Теорема Банаха–Алаоглу
Theorem in functional analysis

В функциональном анализе и смежных разделах математики теорема Банаха –Алаоглу (также известная как теорема Алаоглу ) утверждает, что замкнутый единичный шар двойственного пространства нормированного векторного пространства компактен в слабой* топологии . [1] Общее доказательство идентифицирует единичный шар с топологией weak-* как замкнутое подмножество произведения компактных множеств с топологией произведения . Как следствие теоремы Тихонова , это произведение , а следовательно, и единичный шар внутри, компактны.

Эта теорема имеет применение в физике при описании множества состояний алгебры наблюдаемых величин, а именно, что любое состояние можно записать в виде выпуклой линейной комбинации так называемых чистых состояний.

История

Согласно Лоуренсу Наричи и Эдварду Бекенштейну, теорема Алаоглу является «очень важным результатом — возможно, самым важным фактом о слабой* топологии — [который] отражается во всем функциональном анализе». [2] В 1912 году Хелли доказал, что единичный шар непрерывного сопряженного пространства является счетно слабо* компактным. [3] В 1932 году Стефан Банах доказал, что замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве любого сепарабельного нормированного пространства является последовательно слабо* компактным (Банах рассматривал только последовательную компактность ). [3] Доказательство для общего случая было опубликовано в 1940 году математиком Леонидасом Алаоглу . Согласно Питчу [2007], есть по крайней мере двенадцать математиков, которые могут претендовать на эту теорему или ее важного предшественника. [2] C ( [ a , b ] ) {\displaystyle C([a,b])}

Теорема Бурбаки–Алаоглу является обобщением [4] [5] исходной теоремы Бурбаки на двойственные топологии на локально выпуклых пространствах . Эта теорема также называется теоремой Банаха–Алаоглу или теоремой о слабой-* компактности , и ее обычно называют просто теоремой Алаоглу . [2]

Заявление

Если — векторное пространство над полем, то будет обозначать алгебраическое сопряженное пространство , и эти два пространства в дальнейшем будут связаны с билинейным оценочным отображением , определяемым соотношением , где тройка образует сопряженную систему, называемую канонической сопряженной системой . X {\displaystyle X} K {\displaystyle \mathbb {K} } X # {\displaystyle X^{\#}} X {\displaystyle X} ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : X × X # → K {\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K} } ⟨ x , f ⟩   = def   f ( x ) {\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(x)} ⟨ X , X # , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\#},\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right\rangle }

Если — топологическое векторное пространство (TVS), то его непрерывное сопряженное пространство будет обозначаться как , где всегда выполняется. Обозначим топологию weak-* на как и обозначим топологию weak-* на как Топология weak-* также называется топологией поточечной сходимости , поскольку при заданной карте и сети карт сеть сходится в этой топологии тогда и только тогда, когда для каждой точки в области сеть значений сходится к значению X {\displaystyle X} X ′ , {\displaystyle X^{\prime },} X ′ ⊆ X # {\displaystyle X^{\prime }\subseteq X^{\#}} X # {\displaystyle X^{\#}} σ ( X # , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)} X ′ {\displaystyle X^{\prime }} σ ( X ′ , X ) . {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right).} f {\displaystyle f} f ∙ = ( f i ) i ∈ I , {\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I},} f ∙ {\displaystyle f_{\bullet }} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} ( f i ( x ) ) i ∈ I {\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}} f ( x ) . {\displaystyle f(x).}

Теорема Алаоглу [3]  —  Для любого топологического векторного пространства (TVS) ( не обязательно хаусдорфова или локально выпуклого ) с непрерывным сопряженным пространством поляра любой окрестности начала координат в компактна в слабой* топологии [примечание 1] на Более того, равна поляре относительно канонической системы и также является компактным подмножеством X {\displaystyle X} X ′ , {\displaystyle X^{\prime },} U ∘ = { f ∈ X ′   :   sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 } {\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}} U {\displaystyle U} X {\displaystyle X} σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} X ′ . {\displaystyle X^{\prime }.} U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} U {\displaystyle U} ⟨ X , X # ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle } ( X # , σ ( X # , X ) ) . {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}

Доказательство с использованием теории двойственности

Доказательство

Обозначим через базовое поле, где — либо действительные числа , либо комплексные числа. В этом доказательстве будут использованы некоторые из основных свойств, перечисленных в статьях: полярное множество , двойственная система и непрерывный линейный оператор . X {\displaystyle X} K , {\displaystyle \mathbb {K} ,} R {\displaystyle \mathbb {R} } C . {\displaystyle \mathbb {C} .}

Чтобы начать доказательство, напоминаем некоторые определения и легко проверяемые результаты. Когда наделено слабой-* топологией , то это локально выпуклое топологическое векторное пространство Хаусдорфа обозначается Пространство всегда является полным TVS ; однако может не быть полным пространством, что является причиной того, что это доказательство включает пространство В частности, это доказательство будет использовать тот факт, что подмножество полного хаусдорфова пространства является компактным, если (и только если) оно замкнуто и полностью ограничено . Важно, что топология подпространства , которая наследуется от , равна Это можно легко проверить, показав, что заданная любая сеть в сходится к в одной из этих топологий тогда и только тогда, когда она также сходится к в другой топологии (вывод следует из того, что две топологии равны тогда и только тогда, когда они имеют точно такие же сходящиеся сети). X # {\displaystyle X^{\#}} σ ( X # , X ) , {\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right),} ( X # , σ ( X # , X ) ) . {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).} ( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} ( X ′ , σ ( X ′ , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)} ( X # , σ ( X # , X ) ) . {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).} X ′ {\displaystyle X^{\prime }} ( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} σ ( X ′ , X ) . {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right).} f ∈ X ′ , {\displaystyle f\in X^{\prime },} X ′ {\displaystyle X^{\prime }} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f}

Тройка является дуальной парой, хотя в отличие от нее в общем случае не гарантируется, что она будет дуальной системой. Везде, если не указано иное, все полярные наборы будут рассматриваться относительно канонической пары ⟨ X , X ′ ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle } ⟨ X , X # ⟩ , {\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,} ⟨ X , X ′ ⟩ . {\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}

Пусть — окрестность начала координат и пусть: U {\displaystyle U} X {\displaystyle X}

  • U ∘ = { f ∈ X ′   :   sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 } {\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}} быть полярным по отношению к каноническому спариванию ; U {\displaystyle U} ⟨ X , X ′ ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
  • U ∘ ∘ = { x ∈ X   :   sup f ∈ U ∘ | f ( x ) | ≤ 1 } {\displaystyle U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}} быть биполярным U {\displaystyle U} относительно ; ⟨ X , X ′ ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
  • U # = { f ∈ X #   :   sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 } {\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}} быть полярой относительно канонической двойственной системы. Обратите внимание, что U {\displaystyle U} ⟨ X , X # ⟩ . {\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle .} U ∘ = U # ∩ X ′ . {\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime }.}

Хорошо известный факт о полярных множествах заключается в том, что U ∘ ∘ ∘ ⊆ U ∘ . {\displaystyle U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }.}

