Идеальное число
Целое число, равное сумме своих собственных делителей
Иллюстрация совершенного числового статуса числа 6

В теории чисел совершенное число — это положительное целое число , равное сумме своих положительных собственных делителей , то есть делителей, исключающих само число. Например, 6 имеет собственные делители 1, 2 и 3, а 1 + 2 + 3 = 6, поэтому 6 — совершенное число. Следующее совершенное число — 28, так как 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Первые четыре совершенных числа — 6 , 28 , 496 и 8128. [1 ]

Сумма собственных делителей числа называется его аликвотной суммой , поэтому совершенное число — это число, которое равно своей аликвотной сумме. Эквивалентно, совершенное число — это число, которое равно половине суммы всех своих положительных делителей; в символах, где — функция суммы делителей . σ 1 ( н ) = 2 н {\displaystyle \сигма _{1}(n)=2n} σ 1 {\displaystyle \сигма _{1}}

Это определение древнее, оно встречается ещё в «Началах » Евклида (VII.22), где оно называется τέλειος ἀριθμός ( совершенное , идеальное или полное число ). Евклид также доказал правило образования (IX.36), согласно которому является чётным совершенным числом, если является простым числом вида для положительного целого числа — то, что сейчас называется простым числом Мерсенна . Два тысячелетия спустя Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют этот вид. [2] Это известно как теорема Евклида–Эйлера . д ( д + 1 ) / 2 {\displaystyle q(q+1)/2} д {\displaystyle д} 2 п − 1 {\displaystyle 2^{p}-1} п {\displaystyle p}

Неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа и существует ли бесконечно много совершенных чисел.

История

Около 300 г. до н. э. Евклид показал, что если 2 p  − 1 является простым числом, то 2 p −1 (2 p  − 1) является совершенным числом. Первые четыре совершенных числа были единственными, известными ранней греческой математике , а математик Никомах заметил 8128 еще около 100 г. н. э. [3] На современном языке Никомах утверждает без доказательств, что каждое совершенное число имеет вид , где является простым числом. [4] [5] Он, похоже, не знает, что само n должно быть простым числом. Он также говорит (ошибочно), что совершенные числа попеременно заканчиваются на 6 или 8. (Первые 5 совершенных чисел заканчиваются цифрами 6, 8, 6, 8, 6; но шестое также заканчивается на 6.) Филон Александрийский в своей книге первого века «О сотворении мира» упоминает совершенные числа, утверждая , что мир был создан за 6 дней, а луна совершает оборот за 28 дней, потому что 6 и 28 являются совершенными. За Филоном следуют Ориген [6] и Дидим Слепой , который добавляет наблюдение, что существует только четыре совершенных числа, которые меньше 10 000. (Комментарий к Книге Бытия 1. 14–19). [7] Святой Августин определяет совершенные числа в «О граде Божьем» (Книга XI, Глава 30) в начале V века нашей эры, повторяя утверждение, что Бог сотворил мир за 6 дней, потому что 6 — наименьшее совершенное число. Египетский математик Исмаил ибн Фаллус (1194–1252) упомянул следующие три совершенных числа (33 550 336; 8 589 869 056; и 137 438 691 328) и перечислил еще несколько, которые, как теперь известно, являются неправильными. [8] Первое известное европейское упоминание пятого совершенного числа — это рукопись, написанная между 1456 и 1461 годами неизвестным математиком. [9] В 1588 году итальянский математик Пьетро Катальди определил шестое (8 589 869 056) и седьмое (137 438 691 328) совершенные числа, а также доказал, что каждое совершенное число, полученное из правила Евклида, заканчивается на 6 или 8. [10] [11] [12] 2 н − 1 ( 2 н − 1 ) {\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)} 2 н − 1 {\displaystyle 2^{n}-1}

Даже совершенные числа

Нерешенная задача по математике :
Существует ли бесконечно много совершенных чисел?
(еще нерешенные проблемы по математике)

Евклид доказал, что является четным совершенным числом, если является простым ( Начала , предложение IX.36). 2 п − 1 ( 2 п − 1 ) {\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)} 2 п − 1 {\displaystyle 2^{p}-1}

