радикал Якобсона

В математике , а точнее в теории колец , радикал Джекобсона кольца R — это идеал , состоящий из тех элементов в R , которые аннулируют все простые правые R - модули . Случается, что подстановка «левого» вместо «правого» в определении даёт тот же идеал, и поэтому понятие симметрично слева направо. Радикал Джекобсона кольца часто обозначается как J( R ) или rad( R ); в этой статье будет предпочтительнее первое обозначение, поскольку оно позволяет избежать путаницы с другими радикалами кольца . Радикал Джекобсона назван в честь Натана Джекобсона , который первым изучил его для произвольных колец в работе Джекобсона 1945 года.

Радикал Джекобсона кольца имеет многочисленные внутренние характеристики, включая несколько определений, которые успешно расширяют это понятие на неунитальные кольца . Радикал модуля расширяет определение радикала Джекобсона, включая модули. Радикал Джекобсона играет важную роль во многих результатах теории колец и модулей, таких как лемма Накаямы .

Существует множество эквивалентных определений и характеристик радикала Джекобсона, но полезно рассмотреть определения, основанные на том, является ли кольцо коммутативным или нет.

В коммутативном случае радикал Джекобсона коммутативного кольца R определяется как ^[1] ​​пересечение всех максимальных идеалов . Если обозначить Specm R как множество всех максимальных идеалов в R , то ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle \mathrm {J} (R)=\bigcap _ {{\mathfrak {m}}\,\in \,\operatorname {Specm} R}{\mathfrak {m}}}$

Это определение можно использовать для явных вычислений в ряде простых случаев, например, для локальных колец ( R , )${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ , которые имеют единственный максимальный идеал, артиновых колец и их произведений . Смотрите раздел примеров для явных вычислений.

Для общего кольца с единицей R радикал Джекобсона J( R ) определяется как идеал всех элементов r ∈ R таких, что rM = 0 , когда M является простым R -модулем. То есть, Это эквивалентно определению в коммутативном случае для коммутативного кольца R, поскольку простые модули над коммутативным кольцом имеют вид R / для некоторого максимального идеала R , а аннуляторы R / в R являются в точности элементами , то есть Ann _R ( R / ) = .$${\displaystyle \mathrm {J} (R)=\{r\in R\mid rM=0{\text{ для всех }}M{\text{ простых}}\}.}$$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Понимание радикала Джекобсона заключается в нескольких различных случаях: а именно, в его приложениях и вытекающих из них геометрических интерпретациях, а также в его алгебраических интерпретациях.

Хотя Джекобсон изначально ввел свой радикал как метод построения теории радикалов для произвольных колец, одной из мотивирующих причин того, почему радикал Джекобсона рассматривается в коммутативном случае, является его появление в лемме Накаямы . Эта лемма является техническим инструментом для изучения конечно порождённых модулей над коммутативными кольцами, имеющим простую геометрическую интерпретацию: если у нас есть векторное расслоение E → X над топологическим пространством X и выбрана точка p ∈ X , то любой базис E | _p может быть расширен до базиса сечений E | _U → U для некоторой окрестности p ∈ U ⊆ X.

Другое применение — в случае конечно порожденных коммутативных колец вида для некоторого базового кольца k (например , поля или кольца целых чисел ). В этом случае нильрадикал и радикал Джекобсона совпадают. Это означает, что мы могли бы интерпретировать радикал Джекобсона как меру того, насколько далек идеал I, определяющий кольцо R , от определения кольца функций на алгебраическом многообразии из-за теоремы Гильберта Nullstellensatz . Это связано с тем, что алгебраические многообразия не могут иметь кольца функций с бесконечно малыми: эта структура рассматривается только в теории схем .${\textstyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,/\,I}$

Радикал Джекобсона кольца имеет различные внутренние и внешние характеристики. Следующие эквивалентности появляются во многих текстах по некоммутативной алгебре, таких как Anderson & Fuller 1992, §15, Isaacs 1994, §13B и Lam 2001, Ch 2.