  1. Покажите, что является -замкнутым подмножеством Пусть и предположим, что является сетью в , которая сходится к в Чтобы заключить, что достаточно (и необходимо) показать, что для каждого Поскольку в скалярном поле и каждое значение принадлежит замкнутому (в ) подмножеству, предел этой сети также должен принадлежать этому множеству. Таким образом, U # {\displaystyle U^{\#}} σ ( X # , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)} X # : {\displaystyle X^{\#}:} f ∈ X # {\displaystyle f\in X^{\#}} f ∙ = ( f i ) i ∈ I {\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}} U # {\displaystyle U^{\#}} f {\displaystyle f} ( X # , σ ( X # , X ) ) . {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).} f ∈ U # , {\displaystyle f\in U^{\#},} | f ( u ) | ≤ 1 {\displaystyle |f(u)|\leq 1} u ∈ U . {\displaystyle u\in U.} f i ( u ) → f ( u ) {\displaystyle f_{i}(u)\to f(u)} K {\displaystyle \mathbb {K} } f i ( u ) {\displaystyle f_{i}(u)} K {\displaystyle \mathbb {K} } { s ∈ K : | s | ≤ 1 } , {\displaystyle \left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\},} f ( u ) {\displaystyle f(u)} | f ( u ) | ≤ 1. {\displaystyle |f(u)|\leq 1.}
  2. Покажите, что и затем сделайте вывод, что является замкнутым подмножеством обоих и Включение выполняется, поскольку каждый непрерывный линейный функционал является (в частности) линейным функционалом. Для обратного включения пусть так, что в точности утверждает, что линейный функционал ограничен в окрестности ; таким образом, является непрерывным линейным функционалом (то есть ) и так далее, как и требовалось. Используя (1) и тот факт, что пересечение замкнуто в топологии подпространства, по утверждению о замкнутости следует. U # = U ∘ {\displaystyle U^{\#}=U^{\circ }} U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} ( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} ( X ′ , σ ( X ′ , X ) ) : {\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right):} U ∘ ⊆ U # {\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}} U # ⊆ U ∘ , {\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ },\,} f ∈ U # {\displaystyle f\in U^{\#}} sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 , {\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,} f {\displaystyle f} U {\displaystyle U} f {\displaystyle f} f ∈ X ′ {\displaystyle f\in X^{\prime }} f ∈ U ∘ , {\displaystyle f\in U^{\circ },} U # ∩ X ′ = U ∘ ∩ X ′ = U ∘ {\displaystyle U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }} X ′ , {\displaystyle X^{\prime },} U ∘ {\displaystyle U^{\circ }}
  3. Покажите, что является - вполне ограниченным подмножеством По биполярной теореме , где, поскольку окрестность является поглощающим подмножеством того же самого, должно быть верно и для множества, можно доказать, что это влечет, что является - вполне ограниченным подмножеством Поскольку различает точки подмножества является -ограниченным тогда и только тогда, когда оно является - вполне ограниченным . Так, в частности, является также - вполне ограниченным. U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} X ′ : {\displaystyle X^{\prime }:} U ⊆ U ∘ ∘ {\displaystyle U\subseteq U^{\circ \circ }} U {\displaystyle U} X , {\displaystyle X,} U ∘ ∘ ; {\displaystyle U^{\circ \circ };} U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} X ′ . {\displaystyle X^{\prime }.} X {\displaystyle X} X ′ , {\displaystyle X^{\prime },} X ′ {\displaystyle X^{\prime }} σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
  4. Заключаем, что также является -полностью ограниченным подмножеством Напомним, что топология на идентична топологии подпространства, которая наследуется от Этот факт вместе с (3) и определением «полностью ограниченный» подразумевает, что является -полностью ограниченным подмножеством U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} σ ( X # , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)} X # : {\displaystyle X^{\#}:} σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} X ′ {\displaystyle X^{\prime }} X ′ {\displaystyle X^{\prime }} ( X # , σ ( X # , X ) ) . {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).} U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} σ ( X # , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)} X # . {\displaystyle X^{\#}.}
  5. Наконец, выведите, что является -компактным подмножеством Поскольку является полным TVS и является замкнутым (по (2)) и вполне ограниченным (по (4)) подмножеством его, то является компактным. U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} X ′ : {\displaystyle X^{\prime }:} ( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} ( X # , σ ( X # , X ) ) , {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right),} U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} ◼ {\displaystyle \blacksquare }

Если — нормированное векторное пространство , то поляра окрестности замкнута и ограничена по норме в сопряженном пространстве. В частности, если — открытый (или замкнутый) единичный шар в , то поляра — замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве ( с обычной дуальной нормой ). Следовательно, эту теорему можно специфицировать до: X {\displaystyle X} U {\displaystyle U} X {\displaystyle X} U {\displaystyle U} X ′ {\displaystyle X^{\prime }} X {\displaystyle X}

Теорема Банаха–Алаоглу  —  Если — нормированное пространство, то замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве (снабженном его обычной операторной нормой ) компактен относительно слабой-* топологии . X {\displaystyle X} X ′ {\displaystyle X^{\prime }}

Когда непрерывное сопряженное пространство является бесконечномерным нормированным пространством, то замкнутый единичный шар в не может быть компактным подмножеством, когда имеет свою обычную топологию нормы. Это происходит потому, что единичный шар в топологии нормы компактен тогда и только тогда, когда пространство конечномерно (ср. теорему Ф. Рисса ). Эта теорема является одним из примеров полезности наличия различных топологий на одном и том же векторном пространстве. X ′ {\displaystyle X^{\prime }} X {\displaystyle X} X ′ {\displaystyle X^{\prime }} X ′ {\displaystyle X^{\prime }}

Следует предупредить, что, несмотря на видимость, теорема Банаха–Алаоглу не подразумевает, что слабая-* топология локально компактна . Это происходит потому, что замкнутый единичный шар является только окрестностью начала координат в сильной топологии , но обычно не является окрестностью начала координат в слабой-* топологии, поскольку имеет пустую внутреннюю часть в слабой* топологии, если только пространство не конечномерно. Фактически, это результат Вейля, что все локально компактные хаусдорфовы топологические векторные пространства должны быть конечномерными.

Элементарное доказательство

Следующее элементарное доказательство не использует теорию двойственности и требует только базовых понятий из теории множеств, топологии и функционального анализа. Из топологии требуются практические знания о сходимости сетей в топологических пространствах и знакомство с тем фактом, что линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен в окрестности начала координат (подробнее см. статьи о непрерывных линейных функционалах и сублинейных функционалах ). Также требуется правильное понимание технических деталей того, как пространство всех функций формы определяется как декартово произведение , и взаимосвязи между поточечной сходимостью , топологией произведения и топологиями подпространств, которые они индуцируют на подмножествах, таких как алгебраическое сопряженное пространство и произведения подпространств, таких как Объяснение этих деталей сейчас дается для читателей, которым это интересно. K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}} X → K {\displaystyle X\to \mathbb {K} } ∏ x ∈ X K , {\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} ,} X # {\displaystyle X^{\#}} ∏ x ∈ X B r x . {\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}

Учебник по пространствам продуктов/функций, сетям и поточечной сходимости

Для каждого действительного числа будет обозначаться замкнутый шар радиуса с центром в и для любого r , {\displaystyle r,} B r   = def   { c ∈ K : | c | ≤ r } {\displaystyle B_{r}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{c\in \mathbb {K} :|c|\leq r\}} r {\displaystyle r} 0 {\displaystyle 0} r U   = def   { r u : u ∈ U } {\displaystyle rU~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{ru:u\in U\}} U ⊆ X , {\displaystyle U\subseteq X,}

Идентификация функций с кортежами

Декартово произведение обычно рассматривается как множество всех -индексированных кортежей , но, поскольку кортежи технически являются просто функциями из индексированного множества, его также можно отождествить с пространством всех функций, имеющих прототип, как теперь описано: ∏ x ∈ X K {\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} } X {\displaystyle X} s ∙ = ( s x ) x ∈ X {\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{x}\right)_{x\in X}} K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}} X → K , {\displaystyle X\to \mathbb {K} ,}

  • Функция Tuple → {\displaystyle \to } : Функция, принадлежащая идентифицируется своим ( -индексированным) « кортежем значений ». s : X → K {\displaystyle s:X\to \mathbb {K} } K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}} X {\displaystyle X} s ∙   = def   ( s ( x ) ) x ∈ X . {\displaystyle s_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~(s(x))_{x\in X}.}
  • Функция кортежа → {\displaystyle \to } : кортеж в идентифицируется с функцией , определенной с помощью ; «кортеж значений» этой функции является исходным кортежем s ∙ = ( s x ) x ∈ X {\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{x}\right)_{x\in X}} ∏ x ∈ X K {\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} } s : X → K {\displaystyle s:X\to \mathbb {K} } s ( x )   = def   s x {\displaystyle s(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~s_{x}} ( s x ) x ∈ X . {\displaystyle \left(s_{x}\right)_{x\in X}.}

Вот почему многие авторы пишут, часто без комментариев, о равенстве и почему декартово произведение иногда принимается за определение множества карт (или наоборот). Однако декартово произведение, будучи (категориальным) произведением в категории множеств (что является типом обратного предела ), также оснащено связанными картами, которые известны как его (координатные) проекции . K X = ∏ x ∈ X K {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} } ∏ x ∈ X K {\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} } K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}

Theканоническая проекция декартова произведения в заданной точке— это функция , где при указанной выше идентификациифункция отправляетсяв , выраженная словами, для точкии функции«подключениев» то же самое, что и «подключениев». z ∈ X {\displaystyle z\in X} Pr z : ∏ x ∈ X K → K  defined by  s ∙ = ( s x ) x ∈ X ↦ s z {\displaystyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} \quad {\text{ defined by }}\quad s_{\bullet }=\left(s_{x}\right)_{x\in X}\mapsto s_{z}} Pr z {\displaystyle \Pr {}_{z}} s : X → K {\displaystyle s:X\to \mathbb {K} } Pr z ( s )   = def   s ( z ) . {\displaystyle \Pr {}_{z}(s)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~s(z).} z {\displaystyle z} s , {\displaystyle s,} z {\displaystyle z} s {\displaystyle s} s {\displaystyle s} Pr z {\displaystyle \Pr {}_{z}}

В частности, предположим, что — неотрицательные действительные числа. Тогда где при указанной выше идентификации кортежей с функциями, есть множество всех функций, таких что для каждого ( r x ) x ∈ X {\displaystyle \left(r_{x}\right)_{x\in X}} ∏ x ∈ X B r x ⊆ ∏ x ∈ X K = K X , {\displaystyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}\subseteq \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X},} ∏ x ∈ X B r x {\displaystyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}} s ∈ K X {\displaystyle s\in \mathbb {K} ^{X}} s ( x ) ∈ B r x {\displaystyle s(x)\in B_{r_{x}}} x ∈ X . {\displaystyle x\in X.}