Например, первые четыре совершенных числа генерируются по формуле, где p — простое число , следующим образом: 2 п − 1 ( 2 п − 1 ) , {\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),} п = 2 : 2 1 ( 2 2 − 1 ) = 2 × 3 = 6 п = 3 : 2 2 ( 2 3 − 1 ) = 4 × 7 = 28 п = 5 : 2 4 ( 2 5 − 1 ) = 16 × 31 = 496 п = 7 : 2 6 ( 2 7 − 1 ) = 64 × 127 = 8128. {\displaystyle {\begin{aligned}p=2&:\quad 2^{1}(2^{2}-1)=2\times 3=6\\p=3&:\quad 2^{2}(2^{3}-1)=4\times 7=28\\p=5&:\quad 2^{4}(2^{5}-1)=16\times 31=496\\p=7&:\quad 2^{6}(2^{7}-1)=64\times 127=8128.\end{aligned}}}

Простые числа вида известны как простые числа Мерсенна , в честь монаха семнадцатого века Марина Мерсенна , который изучал теорию чисел и совершенные числа. Для того, чтобы быть простым, необходимо, чтобы само p было простым. Однако не все числа вида с простым p являются простыми; например, 2 11 − 1 = 2047 = 23 × 89 не является простым числом. [a] На самом деле, простые числа Мерсенна встречаются очень редко: из простых чисел p вплоть до 68 874 199 является простым только для 48 из них. [13] 2 п − 1 {\displaystyle 2^{p}-1} 2 п − 1 {\displaystyle 2^{p}-1} 2 п − 1 {\displaystyle 2^{p}-1} 2 п − 1 {\displaystyle 2^{p}-1}

В то время как Никомах утверждал (без доказательства), что все совершенные числа имеют вид , где является простым (хотя он утверждал это несколько иначе), Ибн аль-Хайтам (Альхазен) около 1000 г. н. э. не хотел заходить так далеко, заявив вместо этого (также без доказательства), что формула даст только каждое четное совершенное число. [14] Только в 18 веке Леонард Эйлер доказал, что формула даст все четные совершенные числа. Таким образом, существует взаимно-однозначное соответствие между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна; каждое простое число Мерсенна порождает одно четное совершенное число, и наоборот. Этот результат часто называют теоремой Евклида–Эйлера . 2 н − 1 ( 2 н − 1 ) {\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)} 2 н − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} 2 п − 1 ( 2 п − 1 ) {\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}

Исчерпывающий поиск в рамках проекта распределенных вычислений GIMPS показал, что первые 48 четных совершенных чисел предназначены для 2 п − 1 ( 2 п − 1 ) {\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}

р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 и 57885161 (последовательность A000043 в OEIS ). [13]

Также были обнаружены четыре более высоких совершенных числа, а именно те, для которых p = 74207281, 77232917, 82589933 и 136279841. Хотя все еще возможно, что в этом диапазоне могут быть и другие, первоначальные, но исчерпывающие тесты GIMPS не выявили других совершенных чисел для p ниже 109332539. По состоянию на октябрь 2024 года [обновлять]известно 52 простых числа Мерсенна [15] и, следовательно, 52 четных совершенных числа (наибольшее из которых — 2 136279840 × (2 136279841 − 1) с 82 048 640 цифрами). Неизвестно, существует ли бесконечно много совершенных чисел, и существует ли бесконечно много простых чисел Мерсенна.

Помимо того, что каждое четное совершенное число имеет форму , каждое четное совершенное число является -ым треугольным числом (и, следовательно, равным сумме целых чисел от 1 до ) и -ым шестиугольным числом . Кроме того, каждое четное совершенное число, за исключением 6, является -ым центрированным девятиугольным числом и равно сумме первых нечетных кубов (нечетные кубы до куба ): 2 п − 1 ( 2 п − 1 ) {\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)} ( 2 п − 1 ) {\displaystyle (2^{p}-1)} 2 п − 1 {\displaystyle 2^{p}-1} 2 п − 1 {\displaystyle 2^{p-1}} 2 п + 1 3 {\displaystyle {\tfrac {2^{p}+1}{3}}} 2 п − 1 2 {\displaystyle 2^{\frac {p-1}{2}}} 2 п + 1 2 − 1 {\displaystyle 2^{\frac {p+1}{2}}-1}

6 = 2 1 ( 2 2 − 1 ) = 1 + 2 + 3 , 28 = 2 2 ( 2 3 − 1 ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1 3 + 3 3 496 = 2 4 ( 2 5 − 1 ) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 29 + 30 + 31 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 8128 = 2 6 ( 2 7 − 1 ) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 125 + 126 + 127 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + 15 3 33550336 = 2 12 ( 2 13 − 1 ) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 8189 + 8190 + 8191 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + ⋯ + 123 3 + 125 3 + 127 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}6&=2^{1}(2^{2}-1)&&=1+2+3,\\[8pt]28&=2^{2}(2^{3}-1)&&=1+2+3+4+5+6+7\\&&&=1^{3}+3^{3}\\[8pt]496&=2^{4}(2^{5}-1)&&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}\\[8pt]8128&=2^{6}(2^{7}-1)&&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}\\[8pt]33550336&=2^{12}(2^{13}-1)&&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}\end{alignedat}}}

