*-алгебра

Математическая структура в абстрактной алгебре

В математике , а точнее в абстрактной алгебре , *-алгебра (или инволютивная алгебра ; читается как «звездная алгебра») — это математическая структура, состоящая из двух инволютивных колец $R$ и $A$ , где $R$ коммутативно, а $A$ имеет структуру ассоциативной алгебры над $R.$ Инволютивные алгебры обобщают идею числовой системы, снабженной сопряжением, например, комплексными числами и комплексным сопряжением , матрицами над комплексными числами и сопряженным транспонированием , а также линейными операторами над гильбертовым пространством и эрмитовыми сопряженными . Однако может случиться, что алгебра не допускает инволюции . ^[a]

Определения

*-кольцо

В математике *-кольцо — это кольцо с отображением $*: A \to A$ , которое является антиавтоморфизмом и инволюцией .

Точнее, $*$ требуется для удовлетворения следующих свойств: ^[1]

$(х + у)* = х * + у *$
$(х у)* = у * х *$
$1* = 1$
$(х *)* = х$

для всех $x, y$ в $A.$

Это также называется инволютивным кольцом , инволютивным кольцом и кольцом с инволюцией . Третья аксиома вытекает из второй и четвертой аксиом, что делает ее избыточной.

Элементы, такие что $x * = x,$ называются самосопряженными . ^[2]

Архетипичными примерами *-кольца являются поля комплексных чисел и алгебраических чисел с комплексным сопряжением в качестве инволюции. Можно определить полуторалинейную форму над любым *-кольцом.

Также можно определить *-версии алгебраических объектов, таких как идеал и подкольцо , с требованием быть * -инвариантными : $x \in I \Rightarrow x * \in I$ и так далее.

*-кольца не имеют отношения к звездчатым полукольцам в теории вычислений.

*-алгебра

* -алгебра $A$ — это *-кольцо, ^[b] с инволюцией *, которое является ассоциативной алгеброй над коммутативным *-кольцом $R$ с инволюцией $'$ , таким что $(r x)* = r' x * \forall r \in R, x \in A$ . ^[3]

Базой *-кольца $R$ часто являются комплексные числа (где $'$ выполняет функцию комплексного сопряжения).

Из аксиом следует, что * на $A$ сопряженно -линейно в $R$ , что означает

(λ x + μ y)* знак равно λ' x * + μ' y *

для $λ, μ \in R, x, y \in A.$

* -гомоморфизм $f : A \to B$ — это гомоморфизм алгебр , совместимый с инволюциями $A$ и $B$ , т. е.

$f (a *) = f (a)*$ для всех $a$ в $A$ .^[2]

Философия *-операции

*-операция на *-кольце аналогична комплексному сопряжению комплексных чисел. *-операция на *-алгебре аналогична взятию сопряженных элементов в комплексных матричных алгебрах .

Обозначение

Инволюция * — это унарная операция , которая записывается с помощью постфиксного символа звезды, расположенного по центру над средней линией или рядом с ней :

х \mapsto х *

, или

х \mapsto х *

( ТеХ :x^*),

но не как " $x *$ "; подробности см. в статье, посвященной звездочке .

Примеры

Любое коммутативное кольцо становится *-кольцом с тривиальной ( тождественной ) инволюцией.
Наиболее известным примером *-кольца и *-алгебры над действительными числами является поле комплексных чисел $C$ , где * — это просто комплексное сопряжение .
В более общем смысле, расширение поля , полученное присоединением квадратного корня (например, мнимой единицы √ −1 ), является *-алгеброй над исходным полем, рассматриваемым как тривиально-*-кольцо. * меняет знак этого квадратного корня.
Квадратичное целочисленное кольцо (для некоторого $D$ ) является коммутативным *-кольцом, где * определяется аналогичным образом; квадратичные поля являются *-алгебрами над соответствующими квадратичными целочисленными кольцами.
Кватернионы , расщепленные комплексные числа , дуальные числа и, возможно, другие гиперкомплексные числовые системы образуют *-кольца (со встроенной операцией сопряжения) и *-алгебры над вещественными числами (где * тривиально). Ни одна из трех не является комплексной алгеброй.
Кватернионы Гурвица образуют некоммутативное *-кольцо с кватернионным сопряжением.
Матричная алгебра матриц $n \times n$ над R с * , заданная транспозицией .
Матричная алгебра матриц $n \times n$ над C с *, заданная сопряженным транспонированием .
Его обобщение, эрмитов сопряженный оператор в алгебре ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве, также определяет *-алгебру.
Кольцо многочленов $R [x]$ над коммутативным тривиально-*-кольцом $R$ является *-алгеброй над $R$ с $P *(x) = P (- x)$ .
Если ( A , +, ×, *) одновременно является *-кольцом, алгеброй над кольцом R (коммутативной) и ( r x )* = r ( x *) ∀ r ∈ R , x ∈ A , то A является *-алгеброй над R (где * тривиально).
- В частном случае любое *-кольцо является *-алгеброй над целыми числами .
Любое коммутативное *-кольцо является *-алгеброй над собой и, в более общем случае, над любым своим *-подкольцом.
Для коммутативного *-кольца R его фактор по любому его *-идеалу является *-алгеброй над R.
- Например, любое коммутативное тривиально-*-кольцо является *-алгеброй над своим кольцом двойственных чисел , *-кольцом с нетривиальным *, поскольку частное по $ε = 0$ образует исходное кольцо.
- То же самое касается коммутативного кольца $K$ и его кольца многочленов $K [x]$ : частное по $x = 0$ восстанавливает $K$ .
В алгебре Гекке инволюция важна для полинома Каждана-Люстига .
Кольцо эндоморфизмов эллиптической кривой становится *-алгеброй над целыми числами, где инволюция задается взятием двойственной изогении . Подобная конструкция работает для абелевых многообразий с поляризацией , в этом случае она называется инволюцией Розати (см. заметки Милна об абелевых многообразиях).

