — размеры элементарной ячейки в направлениях x , y , z соответственно, λ — эффективная длина волны в кристалле, а θ ₀ , φ ₀ — направления распространения в сферических координатах .

Величина k в уравнениях ( 1.1.1 ) и ( 1.1.2 ) изначально происходит из производной по времени в уравнениях Максвелла и является постоянной распространения в свободном пространстве (фактически, постоянной распространения любой диэлектрической среды, в которую встроены металлические рассеиватели), пропорциональной частоте, как в уравнении ( 1.1.3 ). С другой стороны, k ₀ в уравнениях выше происходит из предполагаемого решения волны Блоха, заданного уравнениями ( 1.2.1 ) и ( 1.2.2 ). В результате она представляет собой постоянную распространения внутри периодической среды, обратно пропорциональную длине волны. Эти два k , то есть постоянная распространения в свободном пространстве (пропорциональная частоте) и постоянная распространения волны Блоха (обратно пропорциональная длине волны), в общем случае различны, тем самым допуская дисперсию в решении. Зонная диаграмма по сути является графиком k как функции k ₀ .

Разложения волн Блоха в уравнениях ( 1.2.1 ) представляют собой не что иное, как экспоненциальные ряды Фурье, умноженные на коэффициент распространения от ячейки к ячейке: Разложения волн Блоха выбраны, поскольку любое полевое решение в бесконечном периодическом объеме должно иметь ту же периодичность, что и сама среда, или, другими словами, поля в соседних ячейках должны быть идентичны с точностью до (действительного или комплексного) коэффициента распространения. В полосах пропускания коэффициент распространения является экспоненциальной функцией с чисто мнимым аргументом, а в полосах задерживания (или запрещенных зонах) это затухающая экспоненциальная функция, аргумент которой имеет действительную составляющую.${\displaystyle e^{j(\alpha _{0}x+\beta _{0}y+\gamma _{0}z)}.}$

Волновые числа α ₀ , β ₀ и γ ₀ удовлетворяют соотношениям: и за пределами этих диапазонов полосы являются периодическими.${\displaystyle |\alpha _{0}|~\leq ~{\frac {\pi }{l_{x}}}~,~~~~|\beta _{0}|~\leq ~{\frac {\pi }{l_{y}}}~,~~~~|\gamma _{0}|~\leq ~{\frac {\pi }{l_{z}}}~~~~}$

Волны Блоха являются периодическими функциями пространства с периодами l _x , l _y , l _z , а полосы являются периодическими функциями волнового числа с периодами: , и${\displaystyle {\frac {2\pi }{l_{x}}}}$${\displaystyle {\frac {2\pi }{l_{y}}}}$${\displaystyle {\frac {2\pi }{l_{z}}}}$

Подстановка уравнений ( 1.2.1 ) в ( 1.1.1 ) и ( 1.1.2 ) дает спектральную область функции Грина, связывающую излучаемое электрическое поле с его исходными токами:

$${\displaystyle \mathbf {E} (\alpha _{m},\beta _{n},\gamma _{p})~=~{\frac {jk\eta }{k^{2}-\alpha _{m}^{2}-\beta _{n}^{2}-\gamma _{p}^{2}}}~\mathbf {G} _{mnp}~\mathbf {J} (\alpha _{m},\beta _{n},\gamma _{p})}$$

1.3.1

где,

$${\displaystyle \mathbf {G} _{mnp}~=~{\begin{pmatrix}1-{\frac {\alpha _{m}^{2}}{k^{2}}}&-{\frac {\alpha _{m}\beta _{n}}{k^{2}}}&-{\frac {\alpha _{m}\gamma _{p}}{k^{2}}}\\-{\frac {\alpha _{m}\beta _{n}}{k^{2}}}&1-{\frac {\beta _{n}^{2}}{k^{2}}}&-{\frac {\beta _{n}\gamma _{p}}{k^{2}}}\\-{\frac {\alpha _{m}\gamma _{p}}{k^{2}}}&-{\frac {\beta _{n}\gamma _{p}}{k^{2}}}&1-{\frac {\gamma _{p}^{2}}{k^{2}}}\end{pmatrix}}}$$

1.3.2

— тензорная функция Грина в спектральной области. Обратите внимание, что пространственная свертка домена была преобразована в простое умножение в спектральной области, в соответствии с теоремой о свертке для преобразований Фурье.

При использовании этого уравнения для электрического поля граничное условие электрического поля (требующее, чтобы полное тангенциальное электрическое поле было равно нулю на поверхности рассеивателя ПЭК) становится следующим:

$${\displaystyle \sum _{mnp}~{\frac {1}{k^{2}-\alpha _{m}^{2}-\beta _{n}^{2}-\gamma _{p}^{2}}}~\mathbf {G} _{mnp}~\mathbf {J} (\alpha _{m},\beta _{n},\gamma _{p})~e^{j(\alpha _{m}x+\beta _{n}y+\gamma _{p}z)}~=~\mathbf {0} }$$

1.3.3

Поскольку мы ищем характерные моды (собственные моды) структуры, на RHS этого интегрального уравнения электрического поля (EFIE) нет приложенного электрического поля. Однако уравнение ( 1.3.3 ) не является строго верным, поскольку на поверхности рассеивателя PEC фактически равны нулю только тангенциальные компоненты электрического поля. Эта неточность будет устранена в настоящее время, когда мы проверим это уравнение с базисными функциями электрического тока, определенными как находящиеся на поверхности рассеивателя.