Даже совершенные числа (кроме 6) имеют вид Т 2 п − 1 = 1 + ( 2 п − 2 ) × ( 2 п + 1 ) 2 = 1 + 9 × Т ( 2 п − 2 ) / 3 {\displaystyle T_{2^{p}-1}=1+{\frac {(2^{p}-2)\times (2^{p}+1)}{2}}=1+9\times T_{(2^{p}-2)/3}}

с каждым полученным треугольным числом T 7 = 28 , T 31 = 496 , T 127 = 8128 (после вычитания 1 из совершенного числа и деления результата на 9), заканчивающимся на 3 или 5, последовательность начинается с T 2 = 3 , T 10 = 55 , T 42 = 903 , T 2730 = 3727815, ... [16] Из этого следует, что сложение цифр любого четного совершенного числа (кроме 6), затем сложение цифр полученного числа и повторение этого процесса до тех пор, пока не будет получена одна цифра (называемая цифровым корнем ), всегда дает число 1. Например, цифровой корень числа 8128 равен 1, потому что 8 + 1 + 2 + 8 = 19 , 1 + 9 = 10 и 1 + 0 = 1 . Это работает со всеми совершенными числами с нечетным простым числом p и, фактически, со всеми числами вида для нечетного целого числа (не обязательно простого) m . 2 п − 1 ( 2 п − 1 ) {\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)} 2 м − 1 ( 2 м − 1 ) {\displaystyle 2^{м-1}(2^{м}-1)}

Благодаря своей форме каждое четное совершенное число представляется в двоичной форме как p единиц, за которыми следуют p − 1 нулей, например: 2 п − 1 ( 2 п − 1 ) , {\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),}

6 10 = 2 2 + 2 1 = 110 2 28 10 = 2 4 + 2 3 + 2 2 = 11100 2 496 10 = 2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 4 = 111110000 2 8128 10 = 2 12 + 2 11 + 2 10 + 2 9 + 2 8 + 2 7 + 2 6 = 1111111000000 2 {\displaystyle {\begin{array}{rcl}6_{10}=&2^{2}+2^{1}&=110_{2}\\28_{10}=&2^{4}+2^{3}+2^{2}&=11100_{2}\\496_{10}=&2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}&=111110000_{2}\\8128_{10}=&\!\!2^{12}+2^{11}+2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}\!\!&=1111111000000_{2}\end{array}}}

Таким образом, каждое четное совершенное число является пагубным числом .

Каждое четное совершенное число также является практическим числом (см. Смежные понятия).

Нечетные совершенные числа

Нерешенная задача по математике :
Существуют ли нечетные совершенные числа?
(еще нерешенные проблемы по математике)

Неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа, хотя были получены различные результаты. В 1496 году Жак Лефевр заявил, что правило Евклида дает все совершенные числа, [17] таким образом подразумевая, что нечетных совершенных чисел не существует, но сам Эйлер заявил: «Существуют ли ... нечетные совершенные числа — это самый сложный вопрос». [18] Совсем недавно Карл Померанс представил эвристический аргумент, предполагающий, что на самом деле нечетных совершенных чисел не должно существовать. [19] Все совершенные числа также являются гармоническими делителями , и было также высказано предположение, что не существует нечетных гармонических делителей, отличных от 1. Многие из свойств, доказанных для нечетных совершенных чисел, также применимы к числам Декарта , и Пейс Нильсен предположил, что достаточное изучение этих чисел может привести к доказательству того, что нечетных совершенных чисел не существует. [20]

Любое нечетное совершенное число N должно удовлетворять следующим условиям:

