метрика Шварцшильда

Общая теория относительности
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_ {\mu \nu } = {\kappa }T_ {\mu \nu }}$
Введение История Хронология Tests Mathematical formulation
Fundamental concepts Equivalence principle Special relativity World line Pseudo-Riemannian manifold
Phenomena Kepler problem Gravitational lensing Gravitational redshift Gravitational time dilation Gravitational waves Frame-dragging Geodetic effect Event horizon Singularity Black hole Spacetime Spacetime diagrams Minkowski spacetime Einstein–Rosen bridge
Equations Formalisms Equations Linearized gravity Einstein field equations Friedmann Geodesics Mathisson–Papapetrou–Dixon Hamilton–Jacobi–Einstein Formalisms ADM BSSN Post-Newtonian Advanced theory Kaluza–Klein theory Quantum gravity
Solutions Schwarzschild (interior) Reissner–Nordström Einstein–Rosen waves Wormhole Gödel Kerr Kerr–Newman Kerr–Newman–de Sitter Kasner Lemaître–Tolman Taub–NUT Milne Robertson–Walker Oppenheimer–Snyder pp-wave van Stockum dust Weyl−Lewis−Papapetrou Hartle–Thorne
Scientists Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedmann Milne Zwicky Lemaître Oppenheimer Gödel Wheeler Robertson Bardeen Walker Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Newman Yau Thorne others
Physics portal  Category
v t e

В общей теории относительности Эйнштейна метрика Шварцшильда (также известная как решение Шварцшильда ) является точным решением уравнений поля Эйнштейна , которое описывает гравитационное поле вне сферической массы, при условии, что электрический заряд массы, угловой момент массы и универсальная космологическая постоянная равны нулю. Решение является полезным приближением для описания медленно вращающихся астрономических объектов, таких как многие звезды и планеты , включая Землю и Солнце. Оно было найдено Карлом Шварцшильдом в 1916 году.

Согласно теореме Биркгофа , метрика Шварцшильда является наиболее общим сферически симметричным вакуумным решением уравнений поля Эйнштейна. Черная дыра Шварцшильда или статическая черная дыра — это черная дыра , которая не имеет ни электрического заряда, ни углового момента (не вращается). Черная дыра Шварцшильда описывается метрикой Шварцшильда и не может быть отличима от любой другой черной дыры Шварцшильда, кроме как по массе.

Черная дыра Шварцшильда характеризуется окружающей сферической границей, называемой горизонтом событий , которая расположена на радиусе Шварцшильда ( ), часто называемом радиусом черной дыры. Граница не является физической поверхностью, и человек, который упал через горизонт событий (до того, как его разорвали приливные силы), не заметил бы никакой физической поверхности в этом положении; это математическая поверхность, которая имеет значение для определения свойств черной дыры. Любая невращающаяся и незаряженная масса, которая меньше ее радиуса Шварцшильда, образует черную дыру. Решение уравнений поля Эйнштейна справедливо для любой массы M , поэтому в принципе (в рамках общей теории относительности) черная дыра Шварцшильда любой массы могла бы существовать, если бы условия стали достаточно благоприятными для ее образования.${\displaystyle r_{\text{s}}}$

Вблизи черной дыры Шварцшильда пространство искривляется настолько, что даже световые лучи отклоняются, а очень близкий свет может отклоняться настолько, что он несколько раз обходит вокруг черной дыры. ^{[1] [2] [3]}

Метрика Шварцшильда — это сферически симметричная лоренцева метрика (здесь, с соглашением о сигнатурах (+, -, -, -) ), определенная на (подмножестве) , где — трехмерное евклидово пространство, а — двухсфера. Группа вращений действует на фактор или как вращения вокруг центра , оставляя первый фактор неизменным. Метрика Шварцшильда — это решение уравнений поля Эйнштейна в пустом пространстве, что означает, что оно справедливо только вне гравитирующего тела. То есть для сферического тела радиуса решение справедливо для . Чтобы описать гравитационное поле как внутри, так и вне гравитирующего тела, решение Шварцшильда должно быть согласовано с некоторым подходящим внутренним решением в ⁠ ⁠ , ^[4] таким как внутренняя метрика Шварцшильда .$${\displaystyle \mathbb {R} \times \left(E^{3}-O\right)\cong \mathbb {R} \times (0,\infty )\times S^{2}}$$${\displaystyle E^{3}}$${\displaystyle S^{2}\subset E^{3}}$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)=\mathrm {SO} (E^{3})}$${\displaystyle E^{3}-O}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle r>R}$${\displaystyle r=R}$

