Пагубное число

В теории чисел пагубное число — это положительное целое число, такое, что вес Хэмминга его двоичного представления является простым , то есть существует простое число единиц, когда оно записано в виде двоичного числа. ^[1]

Первое пагубное число — 3, так как 3 = 11 ₂ и 1 + 1 = 2, что является простым числом. Следующее пагубное число — 5, так как 5 = 101 ₂ , за ним следуют 6 (110 ₂ ), 7 (111 ₂ ) и 9 (1001 ₂ ). ^[2] Последовательность пагубных чисел начинается

Никакая степень двойки не является пагубным числом. Это тривиально верно, потому что степени двойки в двоичной форме представлены как единица, за которой следуют нули. Таким образом, каждая степень двойки имеет вес Хэмминга, равный единице, и единица не считается простым числом . ^[2] С другой стороны, каждое число в форме с , включая каждое число Ферма , является пагубным числом. Это потому, что сумма цифр в двоичной форме равна 2, что является простым числом. ^[2]${\displaystyle 2^{n}+1}$${\displaystyle n>1}$

Число Мерсенна имеет двоичное представление, состоящее из единиц, и является пагубным, когда является простым. Каждое простое число Мерсенна является числом Мерсенна для простого числа , и поэтому является пагубным. По теореме Евклида–Эйлера четные совершенные числа принимают вид для простого числа Мерсенна ; двоичное представление такого числа состоит из простого числа единиц, за которыми следуют нули. Поэтому каждое четное совершенное число является пагубным. ^{[3] [4]}${\displaystyle 2^{n}-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$${\displaystyle 2^{n}-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$

• Одиозные числа — это числа с нечетным количеством единиц в их двоичном представлении ( OEIS : A000069 ).
• Злые числа — это числа с четным количеством единиц в двоичном представлении ( OEIS : A001969 ).