Если подмножество разбивается на то линейная биекция канонически идентифицирует эти два декартовых произведения; более того, это отображение является гомеоморфизмом , когда эти произведения наделены топологиями своих произведений. В терминах функциональных пространств эта биекция может быть выражена как U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} X {\displaystyle X} X = U ∪ ( X ∖ U ) {\displaystyle X=U\,\cup \,(X\setminus U)} H : ∏ x ∈ X K → ( ∏ u ∈ U K ) × ∏ x ∈ X ∖ U K ( f x ) x ∈ X ↦ ( ( f u ) u ∈ U , ( f x ) x ∈ X ∖ U ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}H:\;&&\prod _{x\in X}\mathbb {K} &&\;\to \;&\left(\prod _{u\in U}\mathbb {K} \right)\times \prod _{x\in X\setminus U}\mathbb {K} \\[0.3ex]&&\left(f_{x}\right)_{x\in X}&&\;\mapsto \;&\left(\left(f_{u}\right)_{u\in U},\;\left(f_{x}\right)_{x\in X\setminus U}\right)\\\end{alignedat}}} H : K X → K U × K X ∖ U f ↦ ( f | U , f | X ∖ U ) . {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}H:\;&&\mathbb {K} ^{X}&&\;\to \;&\mathbb {K} ^{U}\times \mathbb {K} ^{X\setminus U}\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&\left(f{\big \vert }_{U},\;f{\big \vert }_{X\setminus U}\right)\\\end{alignedat}}.}

Обозначение сетей и композиция функций с сетями

Сеть в по определению является функцией из непустого направленного множества Каждая последовательность , в которой по определению является просто функцией формы , также является сетью. Как и в последовательностях, значение сети в индексе обозначается как ; однако для этого доказательства это значение может также обозначаться обычной функцией в скобках Аналогично для композиции функций , если является любой функцией, то сеть (или последовательность), которая получается в результате «подключения к », является просто функцией, хотя обычно это обозначается как (или как , если является последовательностью). В доказательствах ниже эта результирующая сеть может обозначаться любым из следующих обозначений в зависимости от того, какое обозначение является наиболее чистым или наиболее ясно передает предполагаемую информацию. В частности, если является непрерывным и в , то заключение, обычно записываемое как , может быть записано как или x ∙ = ( x i ) i ∈ I {\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}} X {\displaystyle X} x ∙ : I → X {\displaystyle x_{\bullet }:I\to X} ( I , ≤ ) . {\displaystyle (I,\leq ).} X , {\displaystyle X,} N → X , {\displaystyle \mathbb {N} \to X,} x ∙ {\displaystyle x_{\bullet }} i ∈ I {\displaystyle i\in I} x i {\displaystyle x_{i}} x i {\displaystyle x_{i}} x ∙ ( i ) . {\displaystyle x_{\bullet }(i).} F : X → Y {\displaystyle F:X\to Y} x ∙ {\displaystyle x_{\bullet }} F {\displaystyle F} F ∘ x ∙ : I → Y , {\displaystyle F\circ x_{\bullet }:I\to Y,} ( F ( x i ) ) i ∈ I {\displaystyle \left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}} ( F ( x i ) ) i = 1 ∞ {\displaystyle \left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }} x ∙ {\displaystyle x_{\bullet }} F ( x ∙ ) = ( F ( x i ) ) i ∈ I   = def   F ∘ x ∙ , {\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right)=\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~F\circ x_{\bullet },} F : X → Y {\displaystyle F:X\to Y} x ∙ → x {\displaystyle x_{\bullet }\to x} X , {\displaystyle X,} ( F ( x i ) ) i ∈ I → F ( x ) {\displaystyle \left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to F(x)} F ( x ∙ ) → F ( x ) {\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right)\to F(x)} F ∘ x ∙ → F ( x ) . {\displaystyle F\circ x_{\bullet }\to F(x).}

Топология

Предполагается, что множество наделено топологией произведения . Хорошо известно, что топология произведения идентична топологии поточечной сходимости . Это происходит потому, что дана и сеть , где и каждый является элементом , то сеть сходится в топологии произведения тогда и только тогда, когда K X = ∏ x ∈ X K {\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} } f {\displaystyle f} ( f i ) i ∈ I , {\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I},} f {\displaystyle f} f i {\displaystyle f_{i}} K X = ∏ x ∈ X K , {\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} ,} ( f i ) i ∈ I → f {\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}\to f}

для каждого сеть сходится в z ∈ X , {\displaystyle z\in X,} Pr z ( ( f i ) i ∈ I ) → Pr z ( f ) {\displaystyle \Pr {}_{z}\left(\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)\to \Pr {}_{z}(f)} K , {\displaystyle \mathbb {K} ,}

где потому что и это происходит тогда и только тогда, когда Pr z ( f ) = f ( z ) {\displaystyle \;\Pr {}_{z}(f)=f(z)\;} Pr z ( ( f i ) i ∈ I )   = def   ( Pr z ( f i ) ) i ∈ I = ( f i ( z ) ) i ∈ I , {\textstyle \Pr {}_{z}\left(\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\Pr {}_{z}\left(f_{i}\right)\right)_{i\in I}=\left(f_{i}(z)\right)_{i\in I},}

для каждого сеть сходится в z ∈ X , {\displaystyle z\in X,} ( f i ( z ) ) i ∈ I → f ( z ) {\displaystyle \left(f_{i}(z)\right)_{i\in I}\to f(z)} K , {\displaystyle \mathbb {K} ,}

Таким образом, сходится к в топологии произведения тогда и только тогда, когда он сходится к поточечно на ( f i ) i ∈ I {\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} X . {\displaystyle X.}

Это доказательство также будет использовать тот факт, что топология поточечной сходимости сохраняется при переходе к топологическим подпространствам . Это означает, например, что если для каждого есть некоторое (топологическое) подпространство , то топология поточечной сходимости (или, что эквивалентно, топология произведения) на равна топологии подпространства , которую наследует множество , и если замкнуто в для каждого , то замкнутое подмножество x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} S x ⊆ K {\displaystyle S_{x}\subseteq \mathbb {K} } K {\displaystyle \mathbb {K} } ∏ x ∈ X S x {\textstyle \prod _{x\in X}S_{x}} ∏ x ∈ X S x {\textstyle \prod _{x\in X}S_{x}} ∏ x ∈ X K . {\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} .} S x {\displaystyle S_{x}} K {\displaystyle \mathbb {K} } x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} ∏ x ∈ X S x {\textstyle \prod _{x\in X}S_{x}} ∏ x ∈ X K . {\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} .}

Характеристика sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ r {\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r}

Важный факт, используемый в доказательстве, заключается в том, что для любого действительного числа , где обозначает супремум и В качестве примечания, эта характеристика не выполняется, если замкнутый шар заменить открытым (и замена строгим неравенством не изменит этого; в качестве контрпримеров рассмотрим и тождественное отображение на ). r , {\displaystyle r,} sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ r  if and only if  f ( U ) ⊆ B r {\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r\qquad {\text{ if and only if }}\qquad f(U)\subseteq B_{r}} sup {\displaystyle \,\sup \,} f ( U )   = def   { f ( u ) : u ∈ U } . {\displaystyle f(U)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{f(u):u\in U\}.} B r {\displaystyle B_{r}} { c ∈ K : | c | < r } {\displaystyle \{c\in \mathbb {K} :|c|<r\}} sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ r {\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq r\;} sup u ∈ U | f ( u ) | < r {\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|<r\;} X   = def   K {\displaystyle X~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\mathbb {K} } f   = def   Id {\displaystyle f~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\operatorname {Id} } X {\displaystyle X}

Суть теоремы Банаха–Алаоглу можно найти в следующем предложении, из которого следует теорема Банаха–Алаоглу. В отличие от теоремы Банаха–Алаоглу, это предложение не требует наделения векторного пространства какой-либо топологией. X {\displaystyle X}

Предложение [3]  —  Пусть будет подмножеством векторного пространства над полем (где ) и для каждого действительного числа наделим замкнутый шар его обычной топологией ( не обязательно наделять какой-либо топологией, но иметь свою обычную евклидову топологию ). Определим U {\displaystyle U} X {\displaystyle X} K {\displaystyle \mathbb {K} } K = R  or  K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {K} =\mathbb {C} } r , {\displaystyle r,} B r   = def   { s ∈ K : | s | ≤ r } {\textstyle B_{r}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}} X {\displaystyle X} K {\displaystyle \mathbb {K} } U #   = def   { f ∈ X #   :   sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 } . {\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}.}