В координатах Шварцшильда метрика Шварцшильда (или, что эквивалентно, линейный элемент для собственного времени ) имеет вид , где — метрика на двух сферах, т.е. ⁠ ​​⁠ . Кроме того, ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$$${\displaystyle {ds}^{2}=c^{2}\,{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}{d\Omega }^{2},}$$${\displaystyle {d\Omega }^{2}}$${\displaystyle {d\Omega }^{2}=\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)}$

• ${\displaystyle d\tau ^{2}}$положительно для времениподобных кривых, в этом случае это собственное время (время, измеренное часами, движущимися вдоль той же мировой линии с пробной частицей ),${\displaystyle \tau }$
• ${\displaystyle c}$это скорость света ,
• ${\displaystyle t}$есть, для ⁠ ⁠${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$ , временная координата (измеренная часами, расположенными бесконечно далеко от массивного тела и неподвижными относительно него),
• ${\displaystyle r}$для ⁠ ⁠${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$ радиальная координата (измеряемая как окружность, деленная на 2π , сферы с центром вокруг массивного тела),
• ${\displaystyle \Omega }$является точкой на двух сферах ⁠ ⁠${\displaystyle S^{2}}$ ,
• ${\displaystyle \theta }$ - это коширота ( угол от севера, в радианах ) , определяемая после произвольного выбора оси z ,${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle \phi }$- долгота ( также в радианах) вокруг выбранной оси z , а${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle r_{\text{s}}}$— радиус Шварцшильда массивного тела, масштабный коэффициент , который связан с его массой соотношением ⁠ ⁠ , где — гравитационная постоянная . ^[5]${\displaystyle M}$${\displaystyle r_{\text{s}}={2GM}/{c^{2}}}$${\displaystyle G}$

Метрика Шварцшильда имеет сингулярность при r = 0 , которая является внутренней сингулярностью кривизны. Она также, по-видимому, имеет сингулярность на горизонте событий r = r _s . В зависимости от точки зрения, метрика, таким образом, определена только на внешней области , только на внутренней области или их несвязном объединении. Однако метрика на самом деле несингулярна поперек горизонта событий, как можно видеть в подходящих координатах (см. ниже). Для ⁠ ⁠ метрика Шварцшильда асимптотически относится к стандартной метрике Лоренца на пространстве Минковского. Для почти всех астрофизических объектов отношение чрезвычайно мало. Например, радиус Шварцшильда Земли примерно равен${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$${\displaystyle r<r_{\text{s}}}$${\displaystyle r\gg r_{\text{s}}}$${\displaystyle {\frac {r_{\text{s}}}{R}}}$${\displaystyle r_{\text{s}}^{({\text{Earth}})}}$8,9 мм , в то время как Солнце, которое3,3 × 10 ⁵ раз массивнее ^[6] имеет радиус Шварцшильда около 3,0 км. Отношение становится большим только в непосредственной близости от черных дыр и других сверхплотных объектов, таких как нейтронные звезды .${\displaystyle r_{\text{s}}^{({\text{Sun}})}}$

Радиальная координата, как оказалось, имеет физическое значение как «надлежащее расстояние между двумя событиями, которые происходят одновременно относительно радиально движущихся геодезических часов, причем два события лежат на одной и той же радиальной координатной линии» ^{[7] .}

Решение Шварцшильда аналогично классической ньютоновской теории гравитации, которая соответствует гравитационному полю вокруг точечной частицы. Даже на поверхности Земли поправки к ньютоновской гравитации составляют всего одну часть на миллиард. ^[8]

Решение Шварцшильда названо в честь Карла Шварцшильда , который нашел точное решение в 1915 году и опубликовал его в январе 1916 года, ^[9] чуть больше, чем через месяц после публикации общей теории относительности Эйнштейна. Это было первое точное решение уравнений поля Эйнштейна, отличное от тривиального решения в плоском пространстве . Шварцшильд умер вскоре после публикации своей статьи в результате болезни (предположительно пузырчатки ), которую он развил во время службы в немецкой армии во время Первой мировой войны . ^[10]

Иоганнес Дросте в 1916 году ^[11] независимо получил то же решение, что и Шварцшильд, используя более простой и прямой вывод. ^[12]

В ранние годы общей теории относительности было много путаницы относительно природы сингулярностей, обнаруженных в уравнениях Шварцшильда и других решениях уравнений поля Эйнштейна . В оригинальной статье Шварцшильда он поместил то, что мы сейчас называем горизонтом событий, в начало своей системы координат. В этой статье он также ввел то, что сейчас известно как радиальная координата Шварцшильда ( r в уравнениях выше), в качестве вспомогательной переменной. В своих уравнениях Шварцшильд использовал другую радиальную координату, которая была равна нулю на радиусе Шварцшильда.

