Единая норма

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Uniform norm" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2009) (Learn how and when to remove this message)

В математическом анализе равномерная норма (илиsup norm ) присваиваетдействительнымиликомплекснымограниченнымфункциям ⁠⁠,${\displaystyle f}$определенным намножестве ⁠⁠ ,${\displaystyle S}$неотрицательное число

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,|f(s)|:s\in S\,\right\}.}$

Эту норму также называютсупремум норма,Чебышевская норма,норма бесконечности ,или, когдасупремумфактически является максимумом,max norm . Название «равномерная норма» происходит от того факта, что последовательность функций⁠⁠${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$сходится к⁠⁠${\displaystyle f}$в метрике,полученной из равномерной нормы, тогда и только тогда, когда ⁠⁠${\displaystyle f_{n}}$сходится к⁠⁠${\displaystyle f}$ равномерно.^[1]

Если ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ — непрерывная функция на замкнутом и ограниченном интервале или, в более общем смысле, на компактном множестве, то она ограничена, и супремум в приведенном выше определении достигается теоремой Вейерштрасса об экстремальном значении , поэтому мы можем заменить супремум максимумом. В этом случае норма также называетсямаксимальная норма . В частности, если⁠⁠${\displaystyle x}$— некоторый вектор, такой чтовконечномерномкоординатномпространстве, он принимает вид:${\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$

Это называется -нормой .${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Равномерные нормы определяются, в общем случае, для ограниченных функций, имеющих значения в нормированном пространстве . Пусть будет множеством и пусть будет нормированным пространством . На множестве функций из в существует расширенная норма, определяемая как${\displaystyle X}$${\displaystyle (Y,\|\|_{Y})}$${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{Y}\in [0,\infty ].}$

Это в общем случае расширенная норма, поскольку функция может не быть ограниченной. Ограничение этой расширенной нормы ограниченными функциями (т. е. функциями с конечной выше расширенной нормой) дает (конечнозначную) норму, называемую равномерной нормой на . Обратите внимание, что определение равномерной нормы не опирается на какую-либо дополнительную структуру на множестве , хотя на практике часто является по крайней мере топологическим пространством .${\displaystyle f}$${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Сходимость на в топологии, индуцированной равномерной расширенной нормой, является равномерной сходимостью для последовательностей, а также для сетей и фильтров на .${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle Y^{X}}$

Мы можем определить замкнутые множества и замыкания множеств относительно этой метрической топологии; замкнутые множества в равномерной норме иногда называются равномерно замкнутыми , а замыкания — равномерными замыканиями . Равномерное замыкание множества функций A — это пространство всех функций, которые могут быть аппроксимированы последовательностью равномерно сходящихся функций на Например, одно из переформулирований теоремы Стоуна–Вейерштрасса заключается в том, что множество всех непрерывных функций на является равномерным замыканием множества полиномов на${\displaystyle A.}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,b].}$

Для комплексных непрерывных функций на компактном пространстве это превращает его в алгебру C* (ср. представление Гельфанда ).

Равномерная метрика между двумя ограниченными функциями из множества в метрическом пространстве определяется как${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))}$

Равномерная метрика также называетсяМетрика Чебышева , в честьПафнутия Чебышева, который первым систематически ее изучил. В этом случаеограничена точно, есликонечна для некоторойпостоянной функции. Если мы допускаем неограниченные функции, эта формула не дает нормы или метрики в строгом смысле, хотя полученная так называемаярасширенная метрикавсе еще позволяет определить топологию на рассматриваемом функциональном пространстве; сходимость тогда все еще являетсяравномерной сходимостью. В частности, последовательностьравномерно сходитсяк функциитогда и только тогда, когда${\displaystyle f}$${\displaystyle d(f,g)}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle \left\{f_{n}:n=1,2,3,\ldots \right\}}$ ${\displaystyle f}$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }d(f_{n},f)=0.\,}$$

Если является нормированным пространством , то оно является метрическим пространством естественным образом. Расширенная метрика на , индуцированная равномерной расширенной нормой, совпадает с равномерной расширенной метрикой${\displaystyle (Y,\|\|_{Y})}$${\displaystyle Y^{X}}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}\|f(x)-g(x)\|_{Y}}$

на${\displaystyle Y^{X}}$

Пусть будет множеством и пусть будет равномерным пространством . Говорят, что последовательность функций из в сходится равномерно к функции, если для каждого окружения существует натуральное число такое, что принадлежит всякий раз, когда и . Аналогично для сети. Это сходимость в топологии на . Фактически, множества${\displaystyle X}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}_{Y}}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle (f_{n}(x),f(x))}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$${\displaystyle Y^{X}}$

${\displaystyle \{(f,g)\colon \forall x\in X\colon (f(x),g(x))\in E\}}$

где пробегает окружения из образует фундаментальную систему окружений однородности на , называемую однородностью равномерной сходимости на . Равномерная сходимость — это в точности сходимость при ее равномерной топологии.${\displaystyle E}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle Y^{X}}$

Если — метрическое пространство , то оно по умолчанию снабжено метрической равномерностью. Метрическая равномерность на относительно равномерной расширенной метрики тогда является равномерностью равномерной сходимости на .${\displaystyle (Y,d_{Y})}$${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle Y^{X}}$

Множество векторов, бесконечная норма которых является заданной константой, образует поверхность гиперкуба с длиной ребра ${\displaystyle c,}$${\displaystyle 2c.}$

Причина использования нижнего индекса « » заключается в том, что всякий раз, когда является непрерывным и для некоторого , то где , где является областью определения ; интеграл представляет собой сумму, если является дискретным множеством (см. p -норму ).${\displaystyle \infty }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Vert f\Vert _{p}<\infty }$${\displaystyle p\in (0,\infty )}$$${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },}$$$${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}}$$${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$

• L-infinity  – Пространство ограниченных последовательностей
• Равномерная непрерывность  – Равномерное ограничение изменения функций
• Равномерное пространство  – топологическое пространство с понятием равномерных свойств.
• Расстояние Чебышева  – Математическая метрика