Как обычно в методе моментов, токи источника теперь разлагаются в сумму по некоторому известному набору базисных функций с неизвестными весовыми коэффициентами J _j :

$${\displaystyle \mathbf {J} (x,y,z)~=~\sum _{j}~J_{j}~\mathbf {J} _{j}(x,y,z)}$$

1.4.1

Различные структуры будут иметь различные наборы базисных функций для представления токов в элементах, и, как и в обычном методе моментов в пространственной области, решение (в данном случае зонная диаграмма) является функцией набора используемых базисных функций .

Подставляя ( 1.4.1 ) в ( 1.3.3 ) и затем проверяя полученное уравнение с i -й текущей базисной функцией (т.е. расставляя точки слева и интегрируя по области i -й текущей базисной функции, тем самым завершая квадратичную форму), получаем i -ю строку матричного уравнения собственных значений для 3-мерного массива рассеивателей PEC в виде:

$${\displaystyle \sum _{j}~J_{j}~\left[~\sum _{mnp}~{\frac {\mathbf {J} _{i}(-\alpha _{m},-\beta _{n},-\gamma _{p})~\mathbf {G} _{mnp}~\mathbf {J} _{j}(\alpha _{m},\beta _{n},\gamma _{p})}{k^{2}-\alpha _{m}^{2}-\beta _{n}^{2}-\gamma _{p}^{2}}}\right]~=~\mathbf {0} }$$

1.4.2

Как и во всех формулировках MoM, при получении этого уравнения использовалась концепция реакции в электромагнетизме ^{[2] [4]} . Условия границы/непрерывности электрического поля «проверяются» (или обеспечиваются) путем интегрирования по базисным функциям электрического тока (для диэлектрических структур условия непрерывности магнитного поля дополнительно проверяются путем интегрирования по базисным функциям магнитного тока), и именно так граничные условия электрического (и магнитного) поля преобразуются в матричное уравнение с помощью метода моментов. Этот процесс полностью аналогичен тому, который используется для разложения периодической функции на ее компоненты Фурье синус и косинус, единственное отличие состоит в том, что в этом случае базисные функции не обязательно ортогональны, а просто линейно независимы.

Это матричное уравнение легко реализовать, и для него требуется только вычислить трехмерное преобразование Фурье (FT) базисных функций, желательно в замкнутой форме. ^[3] Фактически, вычисление полос трехмерного фотонного кристалла этим методом не сложнее, чем вычисление отражения и пропускания от двухмерной периодической поверхности с использованием метода спектральной области. Это связано с тем, что уравнение ( 1.4.2 ) идентично базовому EFIE для отдельно стоящего PEC FSS (см. уравнение частотно-селективной поверхности 1.4.2 ), ^[5] единственным отличием является более сильная сингулярность в трехмерном пространстве, которая значительно ускоряет сходимость тройных сумм, и, конечно, тот факт, что векторы теперь трехмерны. В результате обычного ПК достаточно для вычисления полос многих типов фотонных кристаллов.

Из ( 1.4.2 ) очевидно , что EFIE может стать сингулярным всякий раз, когда волновое число свободного пространства в точности равно одному из волновых чисел в любом из 3 периодических координатных направлений. Это может произойти, например, когда длина волны свободного пространства в точности равна шагу решетки. Это статистически редкое явление в вычислительной практике и соответствует аномалии распространения, аналогичной аномалии отражения Вуда для решеток.

Для вычисления полос кристалла (т.е. диаграмм k - k ₀ ) последовательно пробуются значения частоты ( k ) - в сочетании с предварительно выбранными значениями постоянной распространения ( k ₀ ) и направления распространения ( θ ₀ и φ ₀ ) - до тех пор, пока не будет найдена комбинация, которая сведет определитель матрицы к нулю. Уравнение ( 1.4.2 ) использовалось для вычисления полос в различных типах легированных и нелегированных фотонных кристаллов . ^{[3] [6]} Неудивительно, что легирование фотонных кристаллов дефектами дает возможность проектировать фотонные полосы пропускания, точно так же, как легирование полупроводников химическими примесями дает возможность проектировать электронные полосы пропускания.

Для многих базисных функций подсекционных, таких как те, которые имеют полусинусоидальную или треугольную форму вдоль круглого провода, FT базисной функции для отрицательных волновых чисел -α, -β, -γ является комплексно сопряженной базисной функцией FT для положительных волновых чисел. В результате матрица в уравнении ( 1.4.2 ) является эрмитовой . И в результате этого нужно вычислить только половину матрицы. И второй результат заключается в том, что определитель является чисто действительной функцией действительного волнового числа k . Нули обычно возникают в нулевых пересечениях (точки перегиба, где кривизна равна нулю), поэтому простого алгоритма поиска корней, такого как метод Ньютона , обычно достаточно, чтобы найти корни с очень высокой степенью точности. Однако все еще может быть полезно построить определитель как функцию k , чтобы наблюдать его поведение вблизи нулей.