Более полный анализ структуры сингулярности был дан Дэвидом Гильбертом ^[13] в следующем году, определив сингулярности как при r = 0, так и при r = r _s . Хотя существовало общее согласие, что сингулярность при r = 0 была «подлинной» физической сингулярностью, природа сингулярности при r = r _s оставалась неясной. ^[14]

В 1921 году Поль Пэнлеве и в 1922 году Альвар Гулльстранд независимо друг от друга создали метрику, сферически симметричное решение уравнений Эйнштейна, которое, как мы теперь знаем, является координатным преобразованием метрики Шварцшильда, координатами Гулльстранда–Пэнлеве , в которых не было сингулярности при r = r _s . Однако они не осознавали, что их решения были просто координатными преобразованиями, и фактически использовали свое решение, чтобы доказать, что теория Эйнштейна была неверной. В 1924 году Артур Эддингтон создал первое координатное преобразование ( координаты Эддингтона–Финкельштейна ), которое показало, что сингулярность при r = r _s была артефактом координат, хотя он также, по-видимому, не осознавал значимости этого открытия. Позже, в 1932 году, Жорж Леметр дал другое преобразование координат ( координаты Лемэтра ) с тем же эффектом и был первым, кто понял, что это подразумевает, что сингулярность при r = r _s не является физической. В 1939 году Говард Робертсон показал, что свободно падающий наблюдатель, спускающийся в метрике Шварцшильда, пересечет сингулярность r = r _s за конечное количество собственного времени, хотя это займет бесконечное количество времени в терминах координатного времени t . ^[14]

В 1950 году Джон Синг опубликовал статью ^[15] , в которой было показано максимальное аналитическое расширение метрики Шварцшильда, снова показав, что сингулярность при r = r _s была артефактом координат и что она представляла два горизонта. Похожий результат позже был заново открыт Джорджем Секерешом ^[16] и независимо Мартином Крускалом ^[17] . Новые координаты, ныне известные как координаты Крускала–Секереша, были намного проще, чем координаты Синга , но обе предоставляли единый набор координат, который охватывал все пространство-время. Однако, возможно, из-за неизвестности журналов, в которых были опубликованы статьи Леметра и Синга, их выводы остались незамеченными, и многие из основных игроков в этой области, включая Эйнштейна, считали, что сингулярность на радиусе Шварцшильда была физической. ^[14] Более поздний вывод Синджем метрического решения Крускала–Секереса ^[18], который был мотивирован желанием избежать «использования «плохих» [Шварцшильда] координат для получения «хороших» [Крускала–Секереса] координат», был в целом недооценен в литературе, но был принят Чандрасекаром в его монографии о черной дыре. ^[19]

Реальный прогресс был достигнут в 1960-х годах, когда математически строгая формулировка, отлитая в терминах дифференциальной геометрии , вошла в область общей теории относительности, что позволило более точно определить, что означает для лоренцева многообразия быть сингулярным. Это привело к окончательной идентификации сингулярности r = r _s в метрике Шварцшильда как горизонта событий , т. е. гиперповерхности в пространстве-времени, которую можно пересечь только в одном направлении. ^[14]

Решение Шварцшильда, по-видимому, имеет сингулярности при r = 0 и r = r _s ; некоторые компоненты метрики «взрываются» (влекут деление на ноль или умножение на бесконечность) на этих радиусах. Поскольку ожидается, что метрика Шварцшильда будет верна только для радиусов, больших радиуса R гравитирующего тела, то проблем не возникает, пока R > r _s . Для обычных звезд и планет это всегда так. Например, радиус Солнца приблизительно равен700 000  км , тогда как его радиус Шварцшильда составляет всего3 км .