  • N > 10 1500 . [21]
  • N не делится на 105. [22]
  • N имеет вид N ≡ 1 (mod 12) или N ≡ 117 (mod 468) или N ≡ 81 (mod 324). [23]
  • Наибольший простой множитель числа N больше 10 8 [24] и меньше [25] 3 N 3 . {\displaystyle {\sqrt[{3}]{3N}}.}
  • Второй по величине простой множитель больше 10 4 , [26] и меньше . [27] 2 N 5 {\displaystyle {\sqrt[{5}]{2N}}}
  • Третий по величине простой множитель больше 100, [28] и меньше [29] 2 N 6 . {\displaystyle {\sqrt[{6}]{2N}}.}
  • N имеет по крайней мере 101 простой множитель и по крайней мере 10 различных простых множителей. [21] [30] Если 3 не является одним из множителей N , то N имеет по крайней мере 12 различных простых множителей. [31]
  • N имеет вид
N = q α p 1 2 e 1 ⋯ p k 2 e k , {\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}},}
где:
  • q ,  p 1 , ...,  p k — различные нечетные простые числа (Эйлер).
  • q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (Эйлер).
  • Наименьший простой множитель числа N не превышает [32] k − 1 2 . {\displaystyle {\frac {k-1}{2}}.}
  • По крайней мере одна из простых степеней, делящих N, превышает 10 62 . [21]
  • N < 2 ( 4 k + 1 − 2 k + 1 ) {\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}} [33] [34]
  • α + 2 e 1 + 2 e 2 + 2 e 3 + ⋯ + 2 e k ≥ 99 k − 224 37 {\displaystyle \alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {99k-224}{37}}} . [32] [35] [36]
  • q p 1 p 2 p 3 ⋯ p k < 2 N 17 26 {\displaystyle qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}} . [37]
  • 1 q + 1 p 1 + 1 p 2 + ⋯ + 1 p k < ln ⁡ 2 {\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p_{1}}}+{\frac {1}{p_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{p_{k}}}<\ln 2} . [38] [39]

Кроме того, известно несколько второстепенных результатов о показателях степеней e 1 , ...,  e k .

  • Не все e i  ≡ 1 ( mod 3). [40]
  • Не все e i  ≡ 2 ( mod 5). [41]
  • Если все e i  ≡ 1 ( mod 3) или 2 ( mod 5), то наименьший простой множитель числа N должен лежать между 10 8 и 10 1000 . [41]
  • В более общем случае, если все 2 e i +1 имеют простой множитель в заданном конечном множестве S , то наименьший простой множитель N должен быть меньше эффективно вычислимой константы, зависящей только от S. [ 41]
  • Если ( e 1 , ...,  e k ) = (1, ..., 1, 2, ..., 2) с t единицами и u двойками, то . [42] ( t − 1 ) / 4 ≤ u ≤ 2 t + α {\displaystyle (t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}}
  • ( е 1 , ...,  е k ) ≠ (1, ..., 1, 3), [43] (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6) . [44]
  • Если е 1 = ... = ек = е , то
    • e не может быть 3, [45] 5, 24, [46] 6, 8, 11, 14 или 18. [44]
    • k ≤ 2 e 2 + 8 e + 2 {\displaystyle k\leq 2e^{2}+8e+2} и . [47] N < 2 4 2 e 2 + 8 e + 3 {\displaystyle N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}}

В 1888 году Сильвестр заявил: [48]

... продолжительное размышление на эту тему убедило меня в том, что существование любого такого [нечетного совершенного числа] — его освобождение, так сказать, от сложной сети условий, которые окружают его со всех сторон — было бы почти чудом.

Незначительные результаты

Все четные совершенные числа имеют очень точную форму; нечетные совершенные числа либо не существуют, либо встречаются редко. Существует ряд результатов о совершенных числах, которые на самом деле довольно легко доказать, но тем не менее внешне впечатляют; некоторые из них также подпадают под сильный закон малых чисел Ричарда Гая :