Если для каждого — действительное число такое, что то — замкнутое и компактное подпространство пространства произведений (где, поскольку эта топология произведений идентична топологии поточечной сходимости , которая также называется слабой-* топологией в функциональном анализе, это означает, что является компактным в слабой-* топологии или «слабо-* компактным» для краткости). x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} r x > 0 {\displaystyle r_{x}>0} x ∈ r x U , {\displaystyle x\in r_{x}U,} U # {\displaystyle U^{\#}} ∏ x ∈ X B r x {\displaystyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}} U # {\displaystyle U^{\#}}

Прежде чем доказать вышеприведенное предложение, сначала покажем, как из него следует теорема Банаха–Алаоглу (в отличие от предложения, теорема Банаха–Алаоглу предполагает, что является топологическим векторным пространством (TVS) и что является окрестностью начала координат). X {\displaystyle X} U {\displaystyle U}

Доказательство того, что Банах-Алаоглу следует из предложения выше

Предположим, что является топологическим векторным пространством с непрерывным дуальным пространством и что является окрестностью начала отсчета. Поскольку является окрестностью начала отсчета в , то это также поглощающее подмножество , поэтому для каждого существует действительное число такое, что Таким образом, гипотезы приведенного выше предложения выполнены, и поэтому множество является компактным в слабой-* топологии . Доказательство теоремы Банаха–Алаоглу будет завершено, как только будет показано, что [примечание 2] , где напомним, что было определено как X {\displaystyle X} X ′ {\displaystyle X^{\prime }} U {\displaystyle U} U {\displaystyle U} X , {\displaystyle X,} X , {\displaystyle X,} x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} r x > 0 {\displaystyle r_{x}>0} x ∈ r x U . {\displaystyle x\in r_{x}U.} U # {\displaystyle U^{\#}} U # = U ∘ , {\displaystyle U^{\#}=U^{\circ },} U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} U ∘   = def   { f ∈ X ′   :   sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 }   =   U # ∩ X ′ . {\displaystyle U^{\circ }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~U^{\#}\cap X^{\prime }.}

Доказательство того, что U ∘ = U # : {\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}:} поскольку заключение эквивалентно Если тогда , которое точно утверждает, что линейный функционал ограничен в окрестности , следовательно, является непрерывным линейным функционалом (то есть ), как и требовалось. U ∘ = U # ∩ X ′ , {\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime },} U # ⊆ X ′ . {\displaystyle U^{\#}\subseteq X^{\prime }.} f ∈ U # {\displaystyle f\in U^{\#}} sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 , {\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,} f {\displaystyle f} U ; {\displaystyle U;} f {\displaystyle f} f ∈ X ′ {\displaystyle f\in X^{\prime }} ◼ {\displaystyle \blacksquare }

Доказательство предложения

Пространство произведения компактно по теореме Тихонова (поскольку каждый замкнутый шар является хаусдорфовым [примечание 3] компактным пространством ). Поскольку замкнутое подмножество компактного пространства компактно, доказательство предложения будет полным, как только будет показано, что является замкнутым подмножеством Следующие утверждения гарантируют этот вывод: ∏ x ∈ X B r x {\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}} B r x   = def   { s ∈ K : | s | ≤ r x } {\displaystyle B_{r_{x}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r_{x}\}} U #   = def   { f ∈ X #   :   sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 }   =   { f ∈ X #   :   f ( U ) ⊆ B 1 } {\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}} ∏ x ∈ X B r x . {\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}

  1. U # ⊆ ∏ x ∈ X B r x . {\displaystyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}
  2. U # {\displaystyle U^{\#}} является замкнутым подмножеством пространства продуктов ∏ x ∈ X K = K X . {\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}.}

Доказательство (1) :

Для любого пусть обозначает проекцию на th координату (как определено выше). Чтобы доказать, что достаточно (и необходимо) показать, что для каждого So зафиксируем и пусть Because остается показать, что Напомним, что было определено в утверждении предложения как любое положительное действительное число, которое удовлетворяет (так, например, было бы допустимым выбором для каждого ), что подразумевает , что Because является положительной однородной функцией, которая удовлетворяет z ∈ X , {\displaystyle z\in X,} Pr z : ∏ x ∈ X K → K {\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} } z {\displaystyle z} U # ⊆ ∏ x ∈ X B r x , {\textstyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}},} Pr x ( U # ) ⊆ B r x {\displaystyle \Pr {}_{x}\left(U^{\#}\right)\subseteq B_{r_{x}}} x ∈ X . {\displaystyle x\in X.} x ∈ X {\displaystyle x\in X} f ∈ U # . {\displaystyle f\in U^{\#}.} Pr x ( f ) = f ( x ) , {\displaystyle \Pr {}_{x}(f)\,=\,f(x),} f ( x ) ∈ B r x . {\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}}.} r x > 0 {\displaystyle r_{x}>0} x ∈ r x U {\displaystyle x\in r_{x}U} r u := 1 {\displaystyle r_{u}:=1} u ∈ U {\displaystyle u\in U} u x   = def   1 r x x ∈ U . {\displaystyle \,u_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\frac {1}{r_{x}}}\,x\in U.\,} f {\displaystyle f} sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 , {\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,} 1 r x | f ( x ) | = | 1 r x f ( x ) | = | f ( 1 r x x ) | = | f ( u x ) | ≤ sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1. {\displaystyle {\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.}

Таким образом, что показывает, что так и хотелось. | f ( x ) | ≤ r x , {\displaystyle |f(x)|\leq r_{x},} f ( x ) ∈ B r x , {\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}},}

Доказательство (2) :

Алгебраическое двойственное пространство всегда является замкнутым подмножеством (это доказано в лемме ниже для читателей, которые не знакомы с этим результатом). Множество замкнуто в топологии произведения на , поскольку оно является произведением замкнутых подмножеств Таким образом, является пересечением двух замкнутых подмножеств , что доказывает (2). [примечание 4] X # {\displaystyle X^{\#}} K X = ∏ x ∈ X K {\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} } U B 1 = def {                 f   ∈ K X         : sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 } = {                 f ∈ K X         : f ( u ) ∈ B 1  for all  u ∈ U } = { ( f x ) x ∈ X ∈ ∏ x ∈ X K   :     f u   ∈ B 1  for all  u ∈ U } = ∏ x ∈ X C x  where  C x   = def   { B 1  if  x ∈ U K  if  x ∉ U {\displaystyle {\begin{alignedat}{9}U_{B_{1}}&\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,{\Big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\ \in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}\\&={\big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\,\in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:f(u)\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\big \}}\\&={\Big \{}\left(f_{x}\right)_{x\in X}\in \prod _{x\in X}\mathbb {K} \,~:~\;~f_{u}~\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\Big \}}\\&=\prod _{x\in X}C_{x}\quad {\text{ where }}\quad C_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\begin{cases}B_{1}&{\text{ if }}x\in U\\\mathbb {K} &{\text{ if }}x\not \in U\\\end{cases}}\\\end{alignedat}}} ∏ x ∈ X K = K X {\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}} K . {\displaystyle \mathbb {K} .} U B 1 ∩ X # = U # {\displaystyle U_{B_{1}}\cap X^{\#}=U^{\#}} K X , {\displaystyle \mathbb {K} ^{X},} ◼ {\displaystyle \blacksquare }

Вывод о том, что множество замкнуто, можно также сделать, применив следующий более общий результат, на этот раз доказанный с использованием сетей, к частному случаю и U B 1 = { f ∈ K X : f ( U ) ⊆ B 1 } {\displaystyle U_{B_{1}}=\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}:f(U)\subseteq B_{1}\right\}} Y := K {\displaystyle Y:=\mathbb {K} } B := B 1 . {\displaystyle B:=B_{1}.}

Наблюдение : Если — любое множество и если — замкнутое подмножество топологического пространства , то — замкнутое подмножество в топологии поточечной сходимости. U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} B ⊆ Y {\displaystyle B\subseteq Y} Y , {\displaystyle Y,} U B   = def   { f ∈ Y X : f ( U ) ⊆ B } {\displaystyle U_{B}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{f\in Y^{X}:f(U)\subseteq B\right\}} Y X {\displaystyle Y^{X}}
Доказательство наблюдения : Пусть и предположим, что есть сеть в , которая поточечно сходится к Остается показать, что по определению означает Для любого поскольку в и каждое значение принадлежит замкнутому (в ) подмножеству, то и предел этой сети должен принадлежать этому замкнутому множеству; таким образом, что завершает доказательство. f ∈ Y X {\displaystyle f\in Y^{X}} ( f i ) i ∈ I {\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}} U B {\displaystyle U_{B}} f . {\displaystyle f.} f ∈ U B , {\displaystyle f\in U_{B},} f ( U ) ⊆ B . {\displaystyle f(U)\subseteq B.} u ∈ U , {\displaystyle u\in U,} ( f i ( u ) ) i ∈ I → f ( u ) {\displaystyle \left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)} Y {\displaystyle Y} f i ( u ) ∈ f i ( U ) ⊆ B {\displaystyle f_{i}(u)\in f_{i}(U)\subseteq B} Y {\displaystyle Y} B , {\displaystyle B,} f ( u ) ∈ B , {\displaystyle f(u)\in B,} ◼ {\displaystyle \blacksquare }

