Умножить совершенное число

Число, делители которого в сумме дают кратное этому числу

В математике кратно совершенное число ( также называемое мультисовершенным числом или плюсквамперфектным числом ) является обобщением совершенного числа .

Для данного натурального числа k число n называется k -совершенным (или k -кратно совершенным), если сумма всех положительных делителей n ( функция делителей , σ ( n )) равна kn ; таким образом, число является совершенным тогда и только тогда, когда оно является 2-совершенным . Число, которое является k -совершенным для определенного k, называется кратно совершенным числом. По состоянию на 2014 год известны k -совершенные числа для каждого значения k до 11. ^[1]

Неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные кратно совершенные числа, отличные от 1. Первые несколько кратно совершенных чисел:

1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, 33550336, 45532800, 142990848, 459818240, ... (последовательность A007691 в OEIS ).

Пример

Сумма делителей числа 120 равна

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360.

что равно 3 × 120. Следовательно, 120 — это 3-совершенное число.

Наименьший известныйк-совершенные числа

В следующей таблице представлен обзор наименьших известных k -совершенных чисел для k ≤ 11 (последовательность A007539 в OEIS ):

к	Наименьшее k -совершенное число	Факторы	Найдено
1	1		древний
2	6	2 × 3	древний
3	120	2 ³ × 3 × 5	древний
4	30240	2 ⁵ × 3 ³ × 5 × 7	Рене Декарт , около 1638 г.
5	14182439040	2 ⁷ × 3 ⁴ × 5 × 7 × 11 ² × 17 × 19	Рене Декарт, около 1638 г.
6	154345556085770649600 (21 цифра)	2 ¹⁵ × 3 ⁵ × 5 ² × 7 ² × 11 × 13 × 17 × 19 × 31 × 43 × 257	Роберт Дэниел Кармайкл , 1907 г.
7	141310897947438348259849...523264343544818565120000 (57 цифр)	2 ³² × 3 ¹¹ × 5 ⁴ × 7 ⁵ × 11 ² × 13 ² × 17 × 19 ³ × 23 × 31 × 37 × 43 × 61 × 71 × 73 × 89 × 181 × 2141 × 599479	Т. Э. Мейсон, 1911 г.
8	826809968707776137289924...057256213348352000000000 (133 цифры)	2 ⁶² × 3 ¹⁵ × 5 ⁹ × 7 ⁷ × 11 ³ × 13 ³ × 17 ² × 19 × 23 × 29 × 31 ² × 37 × 41 × 43 × 53 × 61 ² × 71 ² × 73 × 83 × 89 × 97 ² × 127 × 193 × 283 × 307 × 317 × 331 × 337 × 487 × 521 ² × 601 × 1201 × 1279 × 2557 × 3169 × 5113 × 92737 × 649657	Стивен Ф. Греттон, 1990 ^[1]
9	561308081837371589999987...415685343739904000000000 (287 цифр)	2 ¹⁰⁴ × 3 ⁴³ × 5 ⁹ × 7 ¹² × 11 ⁶ × 13 ⁴ × 17 × 19 ⁴ × 23 ² × 29 × 31 ⁴ × 37 ³ × 41 ² × 43 ² × 47 ² × 53 × 59 × 61 × 67 × 71 ³ × 73 × 79 ² × 83 × 89 × 97 × 103 ² × 107 × 127 × 131 ² × 137 ² × 151 ² × 191 × 211 × 241 × 331 × 337 × 431 × 521 × 547 × 631 × 661 × 683 × 709 × 911 × 1093 × 1301 × 1723 × 2521 × 3067 × 3571 × 3851 × 5501 × 6829 × 6911 × 8647 × 17293 × 17351 × 29191 × 30941 × 45319 × 106681 × 110563 × 122921 × 152041 × 570461 × 16148168401	Фред Хелениус, 1995 ^[1]
