Альтернативное мультилинейное отображение
Мультилинейное отображение, равное 0, когда аргументы линейно зависимы

В математике , а точнее в полилинейной алгебре , чередующееся полилинейное отображение — это полилинейное отображение со всеми аргументами, принадлежащими одному и тому же векторному пространству (например, билинейная форма или полилинейная форма ), которое равно нулю, когда любая пара его аргументов равна. Это напрямую обобщается до модуля над коммутативным кольцом .

Понятие альтернатизации (или чередования ) используется для вывода чередующегося полилинейного отображения из любого полилинейного отображения, все аргументы которого принадлежат одному и тому же пространству.

Определение

Пусть — коммутативное кольцо и , — модули над . Полилинейное отображение вида называется знакопеременным , если оно удовлетворяет следующим эквивалентным условиям: Р {\displaystyle R} В {\displaystyle V} Вт {\displaystyle W} Р {\displaystyle R} ф : В н → Вт {\displaystyle f:V^{n}\to W}

  1. всякий раз, когда существует такое, что тогда . [1] [2] 1 ≤ я ≤ н − 1 {\textstyle 1\leq i\leq n-1} х я = х я + 1 {\displaystyle x_{i}=x_{i+1}} ф ( х 1 , … , х н ) = 0 {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}
  2. всякий раз, когда существует такое, что тогда . [1] [3] 1 ≤ я ≠ дж ≤ н {\ textstyle 1 \ leq я \ neq j \ leq n} х я = х дж {\displaystyle x_{i}=x_{j}} ф ( х 1 , … , х н ) = 0 {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}

Векторные пространства

Пусть — векторные пространства над одним и тем же полем. Тогда полилинейное отображение вида является знакопеременным, если оно удовлетворяет следующему условию: В , Вт {\displaystyle V,W} ф : В н → Вт {\displaystyle f:V^{n}\to W}

  • если линейно зависимы , то . х 1 , … , х н {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} ф ( х 1 , … , х н ) = 0 {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}

Пример

В алгебре Ли скобка Ли — это знакопеременное билинейное отображение. Определитель матрицы — это полилинейное знакопеременное отображение строк или столбцов матрицы.

Характеристики

Если любой компонент чередующегося полилинейного отображения заменить на для любого и в базовом кольце , то значение этого отображения не изменится. [3] х я {\displaystyle x_{i}} х я + с х дж {\displaystyle x_{i}+cx_{j}} дж ≠ я {\displaystyle j\neq i} с {\displaystyle с} Р {\displaystyle R}

Каждое знакопеременное полилинейное отображение является антисимметричным, [4] что означает, что [1] или, что эквивалентно, где обозначает группу перестановок степени , а — знак . [5] Если — единица в базовом кольце , то каждая антисимметричная -полилинейная форма является знакопеременной . ф ( … , х я , х я + 1 , … ) = − ф ( … , х я + 1 , х я , … )  для любого  1 ≤ я ≤ н − 1 , {\displaystyle f(\dots ,x_{i},x_{i+1},\dots )=-f(\dots ,x_{i+1},x_{i},\dots )\quad {\text{ для любого }}1\leq i\leq n-1,} ф ( х σ ( 1 ) , … , х σ ( н ) ) = ( знак ⁡ σ ) ф ( х 1 , … , х н )  для любого  σ ∈ С н , {\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=(\operatorname {sgn} \sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{ для любого }}\sigma \in \mathrm {S} _{n},} С н {\displaystyle \mathrm {S} _{n}} н {\displaystyle n} знак ⁡ σ {\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma } σ {\displaystyle \сигма} н ! {\displaystyle н!} Р {\displaystyle R} н {\displaystyle n}

Альтернативизация

При наличии полилинейного отображения вида чередующееся полилинейное отображение, определяемое формулой, называется чередованием отображения . ф : В н → Вт , {\displaystyle f:V^{n}\to W,} г : В н → Вт {\displaystyle g:V^{n}\to W} г ( х 1 , … , х н ) := ∑ σ ∈ С н знак ⁡ ( σ ) ф ( х σ ( 1 ) , … , х σ ( н ) ) {\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})\mathrel {:=} \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})} f {\displaystyle f}

Характеристики

Смотрите также

Примечания

  1. ^ abc Lang 2002, стр. 511–512.
  2. ^ Бурбаки 2007, A III.80, §4
  3. ^ ab Dummit & Foote 2004, стр. 436
  4. ^ Ротман 1995, стр. 235
  5. ^ Ту 2011, стр. 23

Ссылки

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Alternating_multilinear_map&oldid=1190793166"