Сингулярность при r = r _s делит координаты Шварцшильда на два несвязанных участка . Внешнее решение Шварцшильда с r > r _s связано с гравитационными полями звезд и планет. Внутреннее решение Шварцшильда с 0 ≤ r < r _s , которое содержит сингулярность при r = 0 , полностью отделено от внешнего участка сингулярностью при r = r _s . Таким образом, координаты Шварцшильда не дают физической связи между двумя участками, которые можно рассматривать как отдельные решения. Однако сингулярность при r = r _s является иллюзией; это пример того, что называется координатной сингулярностью . Как следует из названия, сингулярность возникает из-за плохого выбора координат или координатных условий . При переходе к другой системе координат (например , координатам Леметра , Эддингтона–Финкельштейна , Крускала–Секереша , Новикова или Гулльстранда–Пенлеве ) метрика становится регулярной при r = r _s и может расширить внешний патч до значений r меньших, чем r _s . Используя другое преобразование координат, можно затем связать расширенный внешний патч с внутренним патчем. ^[20]

Однако случай r = 0 отличается. Если кто-то попросит, чтобы решение было действительным для всех r, он столкнется с истинной физической сингулярностью, или гравитационной сингулярностью , в начале координат. Чтобы увидеть, что это истинная сингулярность, нужно рассмотреть величины, которые не зависят от выбора координат. Одной из таких важных величин является инвариант Кречмана , который задается как

${\displaystyle R^{\alpha \beta \gamma \delta }R_{\alpha \beta \gamma \delta }={\frac {12r_{\mathrm {s} }^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,.}$

При r = 0 кривизна становится бесконечной, что указывает на наличие сингулярности. В этой точке метрика не может быть расширена гладко (инвариант Кречмана включает вторые производные метрики), само пространство-время тогда уже не является хорошо определенным. Более того, Сбирски ^[21] показал, что метрика не может быть расширена даже непрерывным образом. Долгое время считалось, что такое решение нефизично. Однако более глубокое понимание общей теории относительности привело к осознанию того, что такие сингулярности являются общей чертой теории, а не просто экзотическим частным случаем.

Решение Шварцшильда, считающееся справедливым для всех r > 0 , называется черной дырой Шварцшильда . Это совершенно справедливое решение уравнений поля Эйнштейна, хотя (как и другие черные дыры) оно обладает довольно странными свойствами. При r < r _s радиальная координата Шварцшильда r становится времениподобной , а временная координата t становится пространственноподобной . ^[22] Кривая при постоянном r больше не является возможной мировой линией частицы или наблюдателя, даже если приложить силу, чтобы попытаться удержать ее там; это происходит из-за того, что пространство-время искривилось настолько, что направление причины и следствия (будущий световой конус частицы ) указывает на сингулярность. ^{[ требуется ссылка ]} Поверхность r = r _s разграничивает то, что называется горизонтом событий черной дыры. Она представляет собой точку, за которой свет больше не может покинуть гравитационное поле. Любой физический объект, радиус которого R становится меньше или равен радиусу Шварцшильда, претерпел гравитационный коллапс и стал черной дырой.

Решение Шварцшильда может быть выражено в диапазоне различных вариантов выбора координат, помимо координат Шварцшильда, использованных выше. Различные варианты выбора, как правило, подчеркивают различные особенности решения. В таблице ниже показаны некоторые популярные варианты выбора.

Альтернативные координаты ^[23]