10	448565429898310924320164...00000000000000000000000000 (639 цифр)	2 ¹⁷⁵ × 3 ⁶⁹ × 5 ²⁹ × 7 ¹⁸ × 11 ¹⁹ × 13 ⁸ × 17 ⁹ × 19 ⁷ × 23 ⁹ × 29 ³ × 31 ⁸ × 37 ² × 41 ⁴ × 43 ⁴ × 47 ⁴ × 53 ³ × 59 × 61 ⁵ × 67 ⁴ × 71 ⁴ × 73 ² × 79 × 83 × 89 × 97 × 101 ³ × 103 ² × 107 ² × 109 × 113 × 127 ² × 131 ² × 139 × 149 × 151 × 163 × 179 × 181 ² × 191 × 197 × 199 × 211 ³ × 223 × 239 × 257 × 271 × 281 × 307 × 331 × 337 × 353 ² × 367 × 373 × 397 × 419 × 421 × 521 × 523 × 547 ² × 613 × 683 × 761 × 827 × 971 × 991 × 1093 × 1741 × 1801 × 2113 × 2221 × 2237 × 2437 × 2551 × 2851 × 3221 × 3571 × 3637 × 3833 × 4339 × 5101 × 5419 × 6577 × 6709 × 7621 × 7699 × 8 269 × 8647 × 11093 × 13421 × 13441 × 14621 × 17293 × 26417 × 26881 × 31723 × 44371 × 81343 × 88741 × 114577 × 160967 × 189799 × 229153 × 292561 × 579281 × 581173 × 583367 × 1609669 × 3500201 × 119782433 × 2 12601841 × 2664097031 × 2931542417 × 43872038849 × 374857981681 × 4534166740403	Джордж Уолтман , 2013 ^[1]
11	251850413483992918774837...00000000000000000000000000 (1907 цифр)	2 ⁴⁶⁸ × 3 ¹⁴⁰ × 5 ⁶⁶ × 7 ⁴⁹ × 11 ⁴⁰ × 13 ³¹ × 17 ¹¹ × 19 ¹² × 23 ⁹ × 29 ⁷ × 31 ¹¹ × 37 ⁸ × 41 ⁵ × 43 ³ × 47 ³ × 53 ⁴ × 59 ³ × 61 ² × 67 ⁴ × 71 ⁴ × 73 ³ × 79 × 83 ² × 89 × 97 ⁴ × 101 ⁴ × 103 ³ × 109 ³ × 113 ² × 127 ³ × 131 ³ × 137 ^{2 × 139}² × 149 2 ^× 151 × 157 ² × 163 × 167 × 173 × 181 × 191 × 193 ² × 197 × 199 × 211 ³ × 223 × 227 × 229 ² × 239 × 251 × 257 × 263 × 269 ³ × 271 × 281 ² × 293 × 307 ³ × 313 × 317 × 331 × 347 × 349 × 367 × 373 × 397 × 401 × 419 × 421 × 431 × 443 ² × 449 × 457 × 461 × 467 × 491 × 499 ²× 541 × 547 × 569 × 571 × 599 × 607 × 613 × 647 × 691 × 701 × 719 × 727 × 761 × 827 × 853 × 937 × 967 × 991 × 997 × 1013 × 1061 × 1087 × 1171 × 12 13 × 1223 × 1231 × 1279 × 1381 × 1399 × 1433 × 1609 × 1613 × 1619 × 1723 × 1741 × 1783 × 1873 × 1933 × 1979 × 2081 × 2089 × 2221 × 2357 × 2551 × 2657 × 2671 × 2749 × 2791 × 2801 × 2803 × 3331 × 3433 × 40 51 × 4177 × 4231 × 5581 × 5653 × 5839 × 6661 × 7237 × 7699 × 8081 × 8101 × 8269 × 8581 × 8941 × 10501 × 11833 × 12583 × 12941 × 13441 × 14281 × 15053 × 17929 × 19181 × 20809 × 21997 × 23063 × 23971 × 26399 × 26881 × 27061 × 28099 × 29251 × 32051 × 32059 × 32323 × 33347 × 33637 × 36373 × 38197 × 41617 × 51853 × 62011 × 67927 × 73547 × 77081 × 83233 × 92251 × 93253 × 124021 × 133387 × 141311 × 175433 × 248041 × 256471 × 2623 21 × 292561 × 338753 × 353641 × 441281 × 449653 × 509221 × 511801 × 540079 × 639083 × 696607 × 746023 × 922561 × 1095551 × 1401943 × 1412753 × 1428127 × 1984327 × 2556331 × 5112661 × 5714803 × 7450297 × 8334721 × 10715147 × 14091139 × 14092193 × 18739907 × 19270249 × 29866451 × 96656723 × 133338869 × 193707721 × 283763713 × 407865361 × 700116563 × 795217607 × 3035864933 × 3336809191 × 35061928679 × 143881112839 × 161969595577 × 2 87762225677 × 761838257287 × 840139875599 × 2031161085853 × 2454335007529 × 2765759031089 × 31280679788951 × 75364676329903 × 901563572369231 × 2169378653672701 × 4764764439424783 × 70321958644800017 × 79787519018560501 × 702022478271339803 × 1839633098314450447 × 165301473942399079669 × 604088623657497125653141 × 160014034995323841360748039 × 25922273669242462300441182317 × 15428152323948966909689390436420781 × 4203912947972759518621323 67930818883361 × 23735410086474640244277823338130677687887 × 628683935022908831926019116410056880219316806841500141982334538232031397827230330241	Джордж Уолтман, 2001 ^[1]