Лемма ( замкнута в ) X # {\displaystyle X^{\#}} K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}  —  Алгебраическое сопряженное пространство любого векторного пространства над полем (где есть или ) является замкнутым подмножеством в топологии поточечной сходимости. (Векторное пространство не обязательно должно быть наделено какой-либо топологией). X # {\displaystyle X^{\#}} X {\displaystyle X} K {\displaystyle \mathbb {K} } K {\displaystyle \mathbb {K} } R {\displaystyle \mathbb {R} } C {\displaystyle \mathbb {C} } K X = ∏ x ∈ X K {\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} } X {\displaystyle X}

Доказательство леммы

Пусть и предположим, что является сетью в сходится к в Чтобы заключить, что необходимо показать, что является линейным функционалом. Так что пусть будет скаляром и пусть f ∈ K X {\displaystyle f\in \mathbb {K} ^{X}} f ∙ = ( f i ) i ∈ I {\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}} X # {\displaystyle X^{\#}} f {\displaystyle f} K X . {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}.} f ∈ X # , {\displaystyle f\in X^{\#},} f {\displaystyle f} s {\displaystyle s} x , y ∈ X . {\displaystyle x,y\in X.}

Для любого обозначим сеть значений в Поскольку в , которая имеет топологию поточечной сходимости, в для каждого Используя вместо следует , что каждая из следующих сетей скаляров сходится в z ∈ X , {\displaystyle z\in X,} f ∙ ( z ) : I → K {\displaystyle f_{\bullet }(z):I\to \mathbb {K} } f ∙ {\displaystyle f_{\bullet }} z {\displaystyle z} f ∙ ( z )   = def   ( f i ( z ) ) i ∈ I . {\displaystyle f_{\bullet }(z)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(f_{i}(z)\right)_{i\in I}.} f ∙ → f {\displaystyle f_{\bullet }\to f} K X , {\displaystyle \mathbb {K} ^{X},} f ∙ ( z ) → f ( z ) {\displaystyle f_{\bullet }(z)\to f(z)} K {\displaystyle \mathbb {K} } z ∈ X . {\displaystyle z\in X.} x , y , s x ,  and  x + y , {\displaystyle x,y,sx,{\text{ and }}x+y,} z , {\displaystyle z,} K : {\displaystyle \mathbb {K} :} f ∙ ( x ) → f ( x ) , f ∙ ( y ) → f ( y ) , f ∙ ( x + y ) → f ( x + y ) ,  and  f ∙ ( s x ) → f ( s x ) . {\displaystyle f_{\bullet }(x)\to f(x),\quad f_{\bullet }(y)\to f(y),\quad f_{\bullet }(x+y)\to f(x+y),\quad {\text{ and }}\quad f_{\bullet }(sx)\to f(sx).}


Доказательство того, что Пусть будет отображением «умножения на », определяемым выражением Поскольку оно непрерывно и из него следует, что где правая часть — , а левая часть — , что доказывает, что Поскольку также и пределы в единственны, то отсюда следует, что и требовалось. f ( s x ) = s f ( x ) : {\displaystyle f(sx)=sf(x):} M : K → K {\displaystyle M:\mathbb {K} \to \mathbb {K} } s {\displaystyle s} M ( c )   = def   s c . {\displaystyle M(c)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~sc.} M {\displaystyle M} f ∙ ( x ) → f ( x ) {\displaystyle f_{\bullet }(x)\to f(x)} K , {\displaystyle \mathbb {K} ,} M ( f ∙ ( x ) ) → M ( f ( x ) ) {\displaystyle M\left(f_{\bullet }(x)\right)\to M(f(x))} M ( f ( x ) ) = s f ( x ) {\displaystyle M(f(x))=sf(x)} M ( f ∙ ( x ) ) = def   M ∘ f ∙ ( x )  by definition of notation  =   ( M ( f i ( x ) ) ) i ∈ I        because  f ∙ ( x ) = ( f i ( x ) ) i ∈ I : I → K =   ( s f i ( x ) ) i ∈ I M ( f i ( x ) )   = def   s f i ( x ) =   ( f i ( s x ) ) i ∈ I  by linearity of  f i =   f ∙ ( s x )  notation  {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}M\left(f_{\bullet }(x)\right){\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}&~M\circ f_{\bullet }(x)&&{\text{ by definition of notation }}\\=&~\left(M\left(f_{i}(x)\right)\right)_{i\in I}~~~&&{\text{ because }}f_{\bullet }(x)=\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}:I\to \mathbb {K} \\=&~\left(sf_{i}(x)\right)_{i\in I}&&M\left(f_{i}(x)\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~sf_{i}(x)\\=&~\left(f_{i}(sx)\right)_{i\in I}&&{\text{ by linearity of }}f_{i}\\=&~f_{\bullet }(sx)&&{\text{ notation }}\end{alignedat}}} f ∙ ( s x ) → s f ( x ) . {\displaystyle f_{\bullet }(sx)\to sf(x).} f ∙ ( s x ) → f ( s x ) {\displaystyle f_{\bullet }(sx)\to f(sx)} K {\displaystyle \mathbb {K} } s f ( x ) = f ( s x ) , {\displaystyle sf(x)=f(sx),}


Доказательство того, что Определим сеть , положив для каждого Поскольку и отсюда следует, что в Пусть будет отображением сложения, определяемым формулой Непрерывность подразумевает, что в , где правая часть равна , а левая часть равна , что доказывает, что Поскольку также следует, что и требовалось. f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) : {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y):} z ∙ = ( z i ) i ∈ I : I → K × K {\displaystyle z_{\bullet }=\left(z_{i}\right)_{i\in I}:I\to \mathbb {K} \times \mathbb {K} } z i   = def   ( f i ( x ) , f i ( y ) ) {\displaystyle z_{i}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(f_{i}(x),f_{i}(y)\right)} i ∈ I . {\displaystyle i\in I.} f ∙ ( x ) = ( f i ( x ) ) i ∈ I → f ( x ) {\displaystyle f_{\bullet }(x)=\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}\to f(x)} f ∙ ( y ) = ( f i ( y ) ) i ∈ I → f ( y ) , {\displaystyle f_{\bullet }(y)=\left(f_{i}(y)\right)_{i\in I}\to f(y),} z ∙ → ( f ( x ) , f ( y ) ) {\displaystyle z_{\bullet }\to (f(x),f(y))} K × K . {\displaystyle \mathbb {K} \times \mathbb {K} .} A : K × K → K {\displaystyle A:\mathbb {K} \times \mathbb {K} \to \mathbb {K} } A ( x , y )   = def   x + y . {\displaystyle A(x,y)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~x+y.} A {\displaystyle A} A ( z ∙ ) → A ( f ( x ) , f ( y ) ) {\displaystyle A\left(z_{\bullet }\right)\to A(f(x),f(y))} K {\displaystyle \mathbb {K} } A ( f ( x ) , f ( y ) ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle A(f(x),f(y))=f(x)+f(y)} A ( z ∙ )   = def   A ∘ z ∙ = ( A ( z i ) ) i ∈ I = ( A ( f i ( x ) , f i ( y ) ) ) i ∈ I = ( f i ( x ) + f i ( y ) ) i ∈ I = ( f i ( x + y ) ) i ∈ I = f ∙ ( x + y ) {\displaystyle A\left(z_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~A\circ z_{\bullet }=\left(A\left(z_{i}\right)\right)_{i\in I}=\left(A\left(f_{i}(x),f_{i}(y)\right)\right)_{i\in I}=\left(f_{i}(x)+f_{i}(y)\right)_{i\in I}=\left(f_{i}(x+y)\right)_{i\in I}=f_{\bullet }(x+y)} f ∙ ( x + y ) → f ( x ) + f ( y ) . {\displaystyle f_{\bullet }(x+y)\to f(x)+f(y).} f ∙ ( x + y ) → f ( x + y ) , {\displaystyle f_{\bullet }(x+y)\to f(x+y),} f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),} ◼ {\displaystyle \blacksquare }

Лемма выше фактически вытекает из ее следствия ниже, поскольку является хаусдорфовым полным равномерным пространством и любое подмножество такого пространства (в частности ) замкнуто тогда и только тогда, когда оно полно. ∏ x ∈ X K {\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} } X # {\displaystyle X^{\#}}

Следствие из леммы ( является слабо-* полным) X # {\displaystyle X^{\#}}  —  Когда алгебраическое сопряженное пространство векторного пространства снабжено топологией поточечной сходимости (также известной как слабо-* топология), то полученное топологическое пространство является полным хаусдорфовым локально выпуклым топологическим векторным пространством . X # {\displaystyle X^{\#}} X {\displaystyle X} σ ( X # , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)} ( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}