Ниже приведены эквивалентные характеристики радикала Джекобсона в кольцах с единицей (характеристики для колец без единицы даны сразу после этого):

• J( R ) равен пересечению всех максимальных правых идеалов кольца. Эквивалентность вытекает из того факта, что для всех максимальных правых идеалов M , R / M является простым правым R -модулем, и что на самом деле все простые правые R -модули изоморфны одному из этого типа посредством отображения из R в S , заданного формулой r ↦ xr для любого образующего x кольца S . Также верно, что J( R ) равен пересечению всех максимальных левых идеалов внутри кольца. ^[2] Эти характеризации являются внутренними по отношению к кольцу, поскольку нужно только найти максимальные правые идеалы кольца. Например, если кольцо локально и имеет единственный максимальный правый идеал , то этот единственный максимальный правый идеал есть в точности J( R ). Максимальные идеалы в некотором смысле легче искать, чем аннуляторы модулей. Однако эта характеризация недостаточна, поскольку она не оказывается полезной при вычислительной работе с J( R ). Симметрия слева-справа этих двух определений замечательна и имеет различные интересные последствия. ^{[2] [3]} Эта симметрия контрастирует с отсутствием симметрии в цоколях R , поскольку может случиться, что soc( R _R ) не равно soc( _R R ). Если R — некоммутативное кольцо , J( R ) не обязательно равно пересечению всех максимальных двусторонних идеалов R . Например, если V — счетная прямая сумма копий поля k и R = End( V ) ( кольцо эндоморфизмов V как k -модуля), то J( R ) = 0 , поскольку известно, что R является регулярным по фон Нейману , но в R есть ровно один максимальный двусторонний идеал, состоящий из эндоморфизмов с конечномерным образом . ^[4]
• J( R ) равен сумме всех избыточных правых идеалов (или симметрично, сумме всех избыточных левых идеалов) R . Сравнивая это с предыдущим определением, сумма избыточных правых идеалов равна пересечению максимальных правых идеалов. Это явление отражается двойственно для правого цоколя R ; soc( R _R ) является как суммой минимальных правых идеалов , так и пересечением существенных правых идеалов . Фактически, эти два соотношения справедливы для радикалов и цоколей модулей в целом.
• Как определено во введении, J( R ) равен пересечению всех аннуляторов простых правых R -модулей, однако также верно, что это пересечение аннуляторов простых левых модулей. Идеал, который является аннулятором простого модуля, известен как примитивный идеал , и поэтому его переформулировка гласит , что радикал Джекобсона является пересечением всех примитивных идеалов. Эта характеристика полезна при изучении модулей над кольцами. Например, если U является правым R -модулем, а V является максимальным подмодулем U , U · J( R ) содержится в V , где U · J( R ) обозначает все произведения элементов J( R ) («скаляры») с элементами из U , справа. Это следует из того факта, что фактор - модуль U / V является простым и, следовательно, аннулируется J( R ).
• J( R ) — единственный правый идеал R , максимальный со свойством, что каждый элемент является правым квазирегулярным ^{[5] [6]} (или, что эквивалентно, левым квазирегулярным ^[2] ). Эта характеристика радикала Джекобсона полезна как с точки зрения вычислений, так и для помощи интуиции. Кроме того, эта характеристика полезна при изучении модулей над кольцом. Лемма Накаямы , возможно, является наиболее известным примером этого. Хотя каждый элемент J( R ) обязательно является квазирегулярным , не каждый квазирегулярный элемент обязательно является членом J( R ). ^[6]
• Хотя не каждый квазирегулярный элемент принадлежит J( R ), можно показать, что y принадлежит J( R ) тогда и только тогда, когда xy является левым квазирегулярным элементом для всех x из R. ^[7]
• J( R ) — это множество элементов x в R, таких, что каждый элемент из 1 + RxR является единицей: J( R ) = { x ∈ R | 1 + RxR ⊂ R ^× } . Фактически, y ∈ R находится в радикале Джекобсона тогда и только тогда, когда 1 + xy обратим для любого x ∈ R , тогда и только тогда, когда 1 + yx обратим для любого x ∈ R . Это означает, что xy и yx ведут себя аналогично нильпотентному элементу z с z ^{n +1} = 0 и (1 + z ) ⁻¹ = 1 − z + z ² − ... ± z ⁿ .

