Преобразование Белинского–Захарова

Преобразование Белинского –Захарова (обратное) — это нелинейное преобразование, которое генерирует новые точные решения уравнения вакуумного поля Эйнштейна . Оно было разработано Владимиром Белинским и Владимиром Захаровым в 1978 году. ^[1] Преобразование Белинского–Захарова является обобщением обратного преобразования рассеяния . Решения, полученные с помощью этого преобразования, называются гравитационными солитонами (гравизолитонами). Несмотря на то, что термин «солитон» используется для описания гравитационных солитонов, их поведение сильно отличается от других (классических) солитонов. ^[2] В частности, гравитационные солитоны не сохраняют свою амплитуду и форму во времени, и до июня 2012 года их общая интерпретация оставалась неизвестной. Однако известно, что большинство черных дыр (и особенно метрика Шварцшильда и метрика Керра ) являются частными случаями гравитационных солитонов.

Преобразование Белинского–Захарова работает для пространственно-временных интервалов вида

${\displaystyle ds^{2}=f(-d(x^{0})^{2}+d(x^{1})^{2})+g_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$

где мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании для . Предполагается, что и функция , и матрица зависят только от координат и . Несмотря на то, что это специфическая форма интервала пространства-времени , зависящая только от двух переменных, она включает в себя большое количество интересных решений как частные случаи, такие как метрика Шварцшильда , метрика Керра , метрика Эйнштейна–Розена и многие другие.${\displaystyle а,b=2,3}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g=g_{ab}}$${\displaystyle х^{0}}$${\displaystyle x^{1}}$

В этом случае вакуумное уравнение Эйнштейна распадается на два набора уравнений для матрицы и функции . Используя координаты светового конуса , первое уравнение для матрицы имеет вид${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$${\displaystyle g=g_{ab}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \zeta =x^{0}+x^{1},\eta =x^{0}-x^{1}}$${\displaystyle г}$

${\displaystyle (\alpha g_{,\zeta }g^{-1})_{,\eta }+(\alpha g_{,\eta }g^{-1})_{,\zeta }=0 }$

где — квадратный корень определителя , а именно${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle г}$

${\displaystyle \det g=\alpha ^{2}}$

Вторая система уравнений:

${\displaystyle (\ln f)_{,\zeta }={\frac {(\ln \alpha )_{,\zeta \zeta }}{(\ln \alpha )_{,\zeta }}}+ {\frac {\alpha }{4\alpha _{,\zeta }}}\operatorname {tr} (g_{,\zeta }g^{-1}g_{,\zeta }g^{-1}) }$

${\displaystyle (\ln f)_{,\eta }={\frac {(\ln \alpha)_{,\eta \eta }}{(\ln \alpha )_{,\eta }}}+ {\frac {\alpha }{4\alpha _{,\eta }}}\operatorname {tr} (g_{,\eta }g^{-1}g_{,\eta }g^{-1}) }$

Взяв след матричного уравнения для , мы обнаруживаем, что на самом деле удовлетворяет волновому уравнению${\displaystyle г}$${\displaystyle \альфа}$

${\displaystyle \alpha _ {,\zeta \eta} = 0}$

Рассмотрим линейные операторы, определяемые формулой${\displaystyle D_{1},D_{2}}$

${\displaystyle D_{1}=\partial _{\zeta }+{\frac {2\alpha _{,\zeta }\lambda }{\lambda -\alpha }}\partial _{\lambda }}$

${\displaystyle D_{2}=\partial _{\eta }-{\frac {2\alpha _{,\eta }\lambda }{\lambda +\alpha }}\partial _{\lambda }}$

где — вспомогательный комплексный спектральный параметр. Простое вычисление показывает, что поскольку удовлетворяет волновому уравнению, . Эта пара операторов коммутирует, это пара Лакса .${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \left[D_{1},D_{2}\right]=0}$

Суть обратного преобразования рассеяния заключается в переписывании нелинейного уравнения Эйнштейна в виде переопределенной линейной системы уравнений для новой матричной функции . Рассмотрим уравнения Белинского–Захарова:${\displaystyle \psi =\psi (\zeta,\eta,\lambda)}$

${\displaystyle D_{1}\psi ={\frac {A}{\lambda -\alpha }}\psi }$

${\displaystyle D_{2}\psi ={\frac {B}{\lambda +\alpha}}\psi }$

Применяя к левой части первого уравнения и к левой части второго уравнения и вычитая результаты, левая часть обращается в нуль в результате коммутативности и . Что касается правой части, короткое вычисление показывает, что она действительно обращается в нуль также точно тогда, когда удовлетворяет нелинейному матричному уравнению Эйнштейна.${\displaystyle D_{2}}$${\displaystyle D_{1}}$${\displaystyle D_{1}}$${\displaystyle D_{2}}$${\displaystyle г}$

Это означает, что переопределенные линейные уравнения Белинского–Захарова разрешимы одновременно точно тогда, когда решает нелинейное матричное уравнение . На самом деле, можно легко восстановить из матричнозначной функции простым предельным процессом. Взяв предел в уравнениях Белинского–Захарова и умножив на справа, получаем${\displaystyle г}$${\displaystyle г}$${\displaystyle \пси}$${\displaystyle \lambda \rightarrow 0}$${\displaystyle \psi^{-1}}$

${\displaystyle \psi _{,\zeta }\psi ^{-1}=g_{,\zeta }g^{-1}}$

${\displaystyle \psi _{,\eta }\psi ^{-1}=g_{,\eta }g^{-1}}$

Таким образом, решение нелинейного уравнения получается из решения линейного уравнения Белинского–Захарова путем простой оценки${\displaystyle г}$

${\ displaystyle g (\ zeta, \ eta) = \ psi (\ zeta, \ eta, 0)}$