Электрический потенциал

Электрический потенциал
Электрический потенциал вокруг двух противоположно заряженных проводящих сфер. Фиолетовый цвет представляет самый высокий потенциал, желтый — ноль, а голубой — самый низкий потенциал. Линии электрического поля показаны выходящими перпендикулярно к поверхности каждой сферы.
Общие символы	V , φ
единица СИ	вольт
Другие единицы	статвольт
В основных единицах СИ	V = кг⋅м 2 ⋅с −3 ⋅А −1
Обширный ?	да
Измерение	М Л 2 Т −3 Я −1

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм Оптика История Вычислительный Учебники Феномены
Электростатика Плотность заряда Дирижер закон Кулона Электрет Электрический заряд Электрический диполь Электрическое поле Электрический поток Электрический потенциал Электростатический разряд Электростатическая индукция закон Гаусса Изолятор Диэлектрическая проницаемость Поляризация Потенциальная энергия Статическое электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био-Савара Магнитный закон Гаусса Магнитный диполь Магнитное поле Магнитный поток Магнитный скалярный потенциал Магнитный векторный потенциал Намагничивание Проницаемость Правило правой руки
Электродинамика Тормозное излучение Циклотронное излучение Ток смещения Вихревой ток Электромагнитное поле Электромагнитная индукция Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение закон Фарадея уравнения Ефименко формула Лармора закон Ленца Потенциал Льенара–Вихерта Уравнения Лондона сила Лоренца Уравнения Максвелла тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Синхротронное излучение
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Плотность тока Постоянный ток Электрический ток Электроэнергия Электролиз Электродвижущая сила Сопротивление Индуктивность Джоулевое тепло законы Кирхгофа Сетевой анализ закон Ома Параллельная цепь Сопротивление Резонансные полости Последовательная цепь Напряжение Ватт Волноводы
Магнитная цепь двигатель переменного тока двигатель постоянного тока Электрическая машина Электродвигатель Gyrator–capacitor Induction motor Linear motor Magnetomotive force Permeance Reluctance (complex) Reluctance (real) Rotor Stator Transformer
Covariant formulation Electromagnetic tensor Electromagnetism and special relativity Four-current Four-potential Mathematical descriptions Maxwell equations in curved spacetime Relativistic electromagnetism Stress–energy tensor
Scientists Ampère Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Helmholtz Henry Hertz Hopkinson Jefimenko Joule Kelvin Kirchhoff Larmor Lenz Liénard Lorentz Maxwell Neumann Ohm Ørsted Poisson Poynting Ritchie Savart Singer Steinmetz Tesla Thomson Volta Weber Wiechert
v t e

Электрический потенциал (также называемый потенциалом электрического поля , падением потенциала, электростатическим потенциалом ) определяется как количество работы / энергии, необходимое на единицу электрического заряда для перемещения заряда из опорной точки в определенную точку в электрическом поле. Точнее, электрический потенциал — это энергия на единицу заряда для тестового заряда , который настолько мал, что возмущение рассматриваемого поля пренебрежимо мало. Предполагается, что движение по полю происходит с пренебрежимо малым ускорением, чтобы избежать приобретения тестовым зарядом кинетической энергии или создания излучения. По определению, электрический потенциал в опорной точке равен нулю единиц. Обычно опорной точкой является земля или точка на бесконечности , хотя можно использовать любую точку.

В классической электростатике электростатическое поле — это векторная величина, выраженная как градиент электростатического потенциала, который является скалярной величиной, обозначаемой V или иногда φ , ^[1] равной электрической потенциальной энергии любой заряженной частицы в любом месте (измеряемой в джоулях ), деленной на заряд этой частицы (измеряемый в кулонах ). Разделив заряд частицы, получаем частное, которое является свойством самого электрического поля. Короче говоря, электрический потенциал — это электрическая потенциальная энергия на единицу заряда.

