Общительный номер

В математике общительные числа — это числа, аликвотные суммы которых образуют периодическую последовательность . Они являются обобщениями понятий совершенных чисел и дружественных чисел . Первые две общительные последовательности, или общительные цепи, были открыты и названы бельгийским математиком Полем Пуле в 1918 году. ^[1] В общительной последовательности каждое число является суммой собственных делителей предыдущего числа, т. е. сумма исключает само предыдущее число. Чтобы последовательность была общительной, она должна быть циклической и возвращаться в свою начальную точку.

Период последовательности, или порядок набора общительных чисел, — это количество чисел в этом цикле .

Если период последовательности равен 1, то число является общительным числом порядка 1 или совершенным числом — например, собственные делители числа 6 — это 1, 2 и 3, сумма которых снова равна 6. Пара дружественных чисел — это набор общительных чисел порядка 2. Не существует известных общительных чисел порядка 3, и их поиски велись до 1970 года. ^[2]${\displaystyle 5\times 10^{7}}$

Остается открытым вопрос, все ли числа заканчиваются либо общительным числом, либо простым числом (и, следовательно, 1), или, что то же самое, существуют ли числа, аликвотная последовательность которых никогда не заканчивается и, следовательно, растет неограниченно.

Например, число 1 264 460 является общительным числом, циклическая аликвотная последовательность которого имеет период 4:

Сумма собственных делителей ( ) равна${\displaystyle 1264460}$${\displaystyle =2^{2}\cdot 5\cdot 17\cdot 3719}$

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 63223 0 = 1547860,

сумма собственных делителей ( ) равна${\displaystyle 1547860}$${\displaystyle =2^{2}\cdot 5\cdot 193\cdot 401}$

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 77393 0 = 1727636,

сумма собственных делителей ( ) равна${\displaystyle 1727636}$${\displaystyle =2^{2}\cdot 521\cdot 829}$

1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184, и

сумма собственных делителей ( ) равна${\displaystyle 1305184}$${\displaystyle =2^{5}\cdot 40787}$

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460.

Ниже приведены категории всех известных общительных чисел по состоянию на июль 2018 года ^{[обновлять]}по длине соответствующей аликвотной последовательности:

Предполагается , что если n сравнимо с 3 по модулю 4, то такой последовательности с длиной n не существует .

Последовательность из 5 циклов: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264

Единственный известный 28-цикл: 14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716 (последовательность A072890 в OEIS ).

Эти две последовательности содержат единственные общительные числа ниже 1 миллиона (кроме совершенных и дружественных чисел).

Аликвотную последовательность можно представить в виде ориентированного графа , , для заданного целого числа , где обозначает сумму собственных делителей . ^[5] Циклы в представляют общительные числа в интервале . Двумя особыми случаями являются циклы, представляющие совершенные числа , и циклы длины два, представляющие дружественные пары .${\displaystyle G_{н,с}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s(k)}$${\displaystyle к}$${\displaystyle G_{н,с}}$${\displaystyle [1,n]}$

Предполагается, что по мере того, как число циклов общительных чисел длиной более 2 стремится к бесконечности, доля сумм циклов общительных чисел, делящихся на 10, стремится к 1 (последовательность A292217 в OEIS ).

• Х. Коэн, О дружественных и общительных числах, Math. Comp. 24 (1970), стр. 423–429

• Список известных общительных номеров
• Обширные таблицы совершенных, дружественных и общительных чисел
• Вайсштейн, Эрик В. «Общительные числа». MathWorld .
• A003416 (наименьшее общительное число из каждого цикла) и A122726 (все общительные числа) в OEIS