Доказательство следствия леммы

Поскольку базовое поле представляет собой полное хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство, то же самое верно и для пространства произведений. Замкнутое подмножество полного пространства является полным, поэтому по лемме это пространство является полным. K {\displaystyle \mathbb {K} } K X = ∏ x ∈ X K . {\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} .} ( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} ◼ {\displaystyle \blacksquare }


Приведенное выше элементарное доказательство теоремы Банаха–Алаоглу на самом деле показывает, что если — любое подмножество, удовлетворяющее (например, любое поглощающее подмножество ) , то — слабо-* компактное подмножество U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} X = ( 0 , ∞ ) U   = def   { r u : r > 0 , u ∈ U } {\displaystyle X=(0,\infty )U~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{ru:r>0,u\in U\}} X {\displaystyle X} U #   = def   { f ∈ X # : f ( U ) ⊆ B 1 } {\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{f\in X^{\#}:f(U)\subseteq B_{1}\right\}} X # . {\displaystyle X^{\#}.}

В качестве примечания, с помощью приведенного выше элементарного доказательства можно показать (см. эту сноску) [доказательство 1], что существуют -индексированные неотрицательные действительные числа, такие, что эти действительные числа также могут быть выбраны «минимальными» в следующем смысле: используя (как в доказательстве) и определяя обозначения для любого , если , то и для каждого , что показывает, что эти числа уникальны; действительно, эта формула инфимума может быть использована для их определения. X {\displaystyle X} m ∙ = ( m x ) x ∈ X {\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{x}\right)_{x\in X}} U ∘ = U # = X # ∩ ∏ x ∈ X B m x = X ′ ∩ ∏ x ∈ X B m x {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}U^{\circ }&=U^{\#}&&\\&=X^{\#}&&\cap \prod _{x\in X}B_{m_{x}}\\&=X^{\prime }&&\cap \prod _{x\in X}B_{m_{x}}\\\end{alignedat}}} m ∙ {\displaystyle m_{\bullet }} P   = def   U ∘ {\displaystyle P~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~U^{\circ }} P = U # {\displaystyle P=U^{\#}} ∏ B R ∙   = def   ∏ x ∈ X B R x {\displaystyle \prod B_{R_{\bullet }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\prod _{x\in X}B_{R_{x}}} R ∙ = ( R x ) x ∈ X ∈ R X , {\displaystyle R_{\bullet }=\left(R_{x}\right)_{x\in X}\in \mathbb {R} ^{X},} T P   = def   { R ∙ ∈ R X   :   P ⊆ ∏ B R ∙ } {\displaystyle T_{P}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{R_{\bullet }\in \mathbb {R} ^{X}~:~P\subseteq \prod B_{R_{\bullet }}\right\}} m ∙ ∈ T P {\displaystyle m_{\bullet }\in T_{P}} x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} m x = inf { R x : R ∙ ∈ T P } , {\displaystyle m_{x}=\inf \left\{R_{x}:R_{\bullet }\in T_{P}\right\},} m ∙ {\displaystyle m_{\bullet }}

В самом деле, если обозначает множество всех таких произведений замкнутых шаров, содержащих полярное множество , то где обозначает пересечение всех множеств, принадлежащих Box P {\displaystyle \operatorname {Box} _{P}} P , {\displaystyle P,} Box P ⁡   = def   { ∏ B R ∙   :   R ∙ ∈ T P }   =   { ∏ B R ∙   :   P ⊆ ∏ B R ∙ } , {\displaystyle \operatorname {Box} _{P}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\prod B_{R_{\bullet }}~:~R_{\bullet }\in T_{P}\right\}~=~\left\{\prod B_{R_{\bullet }}~:~P\subseteq \prod B_{R_{\bullet }}\right\},} ∏ B m ∙ = ∩ Box P ∈ Box P {\textstyle \prod B_{m_{\bullet }}=\cap \operatorname {Box} _{P}\in \operatorname {Box} _{P}} ⋂ Box P {\textstyle \bigcap \operatorname {Box} _{P}} Box P . {\displaystyle \operatorname {Box} _{P}.}

Это подразумевает (помимо прочего [примечание 5] ), что единственный наименьший элемент относительно этого может быть использован в качестве альтернативного определения этого (обязательно выпуклого и сбалансированного ) множества. Функция является полунормой и не изменяется, если заменяется выпуклой сбалансированной оболочкой ( потому что ). Аналогично, поскольку также не изменяется, если заменяется его замыканием в ∏ B m ∙ = ∏ x ∈ X B m x {\textstyle \prod B_{m_{\bullet }}=\prod _{x\in X}B_{m_{x}}} Box P {\displaystyle \operatorname {Box} _{P}} ⊆ ; {\displaystyle \,\subseteq ;} m ∙   = def   ( m x ) x ∈ X : X → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle m_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(m_{x}\right)_{x\in X}:X\to [0,\infty )} U {\displaystyle U} U {\displaystyle U} U # = [ cobal ⁡ U ] # {\displaystyle U^{\#}=[\operatorname {cobal} U]^{\#}} U ∘ = [ cl X ⁡ U ] ∘ , {\displaystyle U^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}U\right]^{\circ },} m ∙ {\displaystyle m_{\bullet }} U {\displaystyle U} X . {\displaystyle X.}

Последовательная теорема Банаха–Алаоглу

Частным случаем теоремы Банаха–Алаоглу является ее секвенциальная версия, которая утверждает, что замкнутый единичный шар двойственного пространства сепарабельного нормированного векторного пространства секвенциально компактен в топологии weak-*. Фактически, топология weak* на замкнутом единичном шаре двойственного пространства сепарабельного пространства метризуема , и, таким образом, компактность и секвенциальная компактность эквивалентны.

В частности, пусть будет сепарабельным нормированным пространством и замкнутым единичным шаром в Поскольку сепарабельно, пусть будет счетным плотным подмножеством. Тогда следующее определяет метрику, где для любого в , где обозначает сопряжение двойственности с Секвенциальная компактность в этой метрике может быть показана с помощью аргумента диагонализации, аналогичного тому, который использовался в доказательстве теоремы Арцела–Асколи . X {\displaystyle X} B {\displaystyle B} X ′ . {\displaystyle X^{\prime }.} X {\displaystyle X} x ∙ = ( x n ) n = 1 ∞ {\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }} x , y ∈ B {\displaystyle x,y\in B} ρ ( x , y ) = ∑ n = 1 ∞ 2 − n | ⟨ x − y , x n ⟩ | 1 + | ⟨ x − y , x n ⟩ | {\displaystyle \rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}}} ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } X ′ {\displaystyle X^{\prime }} X . {\displaystyle X.} B {\displaystyle B}

Из-за конструктивного характера доказательства (в отличие от общего случая, который основан на аксиоме выбора), последовательная теорема Банаха–Алаоглу часто используется в области уравнений с частными производными для построения решений дифференциальных уравнений в частных производных или вариационных задач . Например, если требуется минимизировать функционал на двойственном к сепарабельному нормированному векторному пространству, одна общая стратегия состоит в том, чтобы сначала построить минимизирующую последовательность , которая приближается к инфимуму использования последовательной теоремы Банаха–Алаоглу для извлечения подпоследовательности, которая сходится в слабой* топологии к пределу , а затем установить, что является минимизатором Для последнего шага часто требуется соблюдение (секвенциального) свойства полунепрерывности снизу в слабой* топологии. F : X ′ → R {\displaystyle F:X^{\prime }\to \mathbb {R} } X , {\displaystyle X,} x 1 , x 2 , … ∈ X ′ {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }} F , {\displaystyle F,} x , {\displaystyle x,} x {\displaystyle x} F . {\displaystyle F.} F {\displaystyle F}

Когда — пространство конечных мер Радона на вещественной прямой (то есть, по теореме Рисса о представлении , — пространство непрерывных функций, исчезающих на бесконечности ), то последовательная теорема Банаха–Алаоглу эквивалентна теореме выбора Хелли . X ′ {\displaystyle X^{\prime }} X = C 0 ( R ) {\displaystyle X=C_{0}(\mathbb {R} )}

Доказательство

Для каждого пусть и пусть будут наделены топологией произведения . Поскольку каждое является компактным подмножеством комплексной плоскости, теорема Тихонова гарантирует, что их произведение компактно. x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} D x = { c ∈ C : | c | ≤ ‖ x ‖ } {\displaystyle D_{x}=\{c\in \mathbb {C} :|c|\leq \|x\|\}} D = ∏ x ∈ X D x {\displaystyle D=\prod _{x\in X}D_{x}} D x {\displaystyle D_{x}} D {\displaystyle D}

Замкнутый единичный шар, обозначенный как , может быть естественным образом идентифицирован как подмножество : X ′ , {\displaystyle X^{\prime },} B 1 ′ , {\displaystyle B_{1}^{\,\prime },} D {\displaystyle D} F : B 1 ′ → D f ↦ ( f ( x ) ) x ∈ X . {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}F:\;&&B_{1}^{\,\prime }&&\;\to \;&D\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&(f(x))_{x\in X}.\\\end{alignedat}}}