Для колец без единицы возможно иметь R = J( R ) ; однако уравнение J( R / J( R )) = {0} все еще имеет место. Ниже приведены эквивалентные характеристики J( R ) для колец без единицы: ^[8]

• Понятие левой квазирегулярности можно обобщить следующим образом. Назовем элемент a в R левым обобщенно-квазирегулярным, если существует c в R такой, что c + a − ca = 0. Тогда J( R ) состоит из каждого элемента a , для которого ra является левым обобщенно-квазирегулярным для всех r в R . Можно проверить, что это определение совпадает с предыдущим квазирегулярным определением для колец с единицей.
• Для кольца без единицы определение левого простого модуля M изменяется путем добавления условия, что R ⋅ M ≠ 0. При таком понимании J( R ) можно определить как пересечение всех аннуляторов простых левых модулей R или просто R , если нет простых левых модулей R. Кольца без единицы без простых модулей существуют, в этом случае R = J( R ) , и кольцо называется радикальным кольцом . Используя обобщенную квазирегулярную характеристику радикала, ясно, что если найти кольцо с J( R ) ненулевым, то J( R ) является радикальным кольцом, если рассматривать его как кольцо без единицы.

• Для кольца целых чисел Z его радикал Джекобсона является нулевым идеалом , поэтому J( Z ) = (0) , поскольку он задается пересечением каждого идеала, порожденного простым числом ( p ). Поскольку ( p ₁ ) ∩ ( p ₂ ) = ( p ₁ ⋅ p ₂ ) , и мы берем бесконечное пересечение без общих элементов, кроме 0, между всеми максимальными идеалами, мы имеем вычисление.
• Для локального кольца ( R , )${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ радикал Джекобсона просто J( R ) =${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ . Это важный случай из-за его использования в применении леммы Накаямы. В частности, это подразумевает, что если у нас есть алгебраическое векторное расслоение E → X над схемой или алгебраическим многообразием X , и мы фиксируем базис E | _p для некоторой точки p ∈ X , то этот базис поднимается до набора образующих для всех сечений E для некоторой окрестности U точки p .
• Если k — поле и R = k [[ X ₁ , ..., X _n ]] — кольцо формальных степенных рядов , то J( R ) состоит из тех степенных рядов , свободный член которых равен нулю, т.е. степенных рядов в идеале ( X ₁ , ..., X _n ) .
• В случае артиновых колец , таких как C [ t ₁ , t ₂ ]/( t ₁ ⁴ , t ₁ ² t ₂ ² , t ₂ ⁹ ) , радикал Джекобсона равен ( t ₁ , t ₂ ) .
• Предыдущий пример можно расширить до кольца R = C [ t ₂ , t ₃ , ...]/( t ₂ ² , t ₃ ³ , ...) , получив J( R ) = ( t ₂ , t ₃ , ...) .
• Радикал Джекобсона кольца Z /12 Z равен 6 Z /12 Z , который является пересечением максимальных идеалов 2 Z /12 Z и 3 Z /12 Z .
• Рассмотрим кольцо C [ t ] ⊗ _C C [ x ₁ , x ₂ ] _{x 1 ² + x 2 ² −1} , где второе — локализация C [ x ₁ , x ₂ ] по простому идеалу = ( x ₁ ² + x ₂ ² − 1) . Тогда радикал Джекобсона тривиален, поскольку максимальные идеалы порождаются элементом вида ( t − z ) ⊗ ( x 1 ₂ ⁺ x 2 ₂ ⁻ 1) для z ∈ C .${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

• Кольца, для которых J( R ) равно {0}, называются полупримитивными кольцами или иногда "полупростыми кольцами Якобсона". Радикал Якобсона любого поля, любого регулярного кольца фон Неймана и любого левого или правого примитивного кольца равен {0}. Радикал Якобсона целых чисел равен {0}.
• Если K — поле, а R — кольцо всех верхнетреугольных матриц размера n на n с элементами из K , то J( R ) состоит из всех верхнетреугольных матриц с нулями на главной диагонали.
• Начнем с конечного ациклического колчана Γ и поля K и рассмотрим алгебру колчана K  Γ (как описано в статье Колчан ). Радикал Джекобсона этого кольца порождается всеми путями в Γ длины ≥ 1.
• Радикал Джекобсона C *-алгебры равен {0}. Это следует из теоремы Гельфанда–Наймарка и того факта, что для C*-алгебры топологически неприводимое *-представление в гильбертовом пространстве алгебраически неприводимо, так что его ядро ​​является примитивным идеалом в чисто алгебраическом смысле (см. Спектр C*-алгебры ).