Характеристики

Можно доказать , что:

Для заданного простого числа p , если n является p -совершенным и p не делит n , то pn является ( p + 1)-совершенным . Это означает, что целое число n является 3-совершенным числом, делящимся на 2, но не на 4, тогда и только тогда, когда n /2 является нечетным совершенным числом , ни одно из которых неизвестно.
Если 3 n является 4 k -совершенным и 3 не делит n , то n является 3 k -совершенным .

Нечетное умножение совершенных чисел

Неизвестно, существуют ли нечетные кратно совершенные числа, отличные от 1. Однако если существует нечетное k -совершенное число n , где k > 2, то оно должно удовлетворять следующим условиям: ^[2]

Наибольший простой множитель ≥ 100129
Второй по величине простой множитель ≥ 1009
Третий по величине простой множитель ≥ 101

Границы

В нотации с маленькой буквой «о» число кратно совершенных чисел, меньших x , равно для всех ε > 0. ^[2] $o(x^{\varepsilon})$

Число k -совершенных чисел n для n ≤ x меньше, чем , где c и c' — константы, не зависящие от k . ^[2] $cx^{c'\log \log \log x/\log \log x}$

При предположении гипотезы Римана для всех k -совершенных чисел n , где k > 3, справедливо следующее неравенство :

\log \log n>k\cdot e^{-\gamma }

где — постоянная Эйлера . Это можно доказать с помощью теоремы Робина . $\гамма$

Число делителей τ( n ) k -совершенного числа n удовлетворяет неравенству ^[3]

\tau (n)>e^{k-\gamma }.

Число различных простых множителей ω( n ) числа n удовлетворяет ^[4]

\omega (n)\geq k^{2}-1.

Если различные простые множители числа n равны , то: ^[4] $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}$

r\left({\sqrt[{r}]{3/2}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{6/k^{2}}}\right),~~{\text{если }}n{\text{ четно}}

r\left({\sqrt[{3r}]{k^{2}}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{8/(k\pi ^{2})}}\right),~~{\text{если }}n{\text{ нечетно}}

Конкретные значенияк

Идеальные числа

Число n с σ( n ) = 2 n является совершенным .

Триперфектные числа

Число n с σ( n ) = 3 n является триперфектным . Существует всего шесть известных триперфектных чисел, и считается, что они включают в себя все такие числа:

120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160 (последовательность A005820 в OEIS )

Если существует нечетное совершенное число m (знаменитая открытая проблема ), то 2 m будет 3-совершенным , поскольку σ(2 m ) = σ(2) σ( m ) = 3×2 m . Нечетное триперфектное число должно быть квадратом, превышающим 10 ⁷⁰ , и иметь не менее 12 различных простых множителей, наибольший из которых превышает 10 ⁵ . ^[5]

Вариации

Унитарное произведение совершенных чисел

Аналогичное расширение можно сделать для унитарных совершенных чисел . Положительное целое число n называется унитарным мульти k - совершенным числом , если σ ^* ( n ) = kn , где σ ^* ( n ) - сумма его унитарных делителей . (Делитель d числа n является унитарным делителем, если d и n/d не имеют общих множителей .).