Это отображение является инъективным и непрерывным, когда имеет топологию weak-* . Обратное отображение, определенное на его образе, также непрерывно. B 1 ′ {\displaystyle B_{1}^{\,\prime }}

Теперь будет показано, что изображение приведенной выше карты замкнуто, что завершит доказательство теоремы. Даны точка и сеть в изображении с индексом таким образом, что функционал, определенный с помощью , лежит в и λ ∙ = ( λ x ) x ∈ X ∈ D {\displaystyle \lambda _{\bullet }=\left(\lambda _{x}\right)_{x\in X}\in D} ( f i ( x ) ) x ∈ X {\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{x\in X}} F {\displaystyle F} i ∈ I {\displaystyle i\in I} lim i ( f i ( x ) ) x ∈ X → λ ∙  in  D , {\displaystyle \lim _{i}\left(f_{i}(x)\right)_{x\in X}\to \lambda _{\bullet }\quad {\text{ in }}D,} g : X → C {\displaystyle g:X\to \mathbb {C} } g ( x ) = λ x  for every  x ∈ X , {\displaystyle g(x)=\lambda _{x}\qquad {\text{ for every }}x\in X,} B 1 ′ {\displaystyle B_{1}^{\,\prime }} F ( g ) = λ ∙ . {\displaystyle F(g)=\lambda _{\bullet }.} ◼ {\displaystyle \blacksquare }

Последствия

Последствия для нормированных пространств

Предположим, что — нормированное пространство , и наделим его непрерывное сопряженное пространство обычной сопряженной нормой . X {\displaystyle X} X ′ {\displaystyle X^{\prime }}

  • Замкнутый единичный шар в является слабо-* компактным. [3] Таким образом, если является бесконечномерным, то его замкнутый единичный шар обязательно не является компактным в топологии нормы по теореме Ф. Рисса (несмотря на то, что он является слабо-* компактным). X ′ {\displaystyle X^{\prime }} X ′ {\displaystyle X^{\prime }}
  • Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда его замкнутый единичный шар -компакт ; это известно как теорема Джеймса . [3] σ ( X , X ′ ) {\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}
  • Если — рефлексивное банахово пространство , то каждая ограниченная последовательность в имеет слабо сходящуюся подпоследовательность. (Это следует из применения теоремы Банаха–Алаоглу к слабо метризуемому подпространству ; или, более кратко, из применения теоремы Эберлейна–Шмульяна .) Например, предположим, что — пространство Lp пространство , где и пусть удовлетворяет Пусть — ограниченная последовательность функций из Тогда существует подпоследовательность и такая, что Соответствующий результат для неверен, так как не рефлексивен. X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} L p ( μ ) {\displaystyle L^{p}(\mu )} 1 < p < ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } q {\displaystyle q} 1 p + 1 q = 1. {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.} f 1 , f 2 , … {\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots } X . {\displaystyle X.} ( f n k ) k = 1 ∞ {\displaystyle \left(f_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }} f ∈ X {\displaystyle f\in X} ∫ f n k g d μ → ∫ f g d μ  for all  g ∈ L q ( μ ) = X ′ . {\displaystyle \int f_{n_{k}}g\,d\mu \to \int fg\,d\mu \qquad {\text{ for all }}g\in L^{q}(\mu )=X^{\prime }.} p = 1 {\displaystyle p=1} L 1 ( μ ) {\displaystyle L^{1}(\mu )}

Последствия для гильбертовых пространств

  • В гильбертовом пространстве каждое ограниченное и замкнутое множество слабо относительно компактно, поэтому каждая ограниченная сеть имеет слабо сходящуюся подсеть (гильбертовы пространства рефлексивны ).
  • Будучи замкнутыми по норме, выпуклые множества слабо замкнуты ( теорема Хана–Банаха ), замыкания по норме выпуклых ограниченных множеств в гильбертовых пространствах или рефлексивных банаховых пространствах слабо компактны.
  • Замкнутые и ограниченные множества в являются предкомпактными относительно слабой операторной топологии (слабая операторная топология слабее сверхслабой топологии, которая, в свою очередь, является слабой-* топологией относительно предсопряженной топологии операторов класса следов ). Следовательно, ограниченные последовательности операторов имеют слабую точку накопления. Как следствие, обладает свойством Гейне–Бореля , если снабжено либо слабым оператором, либо сверхслабой топологией. B ( H ) {\displaystyle B(H)} B ( H ) , {\displaystyle B(H),} B ( H ) {\displaystyle B(H)}

Отношение к аксиоме выбора и другим утверждениям

Теорема Банаха–Алаоглу может быть доказана с помощью теоремы Тихонова , которая в рамках аксиоматики теории множеств Цермело–Френкеля ( ZF ) эквивалентна аксиоме выбора . Большая часть основного функционального анализа опирается на ZF + аксиому выбора, которая часто обозначается как ZFC . Однако теорема не опирается на аксиому выбора в сепарабельном случае (см. выше): в этом случае фактически существует конструктивное доказательство. В общем случае произвольного нормированного пространства лемма об ультрафильтре , которая строго слабее аксиомы выбора и эквивалентна теореме Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств, достаточна для доказательства теоремы Банаха–Алаоглу и фактически эквивалентна ей.

Теорема Банаха–Алаоглу эквивалентна лемме об ультрафильтре , которая влечет теорему Хана–Банаха для вещественных векторных пространств ( HB ), но не эквивалентна ей (иначе говоря, теорема Банаха–Алаоглу также строго сильнее, чем HB ). Однако теорема Хана–Банаха эквивалентна следующей слабой версии теоремы Банаха–Алаоглу для нормированного пространства [6] , в которой заключение о компактности (в слабой-* топологии замкнутого единичного шара сопряженного пространства) заменено заключением о квазикомпактности (иногда также называемой выпуклой компактностью );

Слабая версия теоремы Алаоглу [6]  — Пусть— нормированное пространство, а пустьобозначает замкнутый единичный шар егонепрерывного сопряженного пространства.Тогдаимеет следующее свойство, которое называется (слабым-*) X {\displaystyle X} B {\displaystyle B} X ′ . {\displaystyle X^{\prime }.} B {\displaystyle B} квазикомпактность иливыпуклая компактность :еслиявляется покрытиемвыпуклымислабо* замкнутымиподмножествамитакого, чтообладаетсвойством конечного пересечения, тонепусто. C {\displaystyle {\mathcal {C}}} B {\displaystyle B} X ′ {\displaystyle X^{\prime }} { B ∩ C : C ∈ C } {\displaystyle \{B\cap C:C\in {\mathcal {C}}\}} B ∩ ⋂ C ∈ C C {\displaystyle B\cap \bigcap _{C\in {\mathcal {C}}}C}

Компактность подразумевает выпуклую компактность, поскольку топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое семейство замкнутых подмножеств, обладающее свойством конечного пересечения (FIP), имеет непустое пересечение. Определение выпуклой компактности похоже на эту характеристику компактных пространств в терминах FIP, за исключением того, что оно включает только те замкнутые подмножества, которые также являются выпуклыми (а не все замкнутые подмножества).