Координаты	Элемент линии	Примечания	Функции
Координаты Эддингтона–Финкельштейна (входящие)	${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,dv^{2}-2\,dv\,dr-r^{2}\,g_{\Omega }}$		регулярный на будущем горизонте прошлый горизонт находится при v = −∞
Координаты Эддингтона–Финкельштейна (исходящие)	${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,du^{2}+2\,du\,dr-r^{2}g_{\Omega }}$		регулярный на прошлом горизонте простирается через прошлый горизонт будущий горизонт при u = ∞
Координаты Гулстранд – Пенлеве	${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,dT^{2}\pm 2{\sqrt {\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}\,dT\,dr-dr^{2}-r^{2}\,g_{\Omega }}$		регулярный в прошлом и будущем горизонты
Изотропные координаты	${\displaystyle {\frac {\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{2}}{\left(1+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{2}}}\,{dt}^{2}-\left(1+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{4}\,\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)}$	${\displaystyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$[24] Действительно только за пределами горизонта событий:${\displaystyle R>r_{\text{s}}/4}$	изотропные световые конусы на постоянных временных срезах
Координаты Крускала – Секереса	${\displaystyle {\frac {4r_{\mathrm {s} }^{3}}{r}}e^{-{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}}\,\left(dT^{2}-dR^{2}\right)-r^{2}\,g_{\Omega }}$	${\displaystyle T^{2}-R^{2}=\left(1-{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}\right)e^{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}}$	регулярный на горизонте; максимально распространяется на все пространство-время
Координаты Лемэтра	${\displaystyle dT^{2}-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\,dR^{2}-r^{2}\,g_{\Omega }}$	${\displaystyle r=\left({\tfrac {3}{2}}(R\pm T)\right)^{\frac {2}{3}}r_{\mathrm {s} }^{\frac {1}{3}}}$	регулярный либо в прошлом, либо в будущем
Гармонические координаты	${\displaystyle {\frac {\rho -r_{\mathrm {s} }/2}{\rho +r_{\mathrm {s} }/2}}dt^{2}-{\frac {\rho +r_{\mathrm {s} }/2}{\rho -r_{\mathrm {s} }/2}}d\rho ^{2}-(\rho +r_{\mathrm {s} }/2)^{2}g_{\Omega }}$	${\displaystyle \rho =r-r_{\mathrm {s} }/2}$

В таблице выше для краткости введены некоторые сокращения. Скорость света c установлена ​​на единицу . Обозначение

${\displaystyle g_{\Omega }=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$

используется для метрики единичного радиуса двумерной сферы. Более того, в каждой записи R и T обозначают альтернативные варианты радиальной и временной координаты для конкретных координат. Обратите внимание, что R или T могут различаться от записи к записи.

Координаты Крускала–Секереша имеют вид, к которому можно применить преобразование Белинского–Захарова . Это означает, что черная дыра Шварцшильда является формой гравитационного солитона .

Пространственная кривизна решения Шварцшильда для r > r _s может быть визуализирована, как показано на графике. Рассмотрим экваториальный срез H с постоянным временем через решение Шварцшильда, зафиксировав θ = ⁠ π/2⁠ , t = константа, и позволяя оставшимся координатам Шварцшильда ( r , φ ) изменяться. Представьте теперь, что есть дополнительное евклидово измерение w , которое не имеет физической реальности (оно не является частью пространства-времени). Затем замените плоскость ( r , φ ) поверхностью, ямочкой в ​​направлении w согласно уравнению ( параболоид Фламма )

${\displaystyle w=2{\sqrt {r_{\mathrm {s} }\left(r-r_{\mathrm {s} }\right)}}.}$

Эта поверхность обладает тем свойством, что расстояния, измеренные внутри нее, соответствуют расстояниям в метрике Шварцшильда, поскольку с учетом определения w выше,

${\displaystyle dw^{2}+dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}={\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}+r^{2}\,d\varphi ^{2}=-ds^{2}}$

Таким образом, параболоид Фламма полезен для визуализации пространственной кривизны метрики Шварцшильда. Однако его не следует путать с гравитационным колодцем . Ни одна обычная (массивная или безмассовая) частица не может иметь мировую линию, лежащую на параболоиде, поскольку все расстояния на нем являются пространственноподобными (это поперечное сечение в один момент времени, поэтому любая движущаяся по нему частица будет иметь бесконечную скорость ). Тахион может иметь пространственноподобную мировую линию, которая полностью лежит на одном параболоиде. Однако даже в этом случае его геодезический путь не является траекторией, которую можно получить через аналогию гравитационного колодца с «резиновым листом»: в частности, если углубление нарисовано направленным вверх, а не вниз, геодезический путь тахиона все равно искривляется к центральной массе, а не от нее. См. статью о гравитационном колодце для получения дополнительной информации.

Параболоид Фламма может быть получен следующим образом. Евклидова метрика в цилиндрических координатах ( r , φ , w ) записывается как

${\displaystyle -ds^{2}=dw^{2}+dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,.}$

Если поверхность описывать функцией w = w ( r ) , то евклидову метрику можно записать как

${\displaystyle -ds^{2}=\left(1+\left({\frac {dw}{dr}}\right)^{2}\right)\,dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,,}$

Сравнивая это с метрикой Шварцшильда в экваториальной плоскости ( θ = ⁠π/2⁠ ) ​​в фиксированное время ( t = константа, dt = 0 )

${\displaystyle -ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,,}$

дает интегральное выражение для w ( r ) :

${\displaystyle w(r)=\int {\frac {dr}{\sqrt {{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}-1}}}=2r_{\mathrm {s} }{\sqrt {{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}-1}}+{\mbox{constant}}}$

решением которого является параболоид Фламма.