С точки зрения удобства вычислений, если размер матрицы больше 2×2, гораздо эффективнее вычислить определитель, либо приведя матрицу к верхней треугольной форме с помощью QR-разложения , либо вычислив определитель , приведя его к ступенчатой ​​форме с помощью метода исключения Гаусса , чем пытаться вычислить определитель матрицы напрямую.

Исторически первым подходом к решению для полей, отраженных и переданных FSS, был метод спектральной области (SDM), и он по-прежнему является ценным инструментом даже сегодня [Scott(1989)]. Метод спектральной области известен в Университете штата Огайо как периодический метод моментов (PMM). SDM начинается с предполагаемого решения ряда Флоке/Фурье для всех полей, токов и потенциалов, тогда как PMM начинается с одного рассеивателя, затем добавляет все рассеиватели в бесконечной плоскости (в пространственной области ) , затем использует преобразование для получения спектрального представления полей. Оба подхода фактически являются одним и тем же подходом в том смысле, что они оба предполагают бесконечную плоскую структуру, которая приводит к дискретному представлению ряда Фурье для полей.

Метод спектральной области имеет одно очень важное преимущество перед другими – строго численными – решениями уравнений Максвелла для FSS. И это то, что он дает матричное уравнение очень малой размерности, поэтому его можно решить практически на любом типе компьютера. Размерность матрицы определяется числом текущих базисных функций на каждом отдельном рассеивателе и может быть такой же малой, как 1×1 для диполя на резонансе или ниже. Однако вычисление элементов матрицы занимает больше времени, чем при объемных подходах, таких как FEM. Объемные подходы требуют, чтобы объем, окружающий элементарную ячейку, был точно размечен, и могут потребовать многих тысяч элементов для точного решения, хотя матрицы обычно разрежены.

Метод спектральной области основан на принципе Флоке, который подразумевает, что когда бесконечная, плоская, периодическая структура освещается бесконечной плоской волной, то каждая элементарная ячейка в периодической плоскости должна содержать точно такие же токи и поля, за исключением сдвига фаз, соответствующего фазе падающего поля. Этот принцип позволяет записать все токи, поля и потенциалы в терминах модифицированного ряда Фурье, который состоит из обычного ряда Фурье, умноженного на фазу падающего поля. Если периодическая плоскость занимает плоскость x - y , то ряд Фурье является двумерным рядом Фурье по  x ,  y .

Как и в Фурье-оптике , разложение в ряд Флоке–Фурье полей и токов в плоскости FSS немедленно приводит к представлению дискретного плосковолнового спектра полей по обе стороны от FSS.

Идеально электропроводящие (PEC) периодические поверхности не только наиболее распространены, но и наиболее просты для математического понимания, поскольку они допускают только источники электрического тока J. В этом разделе представлен метод спектральной области для анализа отдельно стоящего (без подложки) PEC FSS. Электрическое поле E связано с векторным магнитным потенциалом A через известное соотношение (Harrington [2001], Scott [1989], Scott [1997]):

$${\displaystyle \mathbf {E} ~=~-jk\eta \left[\mathbf {A} +{\frac {1}{k^{2}}}\nabla (\nabla \bullet \mathbf {A} )\right]}$$

2.1.1

а векторный магнитный потенциал, в свою очередь, связан с токами источника через (Харрингтон [2001], Скотт [1997]):

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} +k^{2}\mathbf {A} ~=~-\mathbf {J} }$$

2.1.2

где

$${\displaystyle k^{2}~=~\omega ^{2}(\mu \varepsilon )=(2\pi /\lambda )^{2}}$$

2.1.3

Частотно-селективные поверхности часто стратифицированы в направлении, нормальном к плоскости поверхности. То есть, все диэлектрики стратифицированы, и все металлические проводники также считаются стратифицированными, и они будут считаться идеально плоскими. В результате мы исключаем металлические переходные отверстия (провода, перпендикулярные плоскости FSS), которые потенциально могли бы соединять токи из разных слоев структуры FSS. Имея в виду этот тип стратифицированной структуры, мы можем затем использовать разложение плоских волн для полей внутри и вокруг FSS, поскольку плоские волны являются решением собственных функций векторных волновых уравнений в средах без источников .

Чтобы решить уравнения ( 2.1.1 ) и ( 2.1.2 ) для свободно стоящей двоякопериодической поверхности, рассмотрим бесконечную двумерную периодическую поверхность, занимающую всю плоскость xy, и предположим дискретное разложение плоских волн для всех токов, полей и потенциалов (Tsao [1982], Scott [1989], Фурье-оптика ):

$${\displaystyle \mathbf {J} (x,y,z)~=~\sum _{mn}~\mathbf {J} (\alpha _{m},\beta _{n})~e^{j(\alpha _{m}x+\beta _{n}y\pm \gamma _{mn}z)}}$$

2.2.1а

$${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z)~=~\sum _{mn}~\mathbf {E} (\alpha _{m},\beta _{n})~e^{j(\alpha _{m}x+\beta _{n}y\pm \gamma _{mn}z)}}$$

2.2.1б

$${\displaystyle \mathbf {A} (x,y,z)~=~\sum _{mn}~\mathbf {A} (\alpha _{m},\beta _{n})~e^{j(\alpha _{m}x+\beta _{n}y\pm \gamma _{mn}z)}}$$

