Недостающее число

В теории чисел дефицитное число или дефектное число — это положительное целое число n , для которого сумма делителей n меньше 2 n . Эквивалентно, это число, для которого сумма собственных делителей (или аликвотная сумма ) меньше n . Например, собственными делителями числа 8 являются 1, 2 и 4 , и их сумма меньше 8, поэтому 8 является дефицитным.

Обозначая через σ ( n ) сумму делителей, величина 2 n – σ ( n ) называется дефицитом числа . В терминах аликвотной суммы s ( n ) дефицит равен n – s ( n ) .

Первые несколько недостающих чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ... (последовательность A005100 в OEIS )

В качестве примера рассмотрим число 21. Его делители — 1, 3, 7 и 21, а их сумма равна 32. Поскольку 32 меньше 42, число 21 является недостаточным. Его недостача составляет 2 × 21 − 32 = 10.

Поскольку аликвотные суммы простых чисел равны 1, все простые числа являются дефицитными. ^[1] В более общем смысле, все нечетные числа с одним или двумя различными простыми множителями являются дефицитными. Из этого следует, что существует бесконечно много нечетных дефицитных чисел. Существует также бесконечное количество четных дефицитных чисел, поскольку все степени двойки имеют сумму ( 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2 ^{x -1} = 2 ^x - 1 ).

В более общем смысле, все степени простых чисел являются неполными, поскольку их единственными собственными делителями являются те, сумма которых составляет , что не превышает . ^[2]${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle 1,p,p^{2},\точки ,p^{k-1}}$${\displaystyle {\frac {p^{k}-1}{p-1}}}$${\displaystyle p^{k}-1}$

Все собственные делители неполных чисел являются неполными. ^[3] Более того, все собственные делители совершенных чисел являются неполными. ^[4]

Для всех достаточно больших n существует по крайней мере одно недостаточное число в интервале . ^[5]${\displaystyle [n,n+(\log n)^{2}]}$

С дефицитными числами тесно связаны совершенные числа с σ ( n ) = 2n и избыточные числа с σ ( n ) > 2n .

Никомах был первым, кто подразделил числа на недостаточные, совершенные и избыточные, в своем «Введении в арифметику» (около 100 г. н. э.). Однако он применил эту классификацию только к четным числам . ^[6]

• Почти идеальное число
• Дружественный номер
• Общительный номер
• Сверхизбыточное число

• Диксон, Леонард Юджин (1919). История теории чисел, т. I: Делимость и первичность. Институт Карнеги в Вашингтоне.
• Прилипп, Роберт В. (1970). «Совершенные числа, избыточные числа и недостаточные числа». Учитель математики . 63 (8): 692–696. doi :10.5951/MT.63.8.0692. JSTOR  27958492.
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9. Збл  1151.11300.

• Главный глоссарий: Недостаточное число
• Вайсштейн, Эрик В. «Недостаточное число». Математический мир .
• недостающее число в PlanetMath .