  • Единственное четное совершенное число вида n 3  + 1 — это 28 (Маковски, 1962). [49]
  • 28 также является единственным четным совершенным числом, которое является суммой двух положительных кубов целых чисел (Галлардо 2010). [50]
  • Сумма обратных делителей совершенного числа N должна быть равна 2 (чтобы получить это, возьмем определение совершенного числа, и разделим обе части на n ): σ 1 ( n ) = 2 n {\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}
    • Для 6 имеем ; 1 6 + 1 3 + 1 2 + 1 1 = 1 6 + 2 6 + 3 6 + 6 6 = 1 + 2 + 3 + 6 6 = 2 ⋅ 6 6 = 2 {\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}={\frac {1}{6}}+{\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}+{\frac {6}{6}}={\frac {1+2+3+6}{6}}={\frac {2\cdot 6}{6}}=2}
    • Для 28 имеем и т.д. 1 / 28 + 1 / 14 + 1 / 7 + 1 / 4 + 1 / 2 + 1 / 1 = 2 {\displaystyle 1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2}
  • Количество делителей совершенного числа (четного или нечетного) должно быть четным, поскольку N не может быть полным квадратом. [51]
  • Чётные совершенные числа не являются трапециевидными числами ; то есть они не могут быть представлены как разность двух положительных не последовательных треугольных чисел . Существует только три типа не трапециевидных чисел: чётные совершенные числа, степени двойки и числа вида, образованные как произведение простого числа Ферма на степень двойки аналогично построению чётных совершенных чисел из простых чисел Мерсенна. [52] 2 n − 1 ( 2 n + 1 ) {\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}+1)} 2 n + 1 {\displaystyle 2^{n}+1}
  • Число совершенных чисел, меньших n , меньше , где c > 0 — константа. [53] Фактически, это , если использовать обозначение с маленьким о . [54] c n {\displaystyle c{\sqrt {n}}} o ( n ) {\displaystyle o({\sqrt {n}})}
  • Каждое четное совершенное число оканчивается на 6 или 28 в десятичной системе счисления; и, за единственным исключением 6, оканчивается на 1 в девятичной системе счисления. [55] [56] Поэтому, в частности, цифровой корень каждого четного совершенного числа, отличного от 6, равен 1.
  • Единственное совершенное число , свободное от квадратов, — это 6. [57]
Диаграмма Эйлера для чисел до 100:
   Обильный
   Примитивный обильный
   Очень распространенный
   Сверхобильный и очень сложный
   Колоссально обильный и превосходный, высококомпозитный
   Странный
   Идеальный
   Композитный
   Недостаточный

Сумма собственных делителей дает различные другие виды чисел. Числа, где сумма меньше самого числа, называются недостаточным , а где она больше числа, избыточным . Эти термины, вместе с самим совершенным , пришли из греческой нумерологии . Пара чисел, которые являются суммой собственных делителей друг друга, называются дружественными , а большие циклы чисел называются общительными . Положительное целое число, такое что каждое меньшее положительное целое число является суммой различных его делителей, является практичным числом .

По определению, совершенное число — это неподвижная точка ограниченной функции делителей s ( n ) = σ ( n ) − n , а аликвотная последовательность, связанная с совершенным числом, является постоянной последовательностью. Все совершенные числа также являются -совершенными числами, или числами Гранвиля . S {\displaystyle {\mathcal {S}}}

Полусовершенное число — это натуральное число, равное сумме всех или некоторых своих собственных делителей. Полусовершенное число, равное сумме всех своих собственных делителей, является совершенным числом. Большинство обильных чисел также являются полусовершенными; обильные числа, которые не являются полусовершенными, называются странными числами .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Все множители сравнимы с 1 mod 2 p . Например, 2 11 − 1 = 2047 = 23 × 89 , и оба числа 23 и 89 дают остаток 1 при делении на 22. Кроме того, всякий раз, когда p является простым числом Софи Жермен — то есть 2 p + 1 также является простым числом — и 2 p + 1 сравнимо с 1 или 7 mod 8, то 2 p + 1 будет множителем , что имеет место для p = 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, ... OEIS : A002515 . 2 p − 1 {\displaystyle 2^{p}-1} 2 p − 1 , {\displaystyle 2^{p}-1,}