2.2.1с

где для математической простоты мы предполагаем прямоугольную решетку, в которой α зависит только от m, а β зависит только от n . В уравнениях выше,

$${\displaystyle \alpha _{m}~=~k~\sin \theta _{0}~\cos \phi _{0}~+~{\frac {2m\pi }{l_{x}}}}$$

2.2.2а

$${\displaystyle \beta _{n}~=~k~\sin \theta _{0}~\sin \phi _{0}~+~{\frac {2n\pi }{l_{y}}}}$$

2.2.2б

$${\displaystyle \gamma _{mn}~=~{\sqrt {~k^{2}~-~\alpha _{m}^{2}~-~\beta _{n}^{2}}}}$$

2.2.2с

и,

$${\displaystyle k~=~2\pi /\lambda }$$

2.2.3

где l _x , l _y — размеры элементарной ячейки в направлениях x , y соответственно, λ — длина волны в свободном пространстве, а θ ₀ , φ ₀ — направления предполагаемой падающей плоской волны, причем FSS рассматривается как лежащая в плоскости x - y . В ( 2.2.2c ) берется корень, имеющий положительную действительную часть и неположительную (т. е. либо отрицательную, либо нулевую) мнимую часть).

Подстановка уравнений ( 2.2.1 ) в ( 2.1.1 ) и ( 2.1.2 ) дает спектральную область функции Грина, связывающую излучаемое электрическое поле с его исходными токами (Скотт [1989]), где теперь мы рассматриваем только те компоненты векторов поля, которые лежат в плоскости FSS, плоскости xy:

$${\displaystyle \mathbf {E} (\alpha _{m},\beta _{n})~=~{\frac {jk\eta }{\sqrt {k^{2}-\alpha _{m}^{2}-\beta _{n}^{2}}}}~\mathbf {G} _{mn}~\mathbf {J} (\alpha _{m},\beta _{n})}$$

2.3.1

где,

$${\displaystyle \mathbf {G} _{mn}~=~{\begin{pmatrix}1-{\frac {\alpha _{m}^{2}}{k^{2}}}&-{\frac {\alpha _{m}\beta _{n}}{k^{2}}}\\-{\frac {\alpha _{m}\beta _{n}}{k^{2}}}&1-{\frac {\beta _{n}^{2}}{k^{2}}}\end{pmatrix}}}$$

2.3.2

Можно заметить сингулярность точки ветвления в уравнении выше (обратная квадратно-корневая сингулярность), которая не является проблемой благодаря дискретному спектру, пока длина волны никогда не равна расстоянию между ячейками. При этом граничное условие электрического поля на поверхности материала PEC внутри элементарной ячейки становится (Скотт [1989]):

$${\displaystyle \sum _{mn}~{\frac {1}{\sqrt {k^{2}-\alpha _{m}^{2}-\beta _{n}^{2}}}}~\mathbf {G} _{mnp}~\mathbf {J} (\alpha _{m},\beta _{n})~e^{j(\alpha _{m}x+\beta _{n}y)}~=~-\mathbf {E} ^{inc}(x,y)}$$

2.3.3

где мы снова ограничиваем наше внимание компонентами x, y токов и полей, которые лежат в плоскости рассеивателя.

Уравнение ( 2.3.3 ) не является строго верным, поскольку только тангенциальные компоненты электрического поля фактически равны нулю на поверхности рассеивателей PEC. Эта неточность будет разрешена в настоящее время, когда ( 2.3.3 ) будет проверено с текущими базисными функциями, определенными как находящиеся на поверхности рассеивателя.

В этом типе задач падающее поле рассматривается как плоская волна, выражаемая как

$${\displaystyle \mathbf {E} ^{inc}(x,y)=~\mathbf {E} ^{inc}(\alpha _{0},\beta _{0})~e^{j(\alpha _{0}x+\beta _{0}y)}}$$

2.3.4

в плоскости xy.

Как обычно в методе моментов, мы предполагаем разложение для токов источника по некоторому известному набору базисных функций с неизвестными весовыми коэффициентами J _j (Скотт [1989]):

$${\displaystyle \mathbf {J} (x,y,z)~=~\sum _{j}~J_{j}~\mathbf {J} _{j}(x,y,z)}$$

2.4.1

Подставляя ( 2.4.1 ) в ( 2.3.3 ) и затем проверяя полученное уравнение с i -й текущей базисной функцией (т.е. расставляя точки слева и интегрируя по области i -й текущей базисной функции, тем самым завершая квадратичную форму), получаем i -ю строку матричного уравнения в виде (Скотт [1989]):

$${\displaystyle \sum _{j}~J_{j}~\left[~\sum _{mn}~{\frac {\mathbf {J} _{i}(-\alpha _{m},-\beta _{n})~\mathbf {G} _{mn}~\mathbf {J} _{j}(\alpha _{m},\beta _{n})}{\sqrt {k^{2}-\alpha _{m}^{2}-\beta _{n}^{2}}}}\right]~=~-\mathbf {J} _{i}(-\alpha _{0},-\beta _{0})~\bullet ~\mathbf {E} ^{inc}(\alpha _{0},\beta _{0})}$$