Частица, вращающаяся в метрике Шварцшильда, может иметь устойчивую круговую орбиту с r > 3 r _s . Круговые орбиты с r между 1,5 r _s и 3 r _s нестабильны, и для r < 1,5 r _s круговых орбит не существует . Круговая орбита с минимальным радиусом 1,5 r _s соответствует орбитальной скорости, приближающейся к скорости света. Частица может иметь постоянное значение r между r _s и 1,5 r _s , но только если действует некоторая сила, удерживающая ее там.

Некруговые орбиты, такие как орбита Меркурия , задерживаются на малых радиусах дольше, чем можно было бы ожидать в ньютоновской гравитации . Это можно рассматривать как менее экстремальную версию более драматичного случая, в котором частица проходит через горизонт событий и остается внутри него навсегда. Промежуточные между случаем Меркурия и случаем падения объекта за горизонт событий, существуют экзотические возможности, такие как орбиты с острым краем, в которых спутник может быть вынужден совершать произвольно большое количество почти круговых орбит, после чего он улетает обратно наружу.

Группа изометрий метрики Шварцшильда — это ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathrm {O} (3)\times \{\pm 1\}}$ , где — ортогональная группа вращений и отражений в трех измерениях, включает временные переносы, а — группа, порожденная обращением времени.${\displaystyle \mathrm {O} (3)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{\pm 1\}}$

Таким образом, это подгруппа десятимерной группы Пуанкаре , которая принимает ось времени (траекторию звезды) в себя. Она опускает пространственные переносы (три измерения) и усиления (три измерения). Она сохраняет временные переносы (одно измерение) и вращения (три измерения). Таким образом, она имеет четыре измерения. Как и группа Пуанкаре, она имеет четыре связанных компонента: компонент тождества; компонент, обращенный во времени; компонент пространственной инверсии; и компонент, который одновременно обращен во времени и пространственно инвертирован.

Скаляр кривизны Риччи и тензор кривизны Риччи оба равны нулю. Ненулевые компоненты тензора кривизны Римана определяются как ^[25]

${\displaystyle -R^{t}{}_{rtr}=2R^{\theta }{}_{r\theta r}=2R^{\phi }{}_{r\phi r}={\frac {r_{\text{s}}}{r^{2}(r_{\text{s}}-r)}},}$

${\displaystyle 2R^{t}{}_{\theta t\theta }=2R^{r}{}_{\theta r\theta }=-R^{\phi }{}_{\theta \phi \theta }=-{\frac {r_{\text{s}}}{r}},}$

${\displaystyle 2R^{t}{}_{\phi t\phi }=2R^{r}{}_{\phi r\phi }=-R^{\theta }{}_{\phi \theta \phi }=-{\frac {r_{\text{s}}\sin ^{2}(\theta )}{r}},}$

${\displaystyle R^{r}{}_{trt}=-2R^{\theta }{}_{t\theta t}=-2R^{\phi }{}_{t\phi t}=c^{2}{\frac {r_{\text{s}}(r_{\text{s}}-r)}{r^{4}}},}$

из чего можно увидеть, что . Шесть из этих формул являются уравнением 5.13 в Кэрролле ^[26] и подразумевают остальные 6 с помощью . Компоненты, которые могут быть получены с помощью других симметрий тензора Римана, не отображаются.${\displaystyle R^{\gamma }{}_{\alpha \gamma \beta }=0}$${\displaystyle R^{\alpha }{}_{\beta \gamma \delta }=g^{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }R^{\lambda }{}_{\kappa \delta \gamma }}$

Для понимания физического смысла этих величин полезно выразить тензор кривизны в ортонормированном базисе. В ортонормированном базисе наблюдателя ненулевые компоненты в геометрических единицах равны ^[25]

${\displaystyle R^{\hat {r}}{}_{{\hat {t}}{\hat {r}}{\hat {t}}}=-R^{\hat {\theta }}{}_{{\hat {\phi }}{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-{\frac {r_{\text{s}}}{r^{3}}},}$