• Если R унитальна и не является тривиальным кольцом {0}, радикал Джекобсона всегда отличен от R , поскольку кольца с единицей всегда имеют максимальные правые идеалы . Однако некоторые важные теоремы и гипотезы в теории колец рассматривают случай, когда J( R ) = R – «Если R является нулевым кольцом (то есть каждый его элемент нильпотентен ) , равно ли кольцо многочленов R [ x ] своему радикалу Джекобсона?» эквивалентно открытой гипотезе Кёте . ^[9]
• Для любого идеала I, содержащегося в J( R ), J( R / I ) = J( R ) / I .
• В частности, радикал Джекобсона кольца R / J( R ) равен нулю. Кольца с нулевым радикалом Джекобсона называются полупримитивными кольцами .
• Кольцо является полупростым тогда и только тогда, когда оно артиново и его радикал Джекобсона равен нулю.
• Если f  : R → S — сюръективный гомоморфизм колец , то f (J( R )) ⊆ J( S ) .
• Если R — кольцо с единицей, а M — конечно порождённый левый R -модуль с J( R ) M = M , то M = 0 ( лемма Накаямы ).
• J( R ) содержит все центральные нильпотентные элементы, но не содержит идемпотентных элементов, за исключением 0.
• J( R ) содержит каждый ниль-идеал R. Если R является левым или правым артиновым , то J( R ) является нильпотентным идеалом .
  На самом деле это можно усилить: если {0} = T ₀ ⊆ T ₁ ⊆ ⋅⋅⋅ ⊆ T _k = R — композиционный ряд для правого R -модуля R (такой ряд обязательно существует, если R является правоартиновым, и существует аналогичный левый композиционный ряд, если R является левоартиновым), то (J( R )) ^k = 0 . ^[a]
          
  
  Однако следует отметить, что в общем случае радикал Джекобсона не обязательно должен состоять только из нильпотентных элементов кольца.
• Если R коммутативен и конечно порожден как алгебра над полем или Z , то J( R ) равен нильрадикалу R .
• Радикал Джекобсона (унитального) кольца — это его наибольший избыточный правый (эквивалентно, левый) идеал.

• Подгруппа Фраттини
• Нильрадикал кольца
• Радикал модуля
• Радикальный идеал

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Graduate Texts in Mathematics , т. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, г-н  1245487
• Атья, М.Ф .; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley Publishing Co., стр. ix+128, MR  0242802
• Бурбаки, Н. Элементы математики .
• Herstein, IN (1994) [1968], Некоммутативные кольца , Carus Mathematical Monographs, т. 15, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки , стр. xii+202, ISBN 0-88385-015-X, г-н  1449137Переиздание оригинала 1968 года; с послесловием Лэнса У. Смолла
• Айзекс, И. М. (1994), Алгебра: курс для выпускников (1-е изд.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
• Якобсон, Натан (1945), «Радик и полупростота для произвольных колец», American Journal of Mathematics , 67 (2): 300–320, doi :10.2307/2371731, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371731, MR  0012271
• Лэм, TY (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Graduate Texts in Mathematics, т. 131 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. xx+385, doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, г-н  1838439
• Пирс, Ричард С. (1982), Ассоциативные алгебры , Graduate Texts in Mathematics, т. 88, Springer-Verlag, стр. xii+436, ISBN 0-387-90693-2, МР  0674652Исследования по истории современной науки, 9
• Смоктунович, Агата (2006), «Некоторые результаты в некоммутативной теории колец», Международный конгресс математиков, т. II (PDF) , Европейское математическое общество , стр. 259–269, ISBN 978-3-03719-022-7, MR  2275597, архивировано из оригинала (PDF) 2017-08-09 , извлечено 2014-12-31

• Интуитивный пример радикала Джекобсона