2.4.2

Это i -я строка интегрального уравнения электрического поля (EFIE) для отдельно стоящего металлического FSS. Уравнение ( 2.4.2 ) может быть легко модифицировано для анализа FSS с окружающими диэлектрическими листами (подложками и/или суперстратами) и даже сложными многослойными структурами FSS (Scott [1989]). Все эти матричные уравнения очень просты в реализации и требуют только вычисления двумерного преобразования Фурье (FT) базисных функций, желательно в замкнутой форме. Существует поразительное сходство между уравнением ( 2.4.2 ) выше и методом волн Блоха - MoM уравнением ( 2.4.2 ) для вычисления диаграмм ω–β для трижды периодических электромагнитных сред, таких как фотонные кристаллы (Scott [1998], Scott [2002], доступно на researchgate.net). Учитывая это сходство, уравнение ( 2.4.2 ) и его многочисленные варианты в диэлектрических слоистых структурах FSS (Скотт [1989]) также могут быть использованы (с правой частью, установленной на ноль) для обнаружения поверхностных волн в сложных структурах FSS.

Базисные функции RWG (Рао–Уилтона–Глиссона) (Рао, Уилтон и Глиссон [1982]) являются весьма универсальным выбором для многих целей и имеют преобразование, которое легко вычисляется с использованием координат области .

Уравнения ( 2.4.2 ) и ( 2.3.1 ) были использованы для решения электрического тока J , а затем рассеянных полей E для вычисления отражения и передачи от различных типов FSS (Скотт[1989]). Отраженное поле обусловлено токами на FSS (поле, излучаемое FSS), а переданное поле равно излучаемому полю плюс падающее поле и отличается от отраженного поля только для порядка m = 0 , n = 0 (нулевой порядок).

Или же численный метод с периодическими граничными условиями может служить мощным инструментом для вычисления коэффициентов ФСС.

Для длин волн, превышающих размеры решетки FSS, фактически распространяется только одна из бесконечности мод Флоке. Все остальные (экспоненциально затухают в направлении z, нормальном к плоскости FSS, поскольку величина под корнем в ( 2.2c ) отрицательна. А для расстояний FSS, превышающих примерно одну десятую длины волны, эти затухающие волновые поля оказывают незначительное влияние на производительность стека FSS. Таким образом, для практических целей в диапазонах частот, для которых мы, вероятно, будем использовать FSS, одной распространяющейся волны будет достаточно, чтобы охватить существенные свойства многослойного стека FSS. Эту одну распространяющуюся волну можно смоделировать в терминах эквивалентной линии передачи.

Лист FSS может быть представлен в терминах сосредоточенных сетей RLC, размещенных параллельно поперек линии передачи. Модель шунтирующей проводимости FSS точна только для бесконечно тонкого FSS, для которого тангенциальное электрическое поле непрерывно поперек FSS; для FSS конечной толщины в качестве лучшего приближения можно использовать тройниковую или пи-сеть.

Как свободное пространство, так и линии передачи допускают решения бегущей волны TEM, и даже плоские волны TE/TM в свободном пространстве могут быть смоделированы с использованием эквивалентных моделей линий передачи. Главное, что как свободное пространство, так и линии передачи допускают решения бегущей волны с z-зависимостью вида:$${\displaystyle e^{\pm jkz}}$$

Эквивалентные линии электропередачи можно построить следующим образом:

Для волн ТЕМ,$${\displaystyle Z_{0}~=~{\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}}$$$${\displaystyle k_{0}~=~\omega {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$$

Для волн TE,$${\displaystyle Z_{0}~=~{\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}~/~\cos \theta }$$$${\displaystyle k_{0}~=~\cos \theta ~\omega {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$$

Для волн TM, где θ — угол отклонения падающей волны от нормали по отношению к FSS. Z ₀ для свободного пространства составляет 377 Ом.$${\displaystyle Z_{0}~=~{\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}~\cos \theta }$$$${\displaystyle k_{0}~=~\cos \theta ~\omega {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$$

Элементы схемы, размещенные параллельно поперек эквивалентной линии передачи, имеют некоторые общие факторы с тонким FSS. Непрерывность тангенциального электрического поля для тонкого FSS отражает условие непрерывности напряжения по обе стороны от элементов шунтирующей цепи. Условие скачка магнитного поля для FSS отражает закон деления тока Кирхгофа для эквивалентной схемы. Для достаточно толстых листов FSS, вероятно, потребуется более общая пи- или тавровая модель для хорошего приближения к реальному FSS.

Для всех, кроме наиболее плотно упакованных дипольных решеток (фильтры нижних частот «гангбастер», подобные кирпичной кладке), понимание работы FSS первого порядка может быть достигнуто путем простого рассмотрения рассеивающих свойств одного периодического элемента в свободном пространстве. Диполь или патч в свободном пространстве будут сильно отражать энергию для длин волн, сопоставимых по размеру с самим объектом, например, когда диполь имеет длину 1/2 длины волны. Для частот ниже этого первого резонанса (и для частот между первым и вторым резонансом) объект будет отражать мало энергии. Таким образом, это явление резонанса, наблюдаемое с диполями и патчами, естественным образом приводит к идее моделирования их как резонансного контура, соединенного параллельно по линии передачи - в этом случае элемент представляет собой последовательное соединение конденсатора и индуктора, которое создает отражающее короткое замыкание при резонансе. Этот тип структуры будет известен как режекторный или полосовой фильтр. Полосовые фильтры могут быть построены с использованием отверстий в проводящих плоскостях, которые моделируются как шунтирующий элемент, состоящий из параллельного соединения индуктора и конденсатора.