Ссылки

  1. ^ "A000396 - OEIS". oeis.org . Получено 2024-03-21 .
  2. ^ Колдуэлл, Крис, «Доказательство того, что все четные совершенные числа являются степенью двойки, умноженной на простое число Мерсенна».
  3. ^ Диксон, Л. Э. (1919). История теории чисел, т. I. Вашингтон: Институт Карнеги в Вашингтоне. стр. 4.
  4. ^ "Совершенные числа". www-groups.dcs.st-and.ac.uk . Получено 9 мая 2018 г. .
  5. ↑ В главе 16 «Введения в арифметику » он говорит о совершенных числах: «Существует метод их получения, аккуратный и безошибочный, который не пропускает ни одно из совершенных чисел и не упускает ни одного из тех, которые таковыми не являются, и который осуществляется следующим образом». Затем он продолжает объяснять процедуру, которая эквивалентна нахождению треугольного числа на основе простого числа Мерсенна.
  6. ↑ Комментарий к Евангелию от Иоанна 28.1.1–4, с дальнейшими ссылками в издании Sources Chrétiennes : т. 385, 58–61.
  7. ^ Роджерс, Джастин М. (2015). Восприятие арифмологической экзегезы Филона в комментарии Дидима Слепого к Книге Бытия (PDF) . Национальное собрание Общества библейской литературы, Атланта, Джорджия .
  8. ↑ Рошди Рашед, Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй (Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, 1994), стр. 328–329.
  9. ^ Bayerische Staatsbibliothek , Clm 14908. См. Дэвида Юджина Смита (1925). История математики: Том II. Нью-Йорк: Дувр. п. 21. ISBN 0-486-20430-8.
  10. ^ Диксон, Л. Э. (1919). История теории чисел, т. I. Вашингтон: Институт Карнеги в Вашингтоне. стр. 10.
  11. ^ Пиковер, С. (2001). Чудеса чисел: приключения в математике, разуме и смысле. Оксфорд: Oxford University Press. стр. 360. ISBN 0-19-515799-0.
  12. ^ Петерсон, И. (2002). Математические путешествия: от сюрреалистических чисел до магических кругов. Вашингтон: Математическая ассоциация Америки. стр. 132. ISBN 88-8358-537-2.
  13. ^ ab "GIMPS Milestones Report". Great Internet Mersenne Prime Search . Получено 28 июля 2024 г.
  14. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайсам», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
  15. ^ "GIMPS Home". Mersenne.org . Получено 21 октября 2024 г. .
  16. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Совершенное число». MathWorld .
  17. ^ Диксон, Л. Э. (1919). История теории чисел, т. I. Вашингтон: Институт Карнеги в Вашингтоне. стр. 6.
  18. ^ "Самая старая открытая проблема в математике" (PDF) . Harvard.edu . Получено 16 июня 2023 г. .
  19. ^ Oddperfect.org. Архивировано 29.12.2006 на Wayback Machine
  20. ^ Надис, Стив (10 сентября 2020 г.). «Математики открывают новый фронт в решении древней числовой проблемы». Журнал Quanta . Получено 10 сентября 2020 г.
  21. ^ abc Ochem, Паскаль; Рао, Микаэль (2012). «Нечетные совершенные числа больше 101500» (PDF) . Mathematics of Computation . 81 (279): 1869–1877. doi : 10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 . ISSN  0025-5718. Zbl  1263.11005.
  22. ^ Кюнель, Ульрих (1950). «Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen». Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 52 : 202–211. дои : 10.1007/BF02230691. S2CID  120754476.
  23. ^ Робертс, Т (2008). «О форме нечетного совершенного числа» (PDF) . Australian Mathematical Gazette . 35 (4): 244.
  24. ^ Goto, T; Ohno, Y (2008). "Нечетные совершенные числа имеют простой множитель, превышающий 108" (PDF) . Mathematics of Computation . 77 (263): 1859–1868. Bibcode :2008MaCom..77.1859G. doi : 10.1090/S0025-5718-08-02050-9 . Получено 30 марта 2011 г. .
  25. ^ Конягин, Сергей; Акваа, Питер (2012). «О простых множителях нечетных совершенных чисел». Международный журнал теории чисел . 8 (6): 1537–1540. doi :10.1142/S1793042112500935.
  26. ^ Iannucci, DE (1999). "Второй по величине простой делитель нечетного совершенного числа превышает десять тысяч" (PDF) . Mathematics of Computation . 68 (228): 1749–1760. Bibcode :1999MaCom..68.1749I. doi : 10.1090/S0025-5718-99-01126-6 . Получено 30 марта 2011 г. .
  27. ^ Зелинский, Джошуа (июль 2019 г.). «Верхние границы второго по величине простого множителя нечетного совершенного числа». International Journal of Number Theory . 15 (6): 1183–1189. arXiv : 1810.11734 . doi : 10.1142/S1793042119500659. S2CID  62885986..
  28. ^ Iannucci, DE (2000). "Третий по величине простой делитель нечетного совершенного числа превышает сотню" (PDF) . Mathematics of Computation . 69 (230): 867–879. Bibcode :2000MaCom..69..867I. doi : 10.1090/S0025-5718-99-01127-8 . Получено 30 марта 2011 г. .
  29. ^ Бибби, Шон; Винке, Питер; Зелински, Джошуа (23 ноября 2021 г.). «О третьем наибольшем простом делителе нечетного совершенного числа» (PDF) . Целые числа . 21 . Получено 6 декабря 2021 г. .
  30. ^ Nielsen, Pace P. (2015). "Нечетные совершенные числа, диофантовы уравнения и верхние границы" (PDF) . Mathematics of Computation . 84 (295): 2549–2567. doi : 10.1090/S0025-5718-2015-02941-X . Получено 13 августа 2015 г. .
