Число Гренвилля

В математике , в частности в теории чисел , числа Гренвиля , также известные как -совершенные числа, являются расширением совершенных чисел . ${\mathcal {S}}$

Набор «Гранвиль»

В 1996 году Эндрю Грэнвилл предложил следующую конструкцию множества : [ ^1] ${\mathcal {S}}$

Пусть , и для любого целого числа, большего 1, пусть если

1\in {\mathcal {S}}

n

n\in {\mathcal {S}}

\sum _ {d\mid n,\;d<n,\;d\in {\mathcal {S}}}d\leq n.

Число Гранвиля — это элемент , для которого выполняется равенство, то есть является числом Гранвиля, если оно равно сумме своих собственных делителей, которые также входят в . Числа Гранвиля также называются -совершенными числами. ^[2] ${\mathcal {S}}$ $n$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$

Общие свойства

Элементы могут быть $k$ -дефицитными, $k$ -совершенными или $k$ -избыточными. В частности, 2-совершенные числа являются собственным подмножеством . ^[1] ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$

S-дефицитные числа

Числа, которые удовлетворяют строгой форме неравенства в приведенном выше определении, называются -дефицитными числами. То есть, -дефицитные числа — это натуральные числа, для которых сумма их делителей строго меньше их самих: ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$

\sum _{d\mid {n},\;d<n,\;d\in {\mathcal {S}}}d<{n}

S-совершенные числа

Числа, которые удовлетворяют равенству в приведенном выше определении, известны как -совершенные числа. ^[1] То есть, -совершенные числа — это натуральные числа, которые равны сумме своих делителей в . Первые несколько -совершенных чисел: ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$

6, 24, 28, 96, 126, 224, 384, 496, 1536, 1792, 6144, 8128, 14336, ... (последовательность A118372 в OEIS )

Каждое совершенное число также является -совершенным. ^[1] Однако существуют числа, такие как 24, которые являются -совершенными, но не совершенными. Единственное известное -совершенное число с тремя различными простыми множителями — это 126 = 2 · 3 ² · 7. ^[2] ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$

Каждое число вида 2^(n - 1) * (2^n - 1) * (2^n)^m, где m >= 0, где 2^n - 1 - простое число, является числом Гранвиля. Таким образом, существует бесконечно много чисел Гранвиля, и бесконечное семейство имеет 2 простых множителя - 2 и простое число Мерсенна. Другие включают 126, 5540590, 9078520, 22528935, 56918394 и 246650552, имеющие 3, 5, 5, 5, 5 и 5 простых множителей.

S-обильные числа

Числа, которые нарушают неравенство в приведенном выше определении, называются -избыточными числами. То есть, -избыточные числа - это натуральные числа, для которых сумма их делителей строго больше их самих: ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$

\sum _{d\mid {n},\;d<n,\;d\in {\mathcal {S}}}d>{n}

Они принадлежат к дополнению . Первые несколько -обильные числа: ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$

12, 18, 20, 30, 42, 48, 56, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 102, 104, ... (последовательность A181487 в OEIS )

Примеры

Каждое недостаточное число и каждое совершенное число находится в , потому что ограничение суммы делителей до членов либо уменьшает сумму делителей, либо оставляет ее неизменной. Первое натуральное число, которое не находится в , является наименьшим избыточным числом , которое равно 12. Следующие два избыточных числа, 18 и 20, также не находятся в . Однако четвертое избыточное число, 24, находится в , потому что сумма его собственных делителей в равна: ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$

1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 = 24

Другими словами, 24 является избыточным, но не -изобильным, потому что 12 не входит в . Фактически, 24 является -совершенным - это наименьшее число, которое является -совершенным, но не совершенным. ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$

Наименьшее нечетное избыточное число, которое входит в число, — это 2835, а наименьшая пара последовательных чисел, которые не входят в число, — это 5984 и 5985. ^[1] ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$

Ссылки

^ abcde Де Конинк Дж. М., Ивич А. (1996). «О задаче о сумме делителей» (PDF) . Публикации Математического института . 64 (78): 9–20 . Проверено 27 марта 2011 г.
^ ab de Koninck, Jean-Marie (2008). Эти очаровательные числа . Перевод de Koninck, JM Providence, RI: American Mathematical Society . стр. 40. ISBN 978-0-8218-4807-4. MR 2532459. OCLC 317778112.

[De_Koninck_(1998)-1] Де Конинк Дж. М., Ивич А. (1996). «О задаче о сумме делителей» (PDF) . Публикации Математического института . 64 (78): 9–20 . Проверено 27 марта 2011 г.

[De_Koninck_2009-2] Koninck, Jean-Marie (2008). Эти очаровательные числа . Перевод de Koninck, JM Providence, RI: American Mathematical Society . стр. 40. ISBN 978-0-8218-4807-4. MR 2532459. OCLC 317778112.