Групповая алгебра локально компактной группы

В функциональном анализе и смежных областях математики групповая алгебра — это любая из различных конструкций, позволяющих сопоставить локально компактной группе операторную алгебру (или, в более общем смысле, банахову алгебру ), так что представления алгебры связаны с представлениями группы. Как таковые, они подобны групповому кольцу , связанному с дискретной группой.

Если G — локально компактная группа Хаусдорфа , то G несет по существу единственную левоинвариантную счетно-аддитивную меру Бореля μ, называемую мерой Хаара . Используя меру Хаара, можно определить операцию свертки на пространстве C _c ( G ) комплекснозначных непрерывных функций на G с компактным носителем ; тогда C _c ( G ) может быть задана любая из различных норм , и пополнение будет групповой алгеброй.

Чтобы определить операцию свертки, пусть f и g будут двумя функциями в C _c ( G ). Для t в G , определим

${\displaystyle [f*g](t)=\int _{G}f(s)g\left(s^{-1}t\right)\,d\mu (s).}$

Тот факт, что является непрерывным, следует непосредственно из теоремы о доминирующей сходимости . Также${\displaystyle f*g}$

${\displaystyle \operatorname {Поддержка} (f*g)\subseteq \operatorname {Поддержка} (f)\cdot \operatorname {Поддержка} (g)}$

где точка обозначает произведение в G. C _c ( G ) также имеет естественную инволюцию, определяемую формулой:

${\displaystyle f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}\,\Дельта (s^{-1})}$

где Δ — модулярная функция на G. С этой инволюцией это *-алгебра .

Теорема. С нормой:

${\displaystyle \|f\|_{1}:=\int _{G}|f(s)|\,d\mu (s),}$

C _c ( G ) становится инволютивной нормированной алгеброй с приближенной единицей .

Приближенная идентичность может быть проиндексирована на основе соседства идентичности, состоящей из компактных множеств. Действительно, если V — компактная окрестность идентичности, пусть f _V — неотрицательная непрерывная функция, поддерживаемая в V, такая, что

${\displaystyle \int _{V}f_{V}(g)\,d\mu (g)=1.}$

Тогда { f _V } _V является приближенным тождеством. Групповая алгебра имеет тождество, в отличие от просто приблизительного тождества, тогда и только тогда, когда топология на группе является дискретной топологией .

Обратите внимание, что для дискретных групп C _c ( G ) — это то же самое, что и комплексное групповое кольцо C [ G ].

Важность групповой алгебры заключается в том, что она охватывает унитарную теорию представления G, как показано ниже.

Теорема. Пусть G — локально компактная группа. Если U — сильно непрерывное унитарное представление G в гильбертовом пространстве H , то

${\displaystyle \pi _{U}(f)=\int _{G}f(g)U(g)\,d\mu (g)}$

является невырожденным ограниченным *-представлением нормированной алгебры C _c ( G ). Отображение

${\displaystyle U\mapsto \pi _{U}}$

является биекцией между множеством сильно непрерывных унитарных представлений G и невырожденных ограниченных *-представлений C _c ( G ). Эта биекция соблюдает унитарную эквивалентность и сильное включение. В частности, π _U неприводимо тогда и только тогда, когда U неприводимо.

Невырожденность представления π группы C _c ( G ) в гильбертовом пространстве H _π означает, что

${\displaystyle \left\{\пи (f)\xi :f\in \operatorname {C} _{c}(G),\xi \in H_{\пи }\right\}}$

плотно в H _π .

Стандартная теорема теории меры гласит , что пополнение C _c ( G ) в норме L ¹ ( G ) изоморфно пространству L ¹ ( G ) классов эквивалентности функций, интегрируемых относительно меры Хаара , где, как обычно, две функции считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда они различаются только на множестве нулевой меры Хаара.

Теорема. L ¹ ( G ) — банахова *-алгебра со сверткой и инволюцией, определенными выше, и с нормой L ^1. L ¹ ( G ) также имеет ограниченную аппроксимативную единицу.

Пусть C [ G ] — групповое кольцо дискретной группы G .