Унитарное кратно совершенное число — это просто унитарное мульти k -совершенное число для некоторого положительного целого числа k . Эквивалентно, унитарные кратно совершенные числа — это те n , для которых n делит σ ^* ( n ). Унитарное мульти 2-совершенное число естественным образом называется унитарным совершенным числом . В случае k > 2 пока не известно ни одного примера унитарного мульти k -совершенного числа. Известно, что если такое число существует, оно должно быть четным и больше 10 ¹⁰² и должно иметь более сорока четырех нечетных простых множителей. Эту проблему, вероятно, очень трудно решить. Концепция унитарного делителя первоначально была предложена Р. Вайдьянатхасвами (1931), который назвал такой делитель блочным множителем. Настоящая терминология принадлежит Э. Коэну (1960).

Первые несколько унитарных кратно совершенных чисел:

1, 6, 60, 90, 87360 (последовательность A327158 в OEIS )

Биунитарное произведение совершенных чисел

Положительное целое число n называется биунитарным мульти k - совершенным числом , если σ ^** ( n ) = kn , где σ ^** ( n ) - сумма его биунитарных делителей . Эта концепция принадлежит Питеру Хагису (1987). Биунитарное кратно совершенное число - это просто биунитарное мульти k -совершенное число для некоторого положительного целого числа k . Эквивалентно, биунитарные кратно совершенные числа - это те n , для которых n делит σ ^** ( n ). Биунитарное мульти 2-совершенное число естественным образом называется биунитарным совершенным числом , а биунитарное мульти 3-совершенное число называется биунитарным три-совершенным числом .

Делитель d положительного целого числа n называется биунитарным делителем n , если наибольший общий унитарный делитель (НОУД) d и n / d равен 1. Эта концепция принадлежит Д. Суринараяне (1972). Сумма (положительных) биунитарных делителей n обозначается σ ^** ( n ).

Питер Хагис (1987) доказал, что не существует нечетных биунитарных мультисовершенных чисел, отличных от 1. Хаукканен и Ситарамайя (2020) нашли все биунитарные триперфектные числа вида 2 ^a u , где 1 ≤ a ≤ 6 и u нечетно, ^[6]^[7]^[8] и частично случай, когда a = 7. ^[9]^[10] Кроме того, они полностью исправили случай a = 8. ^[11]

Первые несколько биунитарных кратно совершенных чисел:

1, 6, 60, 90, 120, 672, 2160, 10080, 22848, 30240 (последовательность A189000 в OEIS )

Ссылки

^ abcde Фламменкамп, Ахим. "Страница умножения совершенных чисел" . Получено 22 января 2014 г.
^ abc Шандор, Митринович и Крстичи 2006, стр. 105
^ Дагал, Кенет Адриан П. (2013). «Нижняя граница для τ(n) для k-мультисовершенного числа». arXiv : 1309.3527 [math.NT].
^ аб Шандор, Митринович и Крстичи 2006, стр. 106
^ Шандор, Митринович и Крстичи 2006, стр. 108–109.
^ Хаукканен и Ситарамайя, 2020a
^ Хаукканен и Ситарамайя 2020b
^ Хаукканен и Ситарамайя 2020c
^ Хаукканен и Ситарамайя 2020d
^ Хаукканен и Ситарамайя, 2021a
^ Хаукканен и Ситарамайя, 2021b.