Это значение может быть рассчитано либо в статическом (неизменном во времени), либо в динамическом (изменяющемся во времени) электрическом поле в определенное время с единицей измерения джоуль на кулон (Дж⋅Кл ⁻¹ ) или вольт (В). Электрический потенциал на бесконечности предполагается равным нулю.

В электродинамике , когда присутствуют изменяющиеся во времени поля, электрическое поле не может быть выражено только как скалярный потенциал . Вместо этого электрическое поле может быть выражено как скалярный электрический потенциал и магнитный векторный потенциал . ^[2] Электрический потенциал и магнитный векторный потенциал вместе образуют четырехвектор , так что два вида потенциала смешиваются при преобразованиях Лоренца .

На практике электрический потенциал является непрерывной функцией во всем пространстве, поскольку пространственная производная прерывистого электрического потенциала дает электрическое поле невозможно бесконечной величины. Примечательно, что электрический потенциал, обусловленный идеализированным точечным зарядом (пропорциональный 1 ⁄ r , где r — расстояние от точечного заряда), непрерывен во всем пространстве, за исключением местоположения точечного заряда. Хотя электрическое поле не является непрерывным поперек идеализированного поверхностного заряда , оно не бесконечно ни в одной точке. Следовательно, электрический потенциал непрерывен поперек идеализированного поверхностного заряда. Кроме того, идеализированная линия заряда имеет электрический потенциал (пропорциональный ln( r ) , где r — радиальное расстояние от линии заряда), непрерывный везде, за исключением линии заряда.

Классическая механика исследует такие понятия, как сила , энергия и потенциал . ^[3] Сила и потенциальная энергия напрямую связаны. Чистая сила, действующая на любой объект, заставит его ускоряться . Когда объект движется в направлении силы, действующей на него, его потенциальная энергия уменьшается. Например, гравитационная потенциальная энергия пушечного ядра на вершине холма больше, чем у подножия холма. Когда оно катится вниз по склону, его потенциальная энергия уменьшается и преобразуется в движение — кинетическую энергию .

Можно определить потенциал некоторых силовых полей так, что потенциальная энергия объекта в этом поле будет зависеть только от положения объекта относительно поля. Два таких силовых поля — это гравитационное поле и электрическое поле (при отсутствии изменяющихся во времени магнитных полей). Такие поля влияют на объекты из-за внутренних свойств (например, массы или заряда) и положений объектов.

Объект может обладать свойством, известным как электрический заряд . Поскольку электрическое поле оказывает силу на заряженный объект, если объект имеет положительный заряд, сила будет направлена ​​в направлении вектора электрического поля в месте расположения заряда; если заряд отрицательный, сила будет направлена ​​в противоположном направлении.

Величина силы определяется величиной заряда, умноженной на величину вектора электрического поля,

$${\displaystyle |\mathbf {F} |=q|\mathbf {E} |.}$$

Электрический потенциал в точке r в статическом электрическом поле E определяется линейным интегралом

где C — произвольный путь от некоторой фиксированной точки отсчета до r ; он однозначно определен с точностью до константы, которая добавляется или вычитается из интеграла. В электростатике уравнение Максвелла-Фарадея показывает, что ротор равен нулю, что делает электрическое поле консервативным . Таким образом, линейный интеграл выше не зависит от конкретного выбранного пути C , а только от его конечных точек, что делает его хорошо определенным везде. Тогда теорема о градиенте позволяет нам записать:${\textstyle \nabla \times \mathbf {E} }$${\textstyle V_{\mathbf {E} }}$

Это говорит о том, что электрическое поле указывает "вниз" к более низким напряжениям. По закону Гаусса , потенциал также может быть найден удовлетворяющим уравнению Пуассона :$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} =\mathbf {\nabla } \cdot \left(-\mathbf {\nabla } V_{\mathbf {E} }\right)=-\nabla ^{2}V_{\mathbf {E} }=\rho /\varepsilon _{0}}$$

где ρ — полная плотность заряда , а обозначает дивергенцию .${\textstyle \mathbf {\nabla } \cdot }$

Понятие электрического потенциала тесно связано с потенциальной энергией . Пробный заряд q имеет электрическую потенциальную энергию U E _, определяемую формулой

$${\displaystyle U_{\mathbf {E} }=q\,V.}$$

Потенциальная энергия, а следовательно, и электрический потенциал, определяются только с точностью до некоторой аддитивной константы: необходимо произвольно выбрать положение, в котором потенциальная энергия и электрический потенциал равны нулю.