Для локально компактной группы G групповая C*-алгебра C* ( G ) группы G определяется как C*-обертывающая алгебра L ¹ ( G ), т.е. пополнение C _c ( G ) относительно наибольшей C*-нормы:

${\displaystyle \|f\|_{C^{*}}:=\sup _{\pi }\|\pi (f)\|,}$

где π пробегает все невырожденные *-представления C _c ( G ) на гильбертовых пространствах. Когда G дискретна, из неравенства треугольника следует, что для любого такого π , имеем:

${\displaystyle \|\pi (f)\|\leq \|f\|_{1},}$

следовательно, норма четко определена.

Из определения следует, что когда G — дискретная группа, C* ( G ) обладает следующим универсальным свойством : любой *-гомоморфизм из C [ G ] в некоторую B ( H ) (C*-алгебру ограниченных операторов в некотором гильбертовом пространстве H ) пропускается через отображение включения :

${\displaystyle \mathbf {C} [G]\hookrightarrow C_{\max }^{*}(G).}$

Редуцированная групповая C*-алгебра C _r * ( G ) является пополнением C _c ( G ) относительно нормы

${\displaystyle \|f\|_{C_{r}^{*}}:=\sup \left\{\|f*g\|_{2}:\|g\|_{2}=1\right\},}$

где

${\displaystyle \|f\|_{2}={\sqrt {\int _{G}|f|^{2}\,d\mu }}}$

является нормой L ^2. Поскольку пополнение C _c ( G ) относительно нормы L ² является гильбертовым пространством, норма C _r * является нормой ограниченного оператора, действующего на L ² ( G ) посредством свертки с f и, таким образом, является C*-нормой.

Эквивалентно, C _r * ( G ) — это C*-алгебра, порожденная образом левого регулярного представления на ℓ ² ( G ).

В общем случае C _r * ( G ) является фактором C* ( G ). Приведенная групповая C*-алгебра изоморфна неприведенной групповой C*-алгебре, определенной выше, тогда и только тогда, когда G аменабельна .

Групповая алгебра фон Неймана W* ( G ) группы G является обертывающей алгеброй фон Неймана группы C* ( G ).

Для дискретной группы G можно рассмотреть гильбертово пространство ℓ ² ( G ), для которого G является ортонормированным базисом . Поскольку G действует на ℓ ² ( G ) путем перестановки базисных векторов, можно отождествить комплексное групповое кольцо C [ G ] с подалгеброй алгебры ограниченных операторов на ℓ ² ( G ). Слабое замыкание этой подалгебры, NG , является алгеброй фон Неймана .

Центр NG можно описать в терминах тех элементов G, класс сопряженности которых конечен. В частности, если единичный элемент G является единственным элементом группы с этим свойством (то есть G имеет свойство бесконечного класса сопряженности ), центр NG состоит только из комплексных кратных единичного.

NG изоморфен гиперконечному фактору типа II ₁ тогда и только тогда, когда G счетен, аменабельен и имеет свойство бесконечного класса сопряженности.

• Графовая алгебра
• Алгебра инцидентности
• Алгебра Гекке локально компактной группы
• Алгебра путей
• Группоидная алгебра
• Стереотипная алгебра
• Стереотипная групповая алгебра
• алгебра Хопфа

• Ланг, С. (2002). Алгебра. Выпускные тексты по математике. Springer. ISBN 978-1-4613-0041-0.
• Винберг, Э. (10 апреля 2003 г.). Курс алгебры. Аспирантура по математике. Том 56. Американское математическое общество. doi :10.1090/gsm/056. ISBN 978-0-8218-3413-8.
• Диксмье, Жак (1982). C*-алгебры. Северная Голландия. ISBN 978-0-444-86391-1.
• Кириллов, Александр А. (1976). Элементы теории представлений. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 220. Шпрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-3-642-66243-0. ISBN 978-3-642-66245-4.
• Лумис, Линн Х. (19 июля 2011 г.). Введение в абстрактный гармонический анализ (Dover Books on Mathematics) Линн Х. Лумис (2011) Мягкая обложка . Dover Publications. ISBN 978-0-486-48123-4.
• А.И. Штерн (2001) [1994], "Групповая алгебра локально компактной группы", Энциклопедия математики , Издательство EMS В данной статье использованы материалы из Group $C^*$-algebra на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .