Полусовершенное число

Полусовершенное число

Демонстрация совершенства числа 6 с помощью палочек Кюизенера .
Общее количество терминов	бесконечность
Первые термины	6 , 12 , 18 , 20 , 24 , 28 , 30
Индекс OEIS	А005835 Псевдосовершенные (или полусовершенные) числа

В теории чисел полусовершенное число или псевдосовершенное число — это натуральное число n , равное сумме всех или некоторых своих собственных делителей . Полусовершенное число, равное сумме всех своих собственных делителей, является совершенным числом .

Первые несколько полусовершенных чисел: 6 , 12 , 18 , 20 , 24 , 28 , 30 , 36 , 40 , ... (последовательность A005835 в OEIS )

• Каждое кратное полусовершенного числа является полусовершенным. ^[1] Полусовершенное число, которое не делится ни на какое меньшее полусовершенное число, называется примитивным .
• Каждое число вида 2m ^p для натурального числа m и нечетного простого числа p такого, что p < 2m ^{+1 ,} также является полусовершенным.
  • В частности, каждое число вида 2 ^m (2 ^{m +1}  − 1) является полусовершенным и действительно совершенным, если 2 ^{m +1}  − 1 является простым числом Мерсенна .
• Наименьшее нечетное полусовершенное число — 945 (см., например, Фридман 1993).
• Полусовершенное число обязательно является либо совершенным, либо избыточным . Изобильное число, которое не является полусовершенным, называется странным числом .
• За исключением 2, все первичные псевдосовершенные числа являются полусовершенными.
• Каждое практическое число , не являющееся степенью двойки, является полусовершенным.
• Существует естественная плотность множества полусовершенных чисел. [ ^2]

Примитивное полусовершенное число (также называемое примитивным псевдосовершенным числом , неприводимым полусовершенным числом или неприводимым псевдосовершенным числом ) — это полусовершенное число, которое не имеет полусовершенного собственного делителя. ^[2]

Первые несколько примитивных полусовершенных чисел — это 6 , 20 , 28 , 88 , 104 , 272, 304, 350, ... (последовательность A006036 в OEIS ).

Существует бесконечно много таких чисел. Все числа вида 2 ^m p , где p — простое число между 2 ^m и 2 ^{m +1} , являются примитивными полусовершенными, но это не единственная форма: например, 770. ^{[1] [2]} Существует бесконечно много нечетных примитивных полусовершенных чисел, наименьшее из которых — 945, результат Пола Эрдёша : ^[2] существует также бесконечно много примитивных полусовершенных чисел, которые не являются числами-делителями гармоник . ^[1]

Каждое полусовершенное число является кратным примитивному полусовершенному числу.

• Полусовершенное число
• Число Эрдёша–Николя

• Фридман, Чарльз Н. (1993). «Суммы делителей и египетские дроби». Журнал теории чисел . 44 (3): 328– 339. doi : 10.1006/jnth.1993.1057 . MR  1233293. Zbl  0781.11015.
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Springer-Verlag . ISBN 0-387-20860-7. OCLC  54611248. Збл  1058.11001.Раздел Б2.
• Серпинский, Вацлав (1965). «Sur les nombres pseudoparfaits». Мат. Весн . Новая серия (на французском языке). 2 (17): 212–213 . МР  0199147. Збл  0161.04402.
• Захариу, Андреас; Захариу, Элени (1972). «Совершенные, полусовершенные и числа Оре». Бык. Соц. Математика. Греция . Новая серия. 13 : 12–22 . МР  0360455. Збл  0266.10012.

• Вайсштейн, Эрик В. «Псевдосовершенное число». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Примитивное полусовершенное число". MathWorld .