Инволютивные алгебры Хопфа являются важными примерами *-алгебр (с дополнительной структурой совместимого коумножения ); наиболее известным примером является:

Групповая алгебра Хопфа : групповое кольцо с инволюцией, заданной формулой $g \mapsto g -1$ .

Непример

Не каждая алгебра допускает инволюцию:

Рассмотрим матрицы 2×2 над комплексными числами. Рассмотрим следующую подалгебру: ${\mathcal {A}}:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}:a,b\in \mathbb {C} \right\}$

Любой нетривиальный антиавтоморфизм обязательно имеет вид: ^[4] для любого комплексного числа . $\varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}1&z\\0&0\end{pmatrix}}\quad \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$ $z\in \mathbb {C}$

Отсюда следует, что любой нетривиальный антиавтоморфизм не может быть инволютивным: $\varphi _{z}^{2}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

Заключаем, что подалгебра не допускает инволюции.

Дополнительные конструкции

Многие свойства транспонирования справедливы для общих *-алгебр:

Эрмитовы элементы образуют йорданову алгебру ;
Косые эрмитовы элементы образуют алгебру Ли ;
Если 2 обратим в *-кольце, то операторы $⁠ 1 / 2 ⁠ (1 + *)$ и $⁠$ $1 / 2 ⁠ (1 - *)$ являются ортогональными идемпотентами ,^[2] называемыми симметризирующими и антисимметризирующими , поэтому алгебра разлагается в прямую сумму модулей ( векторных пространств, если *-кольцо является полем) симметричных и антисимметричных (эрмитовых и косоэрмитовых) элементов. Эти пространства, как правило, не образуют ассоциативных алгебр, поскольку идемпотенты являются операторами , а не элементами алгебры.

Косые структуры

Для *-кольца также существует отображение $-* : x \mapsto - x *$ . Оно не определяет структуру *-кольца (если только характеристика не равна 2, в этом случае −* идентично исходному *), так как $1 \mapsto -1$ , и не является антимультипликативным, но удовлетворяет другим аксиомам (линейности, инволюции) и, следовательно, весьма похоже на *-алгебру, где $x \mapsto x *$ .

Элементы, фиксируемые этим отображением (т.е. такие, что $a = - a *$ ), называются косыми эрмитовыми .

Для комплексных чисел с комплексным сопряжением действительные числа являются эрмитовыми элементами, а мнимые числа — косыми эрмитовыми элементами.

Смотрите также

Примечания

^ В этом контексте под инволюцией понимается инволютивный антиавтоморфизм, также известный как антиинволюция .
^ Большинство определений не требуют, чтобы *-алгебра имела единство , т.е. *-алгебра может быть только * -rng .

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. (2015). «С-звездная алгебра». Вольфрам Математический мир .
^ abc Baez, John (2015). "Octonions". Кафедра математики . Калифорнийский университет, Риверсайд. Архивировано из оригинала 26 марта 2015 года . Получено 27 января 2015 года .
^ звездная алгебра в n Lab
^ Winker, SK; Wos, L.; Lusk, EL (1981). «Полугруппы, антиавтоморфизмы и инволюции: компьютерное решение открытой проблемы, I». Mathematics of Computation . 37 (156): 533–545. doi :10.2307/2007445. ISSN 0025-5718.

[1] В этом контексте под инволюцией понимается инволютивный антиавтоморфизм, также известный как антиинволюция .

[4] Большинство определений не требуют, чтобы *-алгебра имела единство , т.е. *-алгебра может быть только * -rng .

[2] Вайсштейн, Эрик В. (2015). «С-звездная алгебра». Вольфрам Математический мир .

[:0-3] Baez, John (2015). "Octonions". Кафедра математики . Калифорнийский университет, Риверсайд. Архивировано из оригинала 26 марта 2015 года . Получено 27 января 2015 года .

[5] звездная алгебра в n Lab

[6] Winker, SK; Wos, L.; Lusk, EL (1981). «Полугруппы, антиавтоморфизмы и инволюции: компьютерное решение открытой проблемы, I». Mathematics of Computation . 37 (156): 533–545. doi :10.2307/2007445. ISSN 0025-5718.