Источники

Броган, Кевин А.; Чжоу, Цижи (2008). «Нечетные мультисовершенные числа изобилия 4» (PDF) . Журнал теории чисел . 126 (6): 1566–1575. doi :10.1016/j.jnt.2007.02.001. hdl : 10289/1796 . MR 2419178.
Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag . B2. ISBN 978-0-387-20860-2. Збл 1058.11001.
Хаукканен, Пентти; Ситарамайя, В. (2020a). «Биунитарные мультисовершенные числа, I» (PDF) . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 26 (1): 93–171. doi : 10.7546/nntdm.2020.26.1.93-171 .
Хаукканен, Пентти; Ситарамайя, В. (2020b). «Биунитарные мультисовершенные числа, II» (PDF) . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 26 (2): 1–26. doi : 10.7546/nntdm.2020.26.2.1-26 .
Хаукканен, Пентти; Ситарамайя, В. (2020c). «Биунитарные мультисовершенные числа, III» (PDF) . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 26 (3): 33–67. doi : 10.7546/nntdm.2020.26.3.33-67 .
Хаукканен, Пентти; Ситарамайя, В. (2020d). «Биунитарные мультисовершенные числа, IV(a)» (PDF) . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 26 (4): 2–32. doi : 10.7546/nntdm.2020.26.4.2-32 .
Хаукканен, Пентти; Ситарамайя, В. (2021a). «Биунитарные мультисовершенные числа, IV(b)» (PDF) . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 27 (1): 45–69. doi : 10.7546/nntdm.2021.27.1.45-69 .
Хаукканен, Пентти; Ситарамайя, В. (2021b). «Биунитарные мультисовершенные числа, V» (PDF) . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 27 (2): 20–40. doi : 10.7546/nntdm.2021.27.2.20-40 .
Кишор, Масао (1987). «Нечетные триперфектные числа делятся на двенадцать различных простых множителей». Журнал Австралийского математического общества, Серия A. 42 ( 2): 173–182. doi : 10.1017/s1446788700028184 . ISSN 0263-6115. Zbl 0612.10006.
Лаач, Ричард (1986). «Измерение обилия целых чисел». Mathematics Magazine . 59 (2): 84–92. doi :10.2307/2690424. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690424. MR 0835144. Zbl 0601.10003.
Мерикель, Джеймс Г. (1999). «Делители сумм делителей: 10617». The American Mathematical Monthly . 106 (7): 693. doi :10.2307/2589515. JSTOR 2589515. MR 1543520.
Райан, Ричард Ф. (2003). «Более простое плотное доказательство относительно индекса изобилия». Mathematics Magazine . 76 (4): 299–301. doi :10.1080/0025570X.2003.11953197. JSTOR 3219086. MR 1573698. S2CID 120960379.
Шандор, Йожеф; Крстичи, Борислав, ред. (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. стр. 32–36. ISBN 1-4020-2546-7. Збл 1079.11001.
Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9. Збл 1151.11300.
Сёрли, Рональд М. (2003). Алгоритмы в изучении мультисовершенных и нечетных совершенных чисел (диссертация на соискание ученой степени доктора философии). Сидней: Технологический университет. hdl :10453/20034.
Вайнер, Пол А. (2000). «Коэффициент изобилия, мера совершенства». Mathematics Magazine . 73 (4): 307–310. doi :10.1080/0025570x.2000.11996860. JSTOR 2690980. MR 1573474. S2CID 119773896.

Смотрите также

Полусовершенное число

Внешние ссылки

Страница «Умножение совершенных чисел»
Главный глоссарий: Умножение совершенных чисел
Шесть триперфектных чисел на YouTube

[fl-1] Фламменкамп, Ахим. "Страница умножения совершенных чисел" . Получено 22 января 2014 г.

[HBI105-2] Шандор, Митринович и Крстичи 2006, стр. 105

[3] Дагал, Кенет Адриан П. (2013). «Нижняя граница для τ(n) для k-мультисовершенного числа». arXiv : 1309.3527 [math.NT].

[HBI106-4] аб Шандор, Митринович и Крстичи 2006, стр. 106

[5] Шандор, Митринович и Крстичи 2006, стр. 108–109.

[HS2020a-6] Хаукканен и Ситарамайя, 2020a

[HS2020b-7] Хаукканен и Ситарамайя 2020b

[HS2020c-8] Хаукканен и Ситарамайя 2020c

[HS2020d-9] Хаукканен и Ситарамайя 2020d

[HS2021a-10] Хаукканен и Ситарамайя, 2021a

[HS2021b-11] Хаукканен и Ситарамайя, 2021b.