Одномерные линейные решетки можно моделировать как шунтирующие индукторы (для поляризации, параллельной линиям) или шунтирующие конденсаторы (для поляризации, перпендикулярной линиям). Плотно упакованные "гангбастерные" дипольные решетки представляют собой низкочастотные структуры, которые можно моделировать с помощью шунтирующих конденсаторов.

Точная топология схемы и значения элементов эквивалентной схемы для листа FSS должны быть определены с использованием кодов первых принципов. Лист FSS с сетчатой ​​полосой пропускания представляет собой параллельное соединение L, C, а лист FSS с заграждающей полосой пропускания представляет собой последовательное соединение L, C, и в обоих случаях значения L, C определяются из центральной частоты и полосы пропускания фильтра.

Модели эквивалентных цепей линий передачи для FSS появились на основе наблюдения, что FSS обеспечивают свойства отражения и передачи, которые очень похожи на свойства отражения и передачи катушек индуктивности и конденсаторов, расположенных параллельно линии передачи.

Два основных типа FSS показаны на рис. 2.4.1-1 справа - FSS полосового сетчатого типа и FSS полосового заграждающего типа ( оптические фильтры с металлической сеткой ). Эквивалентная схема для полосового заграждающего FSS патч-типа показана на рис. 2.4.1-2. Сопротивление последовательного соединения индуктора и конденсатора равно (Desoer, Kuh [1984]): или, и это последовательное соединение индуктора и конденсатора создает состояние нулевого сопротивления (короткого замыкания), когда$${\displaystyle Z_{\text{shunt}}~=~j\omega L~+~{\frac {1}{j\omega C}}}$$$${\displaystyle Z_{\text{shunt}}~=~{\frac {1-\omega ^{2}LC}{j\omega C}}}$$$${\displaystyle \omega _{0}^{2}~=~{\frac {1}{LC}}}$$

В условиях короткого замыкания вся падающая энергия отражается, и поэтому это эквивалентная схема резонансного полосового режекторного фильтра.

Величина коэффициента отражения равна: где Z ₀ — характеристическое сопротивление линии передачи.$${\displaystyle |R|={\frac {\omega CZ_{0}}{\sqrt {\omega ^{2}C^{2}Z_{0}^{2}~+~4~(1~-~\omega ^{2}LC)^{2}}}}}$$

Частоты для верхней и нижней точек 3 дБ даны как решение уравнения: где,$${\displaystyle \omega _{1,2}^{2}~=~{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}~-~4ac}}}{2a}}}$$$${\displaystyle a~=~(LC)^{2}}$$$${\displaystyle b~=~-(C^{2}Z_{0}^{2}~/~4~+~2LC)}$$$${\displaystyle c~=~1}$$

Итак, если центральная частота и ширина резонанса определяются из кодов первых принципов, L, C эквивалентной схемы можно легко получить, подгоняя отклик отражения эквивалентного резонансного контура к отклику отражения фактического FSS, и таким образом параметры схемы L, C легко извлекаются. Как только это будет сделано, мы сможем использовать модель эквивалентной схемы для проектирования многослойного FSS. Любые близлежащие диэлектрики должны быть включены в эквивалентную схему.

При малых значениях ω импеданс индуктора, jωL, меньше импеданса конденсатора, 1/jωC, поэтому конденсатор доминирует над импедансом шунта, и поэтому полосовой фильтр FSS патч-типа является емкостным ниже резонанса. Мы воспользуемся этим фактом в разделе 2.3.1 для проектирования фильтра нижних частот FSS с использованием эквивалентных схем.

Эквивалентная схема для сетчатого полосового FSS показана на рис. 2.4.2-1. Пропускная способность параллельного соединения индуктора и конденсатора равна (Desoer, Kuh [1984]): и эта проводимость равна нулю (состояние разомкнутой цепи), когда$${\displaystyle Y_{\text{shunt}}~=~{\frac {1-\omega ^{2}LC}{j\omega L}}}$$$${\displaystyle \omega _{0}^{2}~=~{\frac {1}{LC}}}$$

Когда параллельное соединение индуктора и конденсатора создает разомкнутую цепь, вся энергия передается.

Аналогично, величина коэффициента пропускания полосового фильтра равна:$${\displaystyle |T|={\frac {2\omega L/Z_{0}}{\sqrt {4\omega ^{2}L^{2}/Z_{0}^{2}~+~(1~-~\omega ^{2}LC)^{2}}}}}$$

Ниже резонанса проводимость индуктора, 1/jωL, больше проводимости конденсатора jωC, поэтому сетчатый полосовой фильтр FSS является индуктивным ниже резонанса.

На рис. 2.4.3-1 показано сравнение отражения между однослойным скрещенным диполем FSS и его подобранной эквивалентной схемой. Эквивалентная схема представляет собой последовательное соединение конденсатора и индуктора, размещенных параллельно поперек линии передачи, как на рис. 2.4.1-2. Этот резонатор создает состояние короткого замыкания при резонансе. Подгонка очень хорошая ниже резонанса, хотя и не такая хорошая выше.