${\displaystyle R^{\hat {\theta }}{}_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {t}}}=R^{\hat {\phi }}{}_{{\hat {t}}{\hat {\phi }}{\hat {t}}}=-R^{\hat {r}}{}_{{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\theta }}}=-R^{\hat {r}}{}_{{\hat {\phi }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}={\frac {r_{\text{s}}}{2r^{3}}}.}$

Опять же, компоненты, которые можно получить с помощью симметрий тензора Римана, не отображаются. Эти результаты инвариантны к любому усилению Лоренца, поэтому компоненты не меняются для нестатичных наблюдателей. Уравнение геодезического отклонения показывает, что приливное ускорение между двумя наблюдателями, разделенными расстоянием , равно , поэтому тело длиной растягивается в радиальном направлении кажущимся ускорением и сжимается в перпендикулярных направлениях .${\displaystyle \xi ^{\hat {j}}}$${\displaystyle D^{2}\xi ^{\hat {j}}/D\tau ^{2}=-R^{\hat {j}}{}_{{\hat {t}}{\hat {k}}{\hat {t}}}\xi ^{\hat {k}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle (r_{\text{s}}/r^{3})c^{2}L}$${\displaystyle -(r_{\text{s}}/(2r^{3}))c^{2}L}$

• Вывод решения Шварцшильда
• Метрика Рейсснера–Нордстрема (заряженное, невращающееся решение)
• Метрика Керра (незаряженный вращающийся раствор)
• Метрика Керра–Ньюмена (заряженное вращающееся решение)
• Черная дыра , общий обзор
• Координаты Шварцшильда
• Координаты Крускала – Секереса
• Координаты Эддингтона–Финкельштейна
• Координаты Гулстранд – Пенлеве
• Координаты Леметра (решение Шварцшильда в синхронных координатах )
• Поля отсчета в общей теории относительности (наблюдатели Леметра в вакууме Шварцшильда)
• Уравнение Толмена–Оппенгеймера–Волкова (метрические и уравнения давления статического и сферически симметричного тела из изотропного материала)
• Длина Планка

• Шварцшильд, К. (1916). «Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie». Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften . 7 : 189–196. Бибкод : 1916AbhKP1916..189S.

• Текст оригинальной статьи в Викиресурсе
• Перевод: Antoci, S.; Loinger, A. (1999). «О гравитационном поле материальной точки согласно теории Эйнштейна». arXiv : physics/9905030 .
• Комментарий к статье, дающий более простой вывод: Бел, Л. (2007). «Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktesnach der Einsteinschen Theorie». arXiv : 0709.2257 [gr-qc].

• Шварцшильд, К. (1916). «Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus incompressible Flüssigkeit». Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften . 1 : 424.

• Текст оригинальной статьи в Викиресурсе
• Перевод: Antoci, S. (1999). «О гравитационном поле сферы несжимаемой жидкости согласно теории Эйнштейна». arXiv : physics/9912033 .

• Фламм, Л. (1916). «Beiträge zur Эйнштейна теории гравитации». Physikalische Zeitschrift . 17 : 448.
• Адлер, Р.; Базен, М.; Шиффер, М. (1975). Введение в общую теорию относительности (2-е изд.). McGraw-Hill . Глава 6. ISBN 0-07-000423-4.
• Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. М. (1951). Классическая теория полей . Курс теоретической физики . Том 2 (4-е пересмотренное английское издание). Pergamon Press . Глава 12. ISBN 0-08-025072-6.
• Misner, CW; Thorne, KS; Wheeler, JA (1970). Гравитация . WH Freeman . Главы 31 и 32. ISBN 0-7167-0344-0.
• Вайнберг, С. (1972). Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности . John Wiley & Sons . Глава 8. ISBN 0-471-92567-5.
• Тейлор, Э. Ф.; Уилер, Дж. А. (2000). Исследование черных дыр: Введение в общую теорию относительности . Эддисон-Уэсли . ISBN 0-201-38423-X.
• Heinzle, JM; Steinbauer, R. (2002). «Замечания о распределительной геометрии Шварцшильда». Журнал математической физики . 43 (3): 1493–1508. arXiv : gr-qc/0112047 . Bibcode :2002JMP....43.1493H. doi :10.1063/1.1448684. S2CID  119677857.