Сверхизбыточное число

В математике сверхизбыточное число — это определенный вид натурального числа . Натуральное число n называется сверхизбыточным именно тогда, когда для всех m < n :

${\displaystyle {\frac {\sigma (м)}{м}}<{\frac {\sigma (н)}{н}}}$

где σ обозначает функцию суммы делителей (т. е. сумму всех положительных делителей числа n , включая само число n ). Первые несколько сверхизбыточных чисел — это 1 , 2 , 4 , 6 , 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 120 , ... (последовательность A004394 в OEIS ). Например, число 5 не является сверхизбыточным числом, потому что для 1, 2, 3, 4 и 5 сигма равна 1, 3, 4, 7, 6 и 7/4 > 6/5 .

Сверхизбыточные числа были определены Леонидасом Алаоглу и Полом Эрдёшем  (1944). Алаоглу и Эрдёш не знали, что около 30 страниц статьи Рамануджана 1915 года «Высокосоставные числа» были скрыты. Эти страницы были в конечном итоге опубликованы в The Ramanujan Journal 1 (1997), 119–153. В разделе 59 этой статьи Рамануджан определяет обобщенные высокосоставные числа , которые включают сверхизбыточные числа.

Леонидас Алаоглу и Пол Эрдёш  (1944) доказали, что если n сверхизбыточно, то существуют k и a ₁ , a ₂ , ..., a _k такие, что

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}(p_{i})^{a_{i}}}$

где p _{i -} i - е простое число, и

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \dotsb \geq a_{k}\geq 1.}$

То есть, они доказали, что если n сверхизбыточно, то разложение n на простые числа имеет невозрастающие показатели (показатель большего простого числа никогда не больше, чем показатель меньшего простого числа) и что все простые числа до являются множителями n . Тогда, в частности, любое сверхизбыточное число является четным целым числом, и оно кратно k -му изначальному числу.${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle p_{k}\#.}$

Фактически, последний показатель степени a _k равен 1, за исключением случаев, когда n равно 4 или 36.

Сверхизбыточные числа тесно связаны с высокосоставными числами . Не все сверхизбыточные числа являются высокосоставными числами. Фактически, только 449 сверхизбыточных и высокосоставных чисел одинаковы (последовательность A166981 в OEIS ). Например, 7560 является высокосоставным, но не сверхсоставным. И наоборот, 1163962800 является сверхизбыточным, но не высокосоставным.

Алаоглу и Эрдёш отметили, что все сверхобильные числа являются чрезвычайно обильными .

Не все сверхизбыточные числа являются числами Харшад . Первое исключение — 105-е сверхизбыточное число, 149602080797769600. Сумма цифр — 81, но 81 не делится нацело на это сверхизбыточное число.

Сверхизбыточные числа также представляют интерес в связи с гипотезой Римана и теоремой Робина о том, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что

${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{e^{\gamma }n\log \log n}}<1}$

для всех n, больших, чем наибольшее известное исключение, сверхизбыточное число 5040. Если это неравенство имеет больший контрпример, доказывающий ложность гипотезы Римана, наименьшим таким контрпримером должно быть сверхизбыточное число (Akbary & Friggstad 2009).

Не все сверхизбыточные числа колоссально изобильны .

Обобщенные -суперизбыточные числа - это такие числа, что для${\displaystyle к}$ всех , где - сумма -х степеней делителей числа .${\displaystyle {\frac {\sigma _{k}(m)}{m^{k}}}<{\frac {\sigma _{k}(n)}{n^{k}}}}$${\displaystyle м<н}$${\displaystyle \сигма _{k}(n)}$${\displaystyle к}$${\displaystyle n}$

1-сверхизбыточные числа являются сверхизбыточными числами. 0-сверхизбыточные числа являются в высшей степени составными числами.

Например, обобщенные 2-суперизбыточные числа — это 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, ... (последовательность A208767 в OEIS ).

• Бриггс, Кит (2006), «Обильные числа и гипотеза Римана», Experimental Mathematics , 15 (2): 251–256, doi :10.1080/10586458.2006.10128957, S2CID  46047029.
• Акбари, Амир; Фриггстад, Закари (2009), «Сверхизбыточные числа и гипотеза Римана», American Mathematical Monthly , 116 (3): 273–275, doi :10.4169/193009709X470128.
• Алаоглу, Леонидас ; Эрдёш, Пол (1944), «О высоко составных и подобных числах», Труды Американского математического общества , 56 (3), Американское математическое общество: 448–469, doi : 10.2307/1990319, JSTOR  1990319.

• MathWorld: Сверхизбыточное число