Эти уравнения не могут быть использованы, если , т.е. в случае неконсервативного электрического поля (вызванного изменяющимся магнитным полем ; см. уравнения Максвелла ). Обобщение электрического потенциала на этот случай описано в разделе § Обобщение на электродинамику.${\textstyle \nabla \times \mathbf {E} \neq \mathbf {0} }$

Электрический потенциал, возникающий из точечного заряда Q на расстоянии r от местоположения Q , наблюдается как где ε ₀ - диэлектрическая проницаемость вакуума ^[4] , V _E известен как кулоновский потенциал . Обратите внимание, что в отличие от величины электрического поля, вызванного точечным зарядом, электрический потенциал масштабируется относительно обратной величины радиуса, а не квадрата радиуса.$${\displaystyle V_{\mathbf {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}},}$$

Электрический потенциал в любой точке, r , в системе точечных зарядов равен сумме индивидуальных электрических потенциалов, обусловленных каждым точечным зарядом в системе. Этот факт значительно упрощает вычисления, поскольку сложение потенциальных (скалярных) полей намного проще, чем сложение электрических (векторных) полей. В частности, потенциал набора дискретных точечных зарядов q _i в точках r _i становится

$${\displaystyle V_{\mathbf {E} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|}}\,}$$

где

• r — точка, в которой оценивается потенциал;
• r _i — точка, в которой имеется ненулевой заряд; и
• q _i — заряд в точке r _i .

И потенциал непрерывного распределения заряда ρ ( r ) становится

$${\displaystyle V_{\mathbf {E} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{R}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,,}$$

где

• r — точка, в которой оценивается потенциал;
• R — область, содержащая все точки, в которых плотность заряда отлична от нуля;
• r ' — точка внутри R ; и
• ρ ( r ' ) — плотность заряда в точке r ' .

Уравнения, приведенные выше для электрического потенциала (и все уравнения, используемые здесь), имеют формы, требуемые единицами СИ . В некоторых других (менее распространенных) системах единиц, таких как СГС-Гауссова , многие из этих уравнений были бы изменены.

При наличии изменяющихся во времени магнитных полей (что справедливо всегда, когда имеются изменяющиеся во времени электрические поля, и наоборот) невозможно описать электрическое поле просто как скалярный потенциал V , поскольку электрическое поле больше не является консервативным : оно зависит от пути, поскольку (из-за уравнения Максвелла-Фарадея ).${\displaystyle \textstyle \int _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \neq \mathbf {0} }$

Вместо этого можно по-прежнему определять скалярный потенциал, включая также магнитный векторный потенциал A. В частности, A определяется так, чтобы удовлетворять:

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$$

где B — магнитное поле . По фундаментальной теореме векторного исчисления такое A всегда можно найти, поскольку дивергенция магнитного поля всегда равна нулю из-за отсутствия магнитных монополей . Теперь величина является консервативным полем, поскольку ротор от сокращается ротором от согласно уравнению Максвелла–Фарадея . Поэтому можно записать$${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$$${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$$

где V — скалярный потенциал , определяемый консервативным полем F.

