Гиперсовершенное число

В теории чисел k -гиперсовершенное число — это натуральное число n , для которого выполняется равенство , где σ ( n ) — функция делителей (т. е. сумма всех положительных делителей n ). Гиперсовершенное число — это k -гиперсовершенное число для некоторого целого числа k . Гиперсовершенные числа обобщают совершенные числа , которые являются 1-гиперсовершенными. ^[1]${\displaystyle n=1+k(\сигма (n)-n-1)}$

Первые несколько чисел в последовательности k -гиперсовершенных чисел - это 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, ... (последовательность A034897 в OEIS ), с соответствующими значениями k - 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (последовательность A034898 в OEIS ). Первые несколько k -гиперсовершенных чисел, которые не являются совершенными, - это 21, 301, 325, 697, 1333, ... (последовательность A007592 в OEIS ).

В следующей таблице перечислены первые несколько k -гиперсовершенных чисел для некоторых значений k , а также порядковый номер в Онлайновой энциклопедии целочисленных последовательностей (OEIS) последовательности k -гиперсовершенных чисел:

Можно показать, что если k > 1 — нечётное целое число , а и — простые числа , то ⁠ ⁠ является k -гиперсовершенным; Джадсон С. МакКрейни в 2000 году предположил, что все k -гиперсовершенные числа для нечётного k > 1 имеют такую ​​форму, но эта гипотеза до сих пор не доказана. Более того, можно доказать, что если p ≠ q — нечётные простые числа, а k — целое число, такое, что тогда pq является k -гиперсовершенным.${\displaystyle p={\tfrac {3k+1}{2}}}$${\displaystyle q=3k+4}$${\displaystyle p^{2}q}$${\displaystyle k(p+q)=pq-1,}$

Также можно показать, что если k > 0 и является простым числом, то для всех i > 1, таких что является простым числом, является k -гиперсовершенным. В следующей таблице перечислены известные значения k и соответствующие значения i , для которых n является k -гиперсовершенным:${\displaystyle p=k+1}$${\displaystyle q=p^{i}-p+1}$${\displaystyle n=p^{i-1}q}$

Существуют некоторые четные числа, которые являются гиперсовершенными для нечетных множителей, то есть k * (сумма нечетных множителей, кроме 1 и самого себя) + 1 = число. Например, первые 5 чисел включают 1300, 271872, 304640, 953344 и 1027584 для k = 3, 349, 353, 837 и 353. Все нечетные гиперсовершенные числа являются гиперсовершенными числами для нечетных множителей, поскольку у них есть только нечетные множители и нет четных множителей.

1300 имеет множители = 1, 2, 4, 5, 10, 13, 20, 25, 26, 50, 52, 65, 100, 130, 260, 325, 650, 1300

Имеет нечетные множители, кроме 1 и самого себя = 5, 13, 25, 65, 325

Сумма нечетных множителей, за исключением 1 и самого себя = 5 + 13 + 25 + 65 + 325 = 433

1300 - 1 = 1299 и 1299/433 = 3, целое число ^{[ требуется ссылка ] [ требуется пояснение ]}

В этом разделе не указаны источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены . ( Октябрь 2024 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Недавно введенное математическое понятие гипердефицита связано с гиперсовершенными числами .

Определение (Minoli 2010): Для любого целого числа n и для целого числа k > 0 определим k -гипердефицит (или просто гипердефицит) для числа n как

$${\displaystyle \delta _{k}(n)=n(k+1)+(k-1)-k\сигма (n)}$$

Число n называется k -гипердефицитным, если${\displaystyle \delta _{k}(n)>0.}$

Обратите внимание, что при k = 1 получаем что является стандартным традиционным определением дефицита .${\displaystyle \delta _{1}(n)=2n-\sigma (n),}$

Лемма: Число n является k -гиперсовершенным (включая k = 1 ) тогда и только тогда, когда k -гипердефицит числа n ,${\ displaystyle \ delta _ {k} (n) = 0.}$

Лемма: Число n является k -гиперсовершенным (включая k = 1 ) тогда и только тогда, когда для некоторого k , по крайней мере для одного j > 0 .${\displaystyle \delta {kj} (n) = - \ delta _ {k+j} (n)}$

• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag . п. 114. ИСБН 1-4020-4215-9. Збл  1151.11300.

• Миноли, Дэниел; Беар, Роберт (осень 1975 г.), «Гиперсовершенные числа», Pi Mu Epsilon Journal , 6 (3): 153–157.
• Миноли, Дэниел (декабрь 1978 г.), «Достаточные формы для обобщенных совершенных чисел», Annales de la Faculté des Sciences UNAZA , 4 (2): 277–302..
• Миноли, Дэниел (февраль 1981 г.), «Структурные проблемы для гиперсовершенных чисел», Fibonacci Quarterly , 19 (1): 6–14, doi :10.1080/00150517.1981.12430116.
• Миноли, Дэниел (апрель 1980 г.), «Проблемы нелинейных гиперсовершенных чисел», Математика вычислений , 34 (150): 639–645, doi : 10.2307/2006107 , JSTOR  2006107.
• Миноли, Дэниел (октябрь 1980 г.), «Новые результаты для гиперсовершенных чисел», Abstracts of the American Mathematical Society , 1 (6): 561.
• Minoli, Daniel; Nakamine, W. (1980). «Числа Мерсенна с корнем 3 для преобразований теории чисел». ICASSP '80. Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . Том 5. С. 243–247. doi :10.1109/ICASSP.1980.1170906..
• МакКрейни, Джадсон С. (2000), "Исследование гиперсовершенных чисел", Журнал целочисленных последовательностей , 3:13 , Bibcode :2000JIntS...3...13M, архивировано из оригинала 2004-04-05.
• te Riele, Herman JJ (1981), «Гиперсовершенные числа с тремя различными простыми множителями», Math. Comp. , 36 (153): 297–298, doi : 10.1090/s0025-5718-1981-0595066-9 , MR  0595066, Zbl  0452.10005.
• te Riele, Herman JJ (1984), «Правила построения гиперсовершенных чисел», Fibonacci Q. , ​​22 : 50–60, doi :10.1080/00150517.1984.12429920, Zbl  0531.10005.

• Дэниел Миноли, Voice over MPLS , McGraw-Hill, Нью-Йорк, 2002, ISBN 0-07-140615-8 (стр. 114-134) 

• MathWorld: Гиперсовершенное число
• Длинный список гиперсовершенных чисел в разделе Данные