Реальный FSS имеет нуль отражения на частоте 18,7 ГГц (частота, на которой длина волны равна размеру элементарной ячейки .630"), что не учитывается в модели эквивалентной схемы. Нуль известен как аномалия Вуда и вызван обратной квадратной корневой сингулярностью в спектральной области функции Грина ( 3.1 ), стремящейся к бесконечности. Физически это представляет собой однородную плоскую волну, распространяющуюся в плоскости FSS. В пространственной области когерентное суммирование всех пространственных областей функций Грина становится бесконечным, так что любой конечный ток создает бесконечное поле на поверхности FSS. В результате все токи должны быть равны нулю при этом условии.

Этот пример иллюстрирует полезность и недостатки простой модели эквивалентной схемы. Эквивалентная схема включает только характеристики, относящиеся к отдельному рассеивающему элементу, а не характеристики, относящиеся к периодической решетке, такие как взаимодействия между рассеивателями.

Если FSS сетчатого типа создается из FSS патч-типа таким образом, что металлические части или первые заменяются апертурными частями последнего, то два FSS называются дуалами друг друга. Дуальность строго применяется только тогда, когда отсутствуют диэлектрические подложки, поэтому она выполняется на практике лишь приблизительно, хотя даже при наличии диэлектрических подложек дуальность может быть полезна в конструкции FSS. В качестве примечания: Патологические шаблоны FSS, такие как шахматная FSS, можно рассматривать как предел патча и сетки, поскольку размер патча (и апертуры) приближается к размеру элементарной ячейки, при этом электрические соединения сетки сохраняются в пределе. Для двойного FSS коэффициент отражения патча будет равен коэффициенту пропускания сетки.

Двойственность схемы

Двойную схему полосового заграждающего фильтра можно получить, просто приравняв коэффициент отражения полосового заграждающего фильтра FSS к коэффициенту пропускания полосового фильтра FSS, получив (если мы используем L1 _, C1 _для полосового заграждающего фильтра FSS и L2 _, C2 _для полосовой сетки FSS):$${\displaystyle L_{2}~=~C_{1}~{\frac {Z_{0}^{2}}{4}}}$$$${\displaystyle C_{2}~=~L_{1}~{\frac {4}{Z_{0}^{2}}}}$$

Это создает полосовой контур (с параметрами L ₂ , C ₂ ), который является двойственным полосовому контуру (с параметрами L ₁ , C ₁ ).

После определения эквивалентной схемы линии передачи многослойная конструкция FSS становится намного проще и интуитивно понятнее — как обычный анализ и проектирование фильтров. Теперь, хотя, безусловно, можно проектировать многослойные структуры FSS с использованием кодов первых принципов и обобщенных матриц рассеяния (GSM), гораздо проще, быстрее и интуитивно понятнее использовать модели эквивалентных схем для проектирования FSS, поскольку можно использовать десятилетия исследований, проведенных в области анализа и проектирования электрических фильтров, и применить их к структурам FSS. И фильтры FSS даже проще проектировать, чем волноводные фильтры, поскольку угол падения не меняется с частотой.

В качестве примера того, как использовать эквивалентные схемы FSS для быстрого и эффективного проектирования практического фильтра, можно привести схему процесса, который будет использоваться при проектировании 5-ступенчатого фильтра Баттерворта (Хантер [2001], Маттеи [1964]) с использованием стопки из 5 частотно-избирательных поверхностей с 4 воздушными прокладками между листами FSS.

Прототип низкочастотной цепи L,C-лестницы показан на рис. 3.1.1-1 (Hunter [2001]). Частота среза будет масштабирована до 7 ГГц, а фильтр будет согласован с 377 Ом (сопротивление свободного пространства) на входной и выходной сторонах. Идея, которой мы будем следовать, заключается в том, что шунтирующие конденсаторы в конечном итоге будут заменены субрезонансными (емкостными) листами FSS-пластинчатого типа, а последовательные индукторы будут заменены воздушными прокладками между 5 слоями FSS. Короткие линии передачи приблизительно эквивалентны последовательным индукторам.

Амплитуда передачи и фазовая характеристика масштабированного фильтра Баттерворта L,C показаны на рис. 3.1.2-1. Амплитуда передачи плоская в полосе пропускания (ниже частоты среза 7 ГГц) и имеет монотонно уменьшающуюся юбку на высокочастотной стороне полосы пропускания. Фаза через фильтр линейна по всей полосе пропускания 7 ГГц, что делает этот фильтр идеальным выбором для применения линейного фазового фильтра, например, при проектировании сверхширокополосного фильтра, который аппроксимирует истинную линию передачи с задержкой по времени. Это базовый сосредоточенный L,C-фильтр, который будет отправной точкой для нашей конструкции 5-слойного фильтра Баттерворта FSS.

Теперь мы начинаем процесс преобразования прототипа фильтра Баттерворта с сосредоточенными L, C в эквивалентный фильтр Баттерворта FSS. Для получения соответствующего фильтра FSS понадобятся две модификации базового фильтра с сосредоточенными L, C. Во-первых, последовательные индукторы будут заменены их эквивалентными секциями линии передачи, а затем шунтирующие конденсаторы будут заменены емкостными частотно-селективными поверхностями.