Электростатический потенциал — это просто частный случай этого определения, где A не зависит от времени. С другой стороны, для полей, изменяющихся во времени, в отличие от электростатики.$${\displaystyle -\int _{a}^{b}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\neq V_{(b)}-V_{(a)}}$$

Электростатический потенциал может иметь любую константу, добавленную к нему, не влияя на электрическое поле. В электродинамике электрический потенциал имеет бесконечно много степеней свободы. Для любого (возможно, изменяющегося во времени или пространстве) скалярного поля, 𝜓 , мы можем выполнить следующее калибровочное преобразование , чтобы найти новый набор потенциалов, которые производят точно такие же электрические и магнитные поля: ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}V^{\prime }&=V-{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\\\mathbf {A} ^{\prime }&=\mathbf {A} +\nabla \psi \end{aligned}}}$$

При различных вариантах калибровки электрический потенциал может иметь совершенно разные свойства. В кулоновской калибровке электрический потенциал задается уравнением Пуассона

$${\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

как в электростатике. Однако в калибровке Лоренца электрический потенциал является запаздывающим потенциалом , который распространяется со скоростью света и является решением неоднородного волнового уравнения :

$${\displaystyle \nabla ^{2}V-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

Единицей электрического потенциала, полученной в системе СИ, является вольт (в честь Алессандро Вольта ), обозначаемый как V, поэтому разность электрических потенциалов между двумя точками в пространстве называется напряжением . Более старые единицы сегодня используются редко. Варианты системы единиц сантиметр-грамм-секунда включали ряд различных единиц для электрического потенциала, включая абвольт и статвольт .

Внутри металлов (и других твердых тел и жидкостей) энергия электрона зависит не только от электрического потенциала, но и от конкретной атомной среды, в которой он находится. Когда вольтметр подключается между двумя различными типами металлов, он измеряет разность потенциалов , скорректированную для различных атомных сред. ^[6] Величина, измеряемая вольтметром, называется электрохимическим потенциалом или уровнем Ферми , в то время как чистый нескорректированный электрический потенциал, V , иногда называют потенциалом Гальвани , ϕ . Термины «напряжение» и «электрический потенциал» немного двусмысленны, но можно ссылаться на любой из них в разных контекстах.

Конфигурация заряда	Фигура	Электрический потенциал
Бесконечный провод		${\displaystyle V=-{\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}}}\ln x,}$ где — равномерная линейная плотность заряда.${\displaystyle \lambda }$
Бесконечно большая поверхность		${\displaystyle V=-{\frac {\sigma x}{2\varepsilon _{0}}},}$ где - равномерная поверхностная плотность заряда.${\displaystyle \sigma }$
Бесконечно длинный цилиндрический объем		${\displaystyle V=-{\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}}}\ln x,}$ где — равномерная линейная плотность заряда.${\displaystyle \lambda }$
Сферический объем		${\displaystyle V={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}x}},}$ вне сферы, где находится полный заряд, равномерно распределенный по объему.${\displaystyle Q}$	${\displaystyle V={\frac {Q(3R^{2}-r^{2})}{8\pi \varepsilon _{0}R^{3}}},}$ внутри сферы, где — полный заряд, равномерно распределенный по объему.${\displaystyle Q}$
Сферическая поверхность		${\displaystyle V={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}x}},}$ вне сферы, где находится полный заряд, равномерно распределенный по поверхности.${\displaystyle Q}$	${\displaystyle V={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}R}},}$ внутри сферы для равномерного распределения заряда.
Заряженное кольцо		${\displaystyle V={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}{\sqrt {R^{2}+x^{2}}}}},}$ на оси, где — полный заряд, равномерно распределенный по кольцу.${\displaystyle Q}$
Заряженный диск		${\displaystyle V={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}\left[{\sqrt {x^{2}+R^{2}}}-x\right],}$ на оси, где — равномерная поверхностная плотность заряда.${\displaystyle \sigma }$
Электрический диполь		${\displaystyle V=0,}$ на экваториальной плоскости.	${\displaystyle V={\frac {p}{4\pi \varepsilon _{0}x^{2}}},}$ на оси (учитывая, что ), где также может быть отрицательным, чтобы указать положение в противоположном направлении на оси, а — величина электрического дипольного момента .${\displaystyle x\gg d}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$

• Абсолютный электродный потенциал
• Электрохимический потенциал
• Электродный потенциал

На Викискладе есть медиафайлы по теме Электрический потенциал .