Теорема Гельфанда–Мазура

В теории операторов теорема Гельфанда –Мазура — теорема, названная в честь Израиля Гельфанда и Станислава Мазура , которая утверждает, что банахова алгебра с единицей над комплексными числами , в которой каждый ненулевой элемент обратим , изометрически изоморфна комплексным числам , т. е. единственная комплексная банахова алгебра, являющаяся алгеброй с делением, — это алгебра комплексных чисел C.

Теорема следует из того факта, что спектр любого элемента комплексной банаховой алгебры непуст: для каждого элемента a комплексной банаховой алгебры A существует некоторое комплексное число λ такое, что λ 1 −  a необратима. Это является следствием комплексной аналитичности резольвентной функции . По предположению, λ 1 −  a = 0. Поэтому a = λ ·  1. Это дает изоморфизм из A в C.

Теорему можно усилить до утверждения, что существует (с точностью до изоморфизма) ровно три действительных банаховых алгебры с делением: поле действительных чисел R , поле комплексных чисел C и алгебра с делением кватернионов H . Этот результат был впервые доказан Станиславом Мазуром в одиночку, но он был опубликован во Франции без доказательства, когда автор отказался от просьбы редактора сократить его доказательство. Гельфанд (независимо) опубликовал доказательство комплексного случая несколько лет спустя.

• Бонсалл, Фрэнк Ф.; Дункан, Джон (1973). Полные нормированные алгебры. Springer. стр. 71–4. doi :10.1007/978-3-642-65669-9. ISBN 978-3-642-65671-2.

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.