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Явно, подмножество называется «компактным (соответственно, вполне ограниченным и т. д.) в слабой-* топологии», если при заданной слабой-* топологии и при заданной подмножеству топологии подпространства, унаследованной от , то оно является компактным (соответственно, вполне ограниченным и т. д.) пространством. B ′ ⊆ X ′ {\displaystyle B^{\prime }\subseteq X^{\prime }} X ′ {\displaystyle X^{\prime }} B ′ {\displaystyle B^{\prime }} ( X ′ , σ ( X ′ , X ) ) , {\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right),} B ′ {\displaystyle B^{\prime }}
  2. ^ Если обозначает топологию, которая (изначально) наделена, то равенство показывает, что поляра зависит только от (и ), а остальную часть топологии можно игнорировать. Чтобы прояснить, что имеется в виду, предположим, что есть любая топология TVS на , такая, что множество является (также) окрестностью начала координат в Обозначим непрерывное сопряженное пространство через и обозначим поляру относительно через так, что есть просто множество сверху. Тогда, поскольку оба эти множества равны Иначе говоря, определяющее «требование» полярного множества , чтобы оно было подмножеством непрерывного сопряженного пространства , несущественно и может быть проигнорировано, поскольку оно не оказывает никакого влияния на результирующий набор линейных функционалов. Однако, если есть топология TVS на , такая, что не является окрестностью начала координат в , то поляра относительно не гарантирует равенства , и поэтому топологию нельзя игнорировать. τ {\displaystyle \tau } X {\displaystyle X} U ∘ = U # {\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}} U ∘ = { f ∈ X ′   :   sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 } {\displaystyle U^{\circ }={\Big \{}f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}} U {\displaystyle U} U {\displaystyle U} X # {\displaystyle X^{\#}} τ {\displaystyle \tau } σ {\displaystyle \sigma } X {\displaystyle X} U {\displaystyle U} ( X , σ ) . {\displaystyle (X,\sigma ).} ( X , σ ) {\displaystyle (X,\sigma )} ( X , σ ) ′ {\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }} U {\displaystyle U} ( X , σ ) {\displaystyle (X,\sigma )} U ∘ , σ   = def   { f ∈ ( X , σ ) ′   :   sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 } {\displaystyle U^{\circ ,\sigma }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in (X,\sigma )^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}} U ∘ , τ {\displaystyle U^{\circ ,\tau }} U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} U ∘ , τ = U ∘ , σ {\displaystyle U^{\circ ,\tau }=U^{\circ ,\sigma }} U # . {\displaystyle U^{\#}.} U ∘ , σ {\displaystyle U^{\circ ,\sigma }} U ∘ , σ {\displaystyle U^{\circ ,\sigma }} ( X , σ ) ′ {\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }} ν {\displaystyle \nu } X {\displaystyle X} U {\displaystyle U} ( X , ν ) {\displaystyle (X,\nu )} U ∘ , ν {\displaystyle U^{\circ ,\nu }} U {\displaystyle U} ( X , ν ) {\displaystyle (X,\nu )} U # {\displaystyle U^{\#}} ν {\displaystyle \nu }
  3. ^ Поскольку каждое также является хаусдорфовым пространством , вывод о компактности требует только так называемой «теоремы Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств», которая эквивалентна лемме об ультрафильтре и строго слабее аксиомы выбора . B r x {\displaystyle B_{r_{x}}} ∏ x ∈ X B r x {\displaystyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}
  4. ^ Заключение можно записать как Множество , таким образом, может быть эквивалентно определено как Переписывание определения таким образом помогает сделать очевидным, что множество замкнуто в, поскольку это верно для X # . {\displaystyle X^{\#}.} U B 1 = ∏ x ∈ X C x {\displaystyle U_{B_{1}}=\prod _{x\in X}C_{x}} U B 1   =   ( ∏ u ∈ U B 1 ) × ∏ x ∈ X ∖ U K . {\displaystyle U_{B_{1}}~=~{\Big (}\prod _{u\in U}B_{1}{\Big )}\times \prod _{x\in X\setminus U}\mathbb {K} .} U # {\displaystyle U^{\#}} U #   = def   X # ∩ [ ( ∏ u ∈ U B 1 ) × ∏ x ∈ X ∖ U K ] . {\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X^{\#}\cap \left[{\Big (}\prod _{u\in U}B_{1}{\Big )}\times \prod _{x\in X\setminus U}\mathbb {K} \right].} U # {\displaystyle U^{\#}} ∏ x ∈ X K {\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }
  5. ^ Этот кортеж является наименьшим элементом относительно естественного индуцированного поточечного частичного порядка, определяемого соотношением тогда и только тогда, когда для каждого Таким образом, каждая окрестность начала координат в может быть сопоставлена ​​с этой единственной (минимальной) функцией Для любого , если таково, что то так что в частности, и для каждого m ∙   = def   ( m x ) x ∈ X {\displaystyle m_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(m_{x}\right)_{x\in X}} T P {\displaystyle T_{P}} R ∙ ≤ S ∙ {\displaystyle R_{\bullet }\leq S_{\bullet }} R x ≤ S x {\displaystyle R_{x}\leq S_{x}} x ∈ X . {\displaystyle x\in X.} U {\displaystyle U} X {\displaystyle X} m ∙ : X → [ 0 , ∞ ) . {\displaystyle m_{\bullet }:X\to [0,\infty ).} x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} r > 0 {\displaystyle r>0} x ∈ r U {\displaystyle x\in rU} m x ≤ r {\displaystyle m_{x}\leq r} m 0 = 0 {\displaystyle m_{0}=0} m u ≤ 1 {\displaystyle m_{u}\leq 1} u ∈ U . {\displaystyle u\in U.}

Доказательства

  1. ^ Для любого непустого подмножества равенство выполняется (пересечение слева является замкнутым, а не открытым, диском − возможно, радиуса − потому что оно является пересечением замкнутых подмножеств и, таким образом, само должно быть замкнутым). Для каждого пусть так, что предыдущее равенство множеств влечет Из следует, что и тем самым делая наименьшим элементом относительно (На самом деле, семейство замкнуто относительно (ненулевых ) произвольных пересечений, а также относительно конечных объединений по крайней мере одного множества). Элементарное доказательство показало, что и не пусты и, более того, оно также даже показало, что имеет элемент , который удовлетворяет для каждого , что влечет, что для каждого Включение является непосредственным; чтобы доказать обратное включение, пусть По определению, тогда и только тогда, когда так, пусть и остается показать, что Из следует, что влечет, что как и требовалось. A ⊆ [ 0 , ∞ ) , {\displaystyle A\subseteq [0,\infty ),} ∩ { B a : a ∈ A } = B inf A {\displaystyle \cap \left\{B_{a}:a\in A\right\}=B_{\inf _{}A}} 0 {\displaystyle 0} K {\displaystyle \mathbb {K} } x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} m x = inf { R x : R ∙ ∈ T P } {\displaystyle m_{x}=\inf _{}\left\{R_{x}:R_{\bullet }\in T_{P}\right\}} ∩ Box P = ⋂ R ∙ ∈ T P ∏ x ∈ X B R x = ∏ x ∈ X ⋂ R ∙ ∈ T P B R x = ∏ x ∈ X B m x . {\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}=\bigcap _{R_{\bullet }\in T_{P}}\prod _{x\in X}B_{R_{x}}=\prod _{x\in X}\bigcap _{R_{\bullet }\in T_{P}}B_{R_{x}}=\prod _{x\in X}B_{m_{x}}.} P ⊆ ∩ Box P {\displaystyle P\subseteq \cap \operatorname {Box} _{P}} m ∙ ∈ T P {\displaystyle m_{\bullet }\in T_{P}} ∩ Box P ∈ Box P , {\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}\in \operatorname {Box} _{P},} ∩ Box P {\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}} Box P {\displaystyle \operatorname {Box} _{P}} ⊆ . {\displaystyle \,\subseteq .\,} Box P {\displaystyle \operatorname {Box} _{P}} T P {\displaystyle T_{P}} Box P {\displaystyle \operatorname {Box} _{P}} T P {\displaystyle T_{P}} ( r x ) x ∈ X {\displaystyle \left(r_{x}\right)_{x\in X}} r u = 1 {\displaystyle r_{u}=1} u ∈ U , {\displaystyle u\in U,} m u ≤ 1 {\displaystyle m_{u}\leq 1} u ∈ U . {\displaystyle u\in U.} P   ⊆   ( ∩ Box P ) ∩ X ′   ⊆   ( ∩ Box P ) ∩ X # {\displaystyle P~\subseteq ~\left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\prime }~\subseteq ~\left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\#}} f ∈ ( ∩ Box P ) ∩ X # . {\displaystyle f\in \left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\#}.} f ∈ P   = def   U # {\displaystyle f\in P~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~U^{\#}} sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 , {\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,} u ∈ U {\displaystyle u\in U} | f ( u ) | ≤ 1. {\displaystyle |f(u)|\leq 1.} f ∈ ∩ Box P = ∏ B m ∙ , {\displaystyle f\in \cap \operatorname {Box} _{P}=\prod B_{m_{\bullet }},} f ( u ) = Pr u ( f ) ∈ Pr u ( ∏ x ∈ X B m x ) = B m u , {\displaystyle f(u)=\Pr {}_{u}(f)\in \Pr {}_{u}\left(\prod _{x\in X}B_{m_{x}}\right)=B_{m_{u}},} | f ( u ) | ≤ m u ≤ 1 , {\displaystyle |f(u)|\leq m_{u}\leq 1,} ◼ {\displaystyle \blacksquare }

Цитаты

  1. ^ Рудин 1991, Теорема 3.15.
  2. ^ abc Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 235–240.
  3. ^ abcdef Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 225–273.
  4. ^ Кёте 1983, Теорема (4) в §20.9.
  5. ^ Мейзе и Фогт 1997, Теорема 23.5.
  6. ^ Аб Белл, Дж.; Фремлин, Дэвид (1972). «Геометрическая форма аксиомы выбора» (PDF) . Фундамента Математика . 77 (2): 167–170. дои : 10.4064/fm-77-2-167-170 . Проверено 26 декабря 2021 г.

Ссылки

  • Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
  • Мейс, Рейнхольд; Фогт, Дитмар (1997). "Теорема 23.5". Введение в функциональный анализ . Оксфорд, Англия: Clarendon Press. стр. 264. ISBN 0-19-851485-9.
  • Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
  • Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277. См. теорему 3.15, стр. 68.
  • Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
  • Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
  • Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

Дальнейшее чтение

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Banach–Alaoglu_theorem&oldid=1247628930"