На этом этапе разработки последовательные индукторы в прототипе сети L,C-лестницы будут заменены субполуволновыми воздушными прокладками (которые мы будем моделировать как линии передачи) между слоями FSS. Толщина воздушных прокладок может быть определена, как показано на рис. 3.1.3-1, на котором мы сравниваем матрицу ABCD последовательного индуктора с матрицей ABCD короткой линии передачи (Рамо [1994]), чтобы получить надлежащую длину линии передачи между шунтирующими конденсаторами (субрезонансные слои FSS) для получения отклика фильтра Баттерворта. Хорошо известно, что последовательный индуктор представляет собой приближенную модель сосредоточенной схемы короткой линии передачи, и мы воспользуемся этой эквивалентностью для определения требуемой толщины воздушных прокладок.

После определения толщины воздушных прокладок между листами эквивалентная схема принимает вид, показанный на рис. 3.1.4-1:

Теперь единственное, что осталось сделать, это найти FSS нижних частот, который дает значения шунтирующей емкости, указанные на рис. 2.3.1-4. Обычно это делается методом проб и ошибок. Подгонка шунтирующего конденсатора к реальному FSS выполняется путем повторного запуска кода первых принципов для согласования отражения отклика шунтирующего конденсатора с отражением от емкостного FSS. FSS патч-типа ниже резонанса создаст эквивалентную схему емкостной шунтирующей проводимости, при этом более плотная упаковка элементов в листе FSS дает более высокие значения шунтирующей емкости в эквивалентной схеме.

Обычно FSS изготавливаются путем химического травления диэлектрического листа, покрытого медью, который может состоять из тефлона (ε=2,1), каптона (ε=3,1), стекловолокна (ε-4,5) или различных форм дюроида (ε=6,0, 10,2). Толщина листа может варьироваться от нескольких тысячных дюйма до 20–40 тысяч.

Области применения FSS простираются от обыденных (микроволновые печи) до передовых современных технологий, включающих активные и реконфигурируемые структуры, такие как интеллектуальные оболочки.

Обтекатели

Поглотители электромагнитных полей

Для многоспектральной маскировки , например, Saab Barracuda , FSS может использоваться для обеспечения проникновения определенных частот, чтобы не блокировать связь и GPS. ^[7]

• Фурье-оптика
• Фотонный кристалл
• Метаматериал
• дифракция Брэгга
• Дифракционная решетка
• Блоховская волна

• Харрингтон, Роджер (2001), Гармонические во времени электромагнитные поля , John Wiley, ISBN 978-0-471-20806-8
• Хантер, Ян, Теория и проектирование микроволновых фильтров (IEE: 2001).
• Маттеи, Джордж Л.; Янг, Лео и Джонс, EMT, Микроволновые фильтры, сети согласования импеданса и структуры связи , McGraw-Hill, 1964}.
• Мунк, Бенедикт (2000), Частотно-селективные поверхности: теория и проектирование , John Wiley, ISBN 978-0-471-37047-5
• Рамо, С.; Уиннери, Дж. Р. и Ван Дузер Т., Поля и волны в коммуникационной электронике , Wiley, 1994 978-0471585510}.
• Рао, СМ; Уилтон, Дональд; Глиссон, Аллен (1982), Электромагнитное рассеяние поверхностями произвольной формы , IEEE Trans. Antennas Propagat.
• W. Mai et al ., DGTD на основе призмы с упрощенным периодическим граничным условием для анализа FSS с симметрией D2n в прямоугольной решетке при нормальном падении , в IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters . doi: 10.1109/LAWP.2019.2902340
• Скотт, Крейг (1989), Метод спектральной области в электромагнетизме , Artech House, ISBN 0-89006-349-4
• Скотт, Крейг (1997), Введение в оптику и оптическое изображение , IEEE Press, Bibcode : 1998iooi.book.....S, ISBN 978-0780334403
• Скотт, Крейг (1998), Анализ, проектирование и тестирование интегрированных структурных обтекателей, построенных с использованием фотонных структур с запрещенной зоной
• Скотт, Крейг (2002), Спектральный анализ легированных электромагнитных кристаллических обтекателей с использованием метода моментов
• Tsao, Chich-Hsing; Mittra, Raj (1982), "Спектральный итерационный подход для анализа рассеяния от частотно-селективных поверхностей", IEEE Transactions on Antennas and Propagation , 30 (2), IEEE Trans. Antennas Propagat. Vol. AP-30, No. 2, March 1982: 303–308 , Bibcode : 1982ITAP...30..303T, doi : 10.1109/TAP.1982.1142779
• Харрингтон, Роджер Ф. (1961), Гармонические во времени электромагнитные поля , серия «Электротехника и электроника» издательства McGraw-Hill, стр. 106–118, hdl : 2027/mdp.39015002091489
• Кастнер, Рафаэль (1987), «О сингулярности полной спектральной диады Грина», Труды IEEE по антеннам и распространению , 35 (11), Перевод IEEE по антеннам и распространению, т. AP-35, № 11, стр. 1303–1305: 1303, Bibcode : 1987ITAP...35.1303K, doi : 10.1109/TAP.1987.1144016
• Рамси, В. Х. (1954), Концепция реакции в электромагнитной теории