тождество Якоби

В математике тождество Якоби — это свойство бинарной операции , описывающее, как порядок оценки, расстановка скобок в кратном произведении, влияет на результат операции. Напротив, для операций с ассоциативным свойством любой порядок оценки дает тот же результат (скобки в кратном произведении не нужны). Тождество названо в честь немецкого математика Карла Густава Якоба Якоби . Он вывел тождество Якоби для скобок Пуассона в своей статье 1862 года о дифференциальных уравнениях. ^{[1] [2]}

Операция перекрестного произведения и скобки Ли удовлетворяют тождеству Якоби . В аналитической механике тождество Якоби удовлетворяется скобками Пуассона . В квантовой механике оно удовлетворяется коммутаторами операторов в гильбертовом пространстве и, что эквивалентно, в формулировке фазового пространства квантовой механики скобкой Мойала .${\displaystyle a\times b}$ ${\displaystyle [а,б]}$

Пусть и будут двумя бинарными операциями , и пусть будет нейтральным элементом для .${\displaystyle +}$${\displaystyle \times}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle +}$Идентичность Якоби - это

${\displaystyle x\times (y\times z)\ +\ y\times (z\times x)\ +\ z\times (x\times y)\ =\ 0.}$

Обратите внимание на закономерность в переменных в левой части этого тождества. В каждом последующем выражении формы переменные и переставляются в соответствии с циклом . В качестве альтернативы мы можем заметить , что упорядоченные тройки , и , являются четными перестановками упорядоченной тройки .${\displaystyle a\times (b\times c)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x\mapsto y\mapsto z\mapsto x}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (y,z,x)}$${\displaystyle (z,x,y)}$${\displaystyle (x,y,z)}$

Простейший информативный пример алгебры Ли строится из (ассоциативного) кольца матриц, которые можно рассматривать как бесконечно малые движения n -мерного векторного пространства. Операция × является коммутатором , который измеряет отсутствие коммутативности при умножении матриц. Вместо используется обозначение скобок Ли:${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle X\times Y}$

${\displaystyle [X,Y]=XY-YX.}$

В этой записи тождество Якоби имеет вид:

${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]\ =\ 0}$

Это легко проверить расчетом.

В более общем случае, если A — ассоциативная алгебра, а V — подпространство A , замкнутое относительно операции скобок: принадлежит V для всех , тождество Якоби продолжает выполняться на V . ^[3] Таким образом, если бинарная операция удовлетворяет тождеству Якоби, можно сказать, что она ведет себя так, как если бы она была задана в некоторой ассоциативной алгебре, даже если на самом деле она не определена таким образом.${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$${\displaystyle X,Y\in V}$${\displaystyle [X,Y]}$${\displaystyle XY-YX}$

Используя свойство антисимметрии , тождество Якоби можно переписать как модификацию свойства ассоциативности :${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$

${\displaystyle [[X,Y],Z]=[X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]]~.}$

Если — действие бесконечно малого движения X на Z , то это можно записать как: ${\displaystyle [X,Z]}$

Действие Y , за которым следует X (оператор ), минус действие X, за которым следует Y (оператор ), равно действию , (оператор ).${\displaystyle [X,[Y,\cdot \ ]]}$${\displaystyle ([Y,[X,\cdot \ ]]}$${\displaystyle [X,Y]}$${\displaystyle [[X,Y],\cdot \ ]}$

Существует также множество градуированных тождеств Якоби , включающих антикоммутаторы , такие как:${\displaystyle \{X,Y\}}$

${\displaystyle [\{X,Y\},Z]+[\{Y,Z\},X]+[\{Z,X\},Y]=0,\qquad [\{X,Y\ },Z]+\{[Z,Y],X\}+\{[Z,X],Y\}=0.}$

Наиболее распространенные примеры тождества Якоби происходят из скобочного умножения на алгебрах Ли и кольцах Ли . Тождество Якоби записывается как:${\displaystyle [x,y]}$

${\displaystyle [x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0.}$

Поскольку скобочное умножение антисимметрично , тождество Якоби допускает две эквивалентные переформулировки. Определяя сопряженный оператор , тождество становится:${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:y\mapsto [x,y]}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}[y,z]=[\operatorname {ad} _{x}y,z]+[y,\operatorname {ad} _{x}z].}$

Таким образом, тождество Якоби для алгебр Ли утверждает, что действие любого элемента на алгебру является выводом . Эта форма тождества Якоби также используется для определения понятия алгебры Лейбница .

Другая перестановка показывает, что тождество Якоби эквивалентно следующему тождеству между операторами сопряженного представления:

${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}].}$

Там скобка слева — это операция исходной алгебры, скобка справа — коммутатор композиции операторов, а тождество утверждает, что отображение, переводящее каждый элемент в его сопряженное действие, является гомоморфизмом алгебры Ли .${\displaystyle \mathrm {реклама} }$

• Тождество Холла –Витта является аналогичным тождеством для операции коммутатора в группе .

• Следующее тождество следует из антикоммутативности и тождества Якоби и справедливо в произвольной алгебре Ли: ^[4]

${\displaystyle [x,[y,[z,w]]]+[y,[x,[w,z]]]+[z,[w,[x,y]]]+[w,[z ,[y,x]]]=0.}$

• Тождество Якоби эквивалентно правилу произведения , при этом скобка Ли действует как произведение и производная: . Если — векторные поля, то — буквально производный оператор, действующий на , а именно производная Ли .${\displaystyle [X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle [X,Y]}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$

• Структурные константы
• Супертождественность Якоби
• Лемма о трех подгруппах (тождество Холла–Витта)

• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Якоби, CGJ (1862). «Новый метод, дифференциальные частичные уравнения primi ordinis inter numerum variabilium quemcunque propositas integrandi». Журнал для королевы и математики . 60 : 1-181.
• Хокинс, Томас (1991). «Якоби и рождение теории групп Ли». Arch. Hist. Exact Sci . 42 (3): 187-278. doi :10.1007/BF00375135.

• Вайсштейн, Эрик В. «Идентичность Якоби». Математический мир .