  31. ^ Nielsen, Pace P. (2007). «Нечетные совершенные числа имеют по крайней мере девять различных простых множителей» (PDF) . Mathematics of Computation . 76 (260): 2109–2126. arXiv : math/0602485 . Bibcode :2007MaCom..76.2109N. doi :10.1090/S0025-5718-07-01990-4. S2CID  2767519 . Получено 30 марта 2011 г. .
  32. ^ ab Zelinsky, Joshua (3 августа 2021 г.). «О полном числе простых множителей нечетного совершенного числа» (PDF) . Целые числа . 21 . Получено 7 августа 2021 г. .
  33. ^ Чен, Юн-Гао; Тан, Цуй-Э (2014). «Улучшенные верхние границы для нечетных мультисовершенных чисел». Бюллетень Австралийского математического общества . 89 (3): 353–359. doi : 10.1017/S0004972713000488 .
  34. ^ Nielsen, Pace P. (2003). «Верхняя граница для нечетных совершенных чисел». Целые числа . 3 : A14–A22 . Получено 23 марта 2021 г.
  35. ^ Охем, Паскаль; Рао, Микаэль (2014). «О числе простых множителей нечетного совершенного числа». Математика вычислений . 83 (289): 2435–2439. doi : 10.1090/S0025-5718-2013-02776-7 .
  36. ^ Грэм Клейтон, Коди Хансен (2023). «О неравенствах, включающих подсчеты простых множителей нечетного совершенного числа» (PDF) . Целые числа . 23 . arXiv : 2303.11974 . Получено 29 ноября 2023 г. .
  37. ^ Pomerance, Carl; Luca, Florian (2010). «О радикале совершенного числа». New York Journal of Mathematics . 16 : 23–30 . Получено 7 декабря 2018 г.
  38. ^ Коэн, Грэм (1978). «О нечетных совершенных числах». Fibonacci Quarterly . 16 (6): 523-527. doi :10.1080/00150517.1978.12430277.
  39. ^ Сурьянараяна, Д. (1963). «О нечетных совершенных числах II». Труды Американского математического общества . 14 (6): 896–904. doi :10.1090/S0002-9939-1963-0155786-8.
  40. ^ Макдэниел, Уэйн Л. (1970). «Несуществование нечетных совершенных чисел определенной формы». Archiv der Mathematik . 21 (1): 52–53. doi :10.1007/BF01220877. ISSN  1420-8938. MR  0258723. S2CID  121251041.
  41. ^ abc Fletcher, S. Adam; Nielsen, Pace P.; Ochem, Pascal (2012). "Методы решета для нечетных совершенных чисел" (PDF) . Mathematics of Computation . 81 (279): 1753–1776. doi : 10.1090/S0025-5718-2011-02576-7 . ISSN  0025-5718. MR  2904601.
  42. ^ Коэн, Г. Л. (1987). «О наибольшем компоненте нечетного совершенного числа». Журнал Австралийского математического общества, Серия A. 42 ( 2): 280–286. doi : 10.1017/S1446788700028251 . ISSN  1446-8107. MR  0869751.
  43. ^ Канольд, Ханс-Иоахим [на немецком языке] (1950). «Satze uber Kreisteilungspolynome und ihre Anwendungen auf einige zahlenteoretisehe Issuee. II». Журнал для королевы и математики . 188 (1): 129–146. дои : 10.1515/crll.1950.188.129. ISSN  1435-5345. MR  0044579. S2CID  122452828.
  44. ^ ab Cohen, GL; Williams, RJ (1985). «Расширения некоторых результатов, касающихся нечетных совершенных чисел» (PDF) . Fibonacci Quarterly . 23 (1): 70–76. doi :10.1080/00150517.1985.12429857. ISSN  0015-0517. MR  0786364.
  45. ^ Хагис, Питер младший; Макдэниел, Уэйн Л. (1972). «Новый результат, касающийся структуры нечетных совершенных чисел». Труды Американского математического общества . 32 (1): 13–15. doi : 10.1090/S0002-9939-1972-0292740-5 . ISSN  1088-6826. MR  0292740.
  46. ^ Макдэниел, Уэйн Л.; Хагис, Питер младший (1975). «Некоторые результаты, касающиеся несуществования нечетных совершенных чисел вида p α M 2 β {\displaystyle p^{\alpha }M^{2\beta }} » (PDF) . Fibonacci Quarterly . 13 (1): 25–28. doi :10.1080/00150517.1975.12430680. ISSN  0015-0517. MR  0354538.
  47. ^ Ямада, Томохиро (2019). «Новая верхняя граница для нечетных совершенных чисел специального вида». Colloquium Mathematicum . 156 (1): 15–21. arXiv : 1706.09341 . doi : 10.4064/cm7339-3-2018. ISSN  1730-6302. S2CID  119175632.
  48. ^ Сборник математических статей Джеймса Джозефа Сильвестра с. 590, тр. из «Sur les nombres dits de Hamilton», Compte Rendu de l'Association Française (Тулуза, 1887), стр. 164–168.
  49. ^ Маковски, А. (1962). «Замечание о совершенных числах». Elem. Math. 17 (5): 109.
  50. ^ Галлардо, Луис Х. (2010). «О замечании Маковски о совершенных числах». Elem. Math. 65 (3): 121–126. doi : 10.4171/EM/149 . .
  51. ^ Ян, Сонг И. (2012), Вычислительная теория чисел и современная криптография, John Wiley & Sons, Раздел 2.3, Упражнение 2(6), ISBN 9781118188613.
  52. ^ Джонс, Крис; Лорд, Ник (1999). «Характеристика нетрапециевидных чисел». The Mathematical Gazette . 83 (497). The Mathematical Association: 262–263. doi :10.2307/3619053. JSTOR  3619053. S2CID  125545112.
  53. ^ Хорнфек, Б. (1955). «Zur Dichte der Menge der vollkommenen zahlen». Арх. Математика . 6 (6): 442–443. дои : 10.1007/BF01901120. S2CID  122525522.
  54. ^ Канольд, HJ (1956). «Eine Bemerkung ¨uber die Menge der vollkommenen zahlen». Математика. Энн . 131 (4): 390–392. дои : 10.1007/BF01350108. S2CID  122353640.
  55. ^ Х. Новарезе. Примечание sur les nombres parfaits Texeira J. VIII (1886), 11–16.
  56. ^ Диксон, Л. Э. (1919). История теории чисел, т. I. Вашингтон: Институт Карнеги в Вашингтоне. стр. 25.
  57. ^ Редмонд, Дон (1996). Теория чисел: Введение в чистую и прикладную математику. Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. Т. 201. CRC Press. Задача 7.4.11, стр. 428. ISBN 9780824796969..

Источники

  • Евклид, «Начала» , книга IX, предложение 36. Перевод и обсуждение этого предложения и его доказательства см. на веб-сайте Д. Э. Джойса.
  • Канольд, Х.-Дж. (1941). «Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen». Журнал для королевы и математики . 1941 (183): 98–109. дои : 10.1515/crll.1941.183.98. S2CID  115983363.
  • Стойервальд, Р. «Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl». С.-Б. Байер. Акад. Висс . 1937 : 69–72.

Дальнейшее чтение

  • Нанкар, М.Л.: «История совершенных чисел», Ганита Бхарати 1, вып. 1–2 (1979), 7–8.
  • Хагис, П. (1973). «Нижняя граница для множества нечетных совершенных простых чисел». Математика вычислений . 27 (124): 951–953. doi : 10.2307/2005530 . JSTOR  2005530.
  • Риле, Х. Дж. Дж. «Совершенные числа и аликвотные последовательности» в книге Х. В. Ленстра и Р. Тиджеман (ред.): Вычислительные методы в теории чисел , т. 154, Амстердам, 1982, стр. 141–157.
  • Ризель, Х. Простые числа и компьютерные методы факторизации , Биркхаузер, 1985.
  • Шандор, Йожеф; Крстичи, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. стр. 15–98. ISBN 1-4020-2546-7. Збл  1079.11001.
  • «Совершенное число», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Дэвид Моус: Идеальные, дружелюбные и общительные числа
  • Совершенные числа – История и теория
  • Вайсштейн, Эрик В. «Совершенное число». MathWorld .
  • Последовательность OEIS A000396 (Совершенные числа)
  • OddPerfect.org Проект распределенных вычислений для поиска нечетных совершенных чисел.
  • Отличный интернет-поиск простых чисел Мерсенна (GIMPS)
  • Perfect Numbers, математический форум в Drexel.
  • Граймс, Джеймс. "8128: Идеальные числа". Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 2013-05-31 . Получено 2013-04-02 .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Perfect_number&oldid=1252474036"