Список конечных простых групп

В математике классификация конечных простых групп утверждает, что каждая конечная простая группа является циклической , или знакопеременной , или принадлежит к одному из 16 семейств групп лиева типа , или к одной из 26 спорадических групп .

В списке ниже приведены все конечные простые группы вместе с их порядком , размером множителя Шура , размером внешней группы автоморфизмов , обычно некоторыми небольшими представлениями и списками всех дубликатов.

Следующая таблица представляет собой полный список 18 семейств конечных простых групп и 26 спорадических простых групп вместе с их порядками. Перечислены все непростые члены каждого семейства, а также все члены, дублирующиеся в семействе или между семействами. (При удалении дубликатов полезно отметить, что никакие две конечные простые группы не имеют одинакового порядка, за исключением групп A ₈  =  A ₃ (2) и A ₂ (4), обе из которых имеют порядок 20160, и что группа B _n ( q ) имеет тот же порядок, что и C _n ( q ) для нечетного q , n  > 2. Наименьшие из последних пар групп — это B ₃ (3) и C ₃ (3), обе из которых имеют порядок 4585351680.)

Существует досадный конфликт между обозначениями для знакопеременных групп A _n и групп лиевского типа A _n ( q ). Некоторые авторы используют различные шрифты для A _{n ,} чтобы различать их. В частности, в этой статье мы проводим различие, устанавливая знакопеременные группы A _n прямым шрифтом, а группы лиевского типа A _n ( q ) курсивом.

В дальнейшем n — положительное целое число, а q — положительная степень простого числа p с отмеченными ограничениями. Обозначение ( a , b ) представляет наибольший общий делитель целых чисел a и b .

Сорт	Семья	Заказ	Исключения	Дубликаты
Циклические группы	З п	p простое число	Никто	Никто
Переменные группы	А н н  > 4	${\displaystyle {\frac {n!}{2}}}$	Никто	А 5 ≃ А 1 (4) ≃ А 1 (5) А 6 ≃ А 1 (9) А 8 ≃ А 3 (2)
Классические группы Шевалле	А н ( д )	${\displaystyle {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)}$	А 1 (2), А 1 (3)	А 1 (4) ≃ А 1 (5) ≃ А 5 А 1 (7) ≃ А 2 (2) А 1 (9) ≃ А 6 А 3 (2) ≃ А 8
	B n ( q ) n  > 1	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)}$	Б 2 (2)	Bn ( 2m ) ≃ Cn ( 2m )​ В 2 (3) ≃ 2 А 3 (2 2 )
	С n ( q ) n  > 2	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)}$	Никто	C n (2 м ) ≃ B n (2 м )
	D n ( q ) n  > 3	${\displaystyle {\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}$	Никто	Никто
Исключительные группы Шевалли	Е 6 ( д )	${\displaystyle {\frac {q^{36}}{(3,q-1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-1\right)}$	Никто	Никто
	Е 7 ( д )	${\displaystyle {\frac {q^{63}}{(2,q-1)}}\prod _{i\in \{2,6,8,10,12,14,18\}}\left(q^{i}-1\right)}$	Никто	Никто
	Е 8 ( q )	${\displaystyle q^{120}\prod _{i\in \{2,8,12,14,18,20,24,30\}}\left(q^{i}-1\right)}$	Никто	Никто
	Ф 4 ( д )	${\displaystyle q^{24}\prod _{i\in \{2,6,8,12\}}\left(q^{i}-1\right)}$	Никто	Никто
	Г 2 ( д )	${\displaystyle q^{6}\prod _{i\in \{2,6\}}\left(q^{i}-1\right)}$	Г 2 (2)	Никто
Классические группы Штейнберга	2 А n ( q 2 ) n  > 1	${\displaystyle {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q+1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right)}$	2 А 2 (2 2 )	2 А 3 (2 2 ) ≃ Б 2 (3)
	2 D n ( q 2 ) n  > 3	${\displaystyle {\frac {q^{n(n-1)}}{(4,q^{n}+1)}}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}$	Никто	Никто
Исключительные группы Steinberg	2 Е 6 ( д 2 )	${\displaystyle {\frac {q^{36}}{(3,q+1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-(-1)^{i}\right)}$	Никто	Никто
	3 Д 4 ( д 3 )	${\displaystyle q^{12}\left(q^{8}+q^{4}+1\right)\left(q^{6}-1\right)\left(q^{2}-1\right)}$	Никто	Никто
Группы Сузуки	2 B 2 ( q ) q  = 2 2 n +1	${\displaystyle q^{2}\left(q^{2}+1\right)\left(q-1\right)}$	Никто	Никто
Группы Ри + Группа Тит	2 F 4 ( q ) q  = 2 2 n +1	${\displaystyle q^{12}\left(q^{6}+1\right)\left(q^{4}-1\right)\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)}$	Никто	Никто
	2 Ф 4 (2)′	2 12 (2 6 + 1)(2 4 - 1)(2 3 + 1)(2 - 1)/2 =17 971 200
	2G2 ( q ) q = 32n + 1​​	${\displaystyle q^{3}\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)}$	Никто	Никто
Группы Матье	М 11	7920
	М 12	95 040
	М 22	443 520
	М 23	10 200 960
	М 24	244 823 040
Группы Янко	Дж 1	175 560
	Дж 2	604 800
	Дж 3	50 232 960
	Дж 4	86 775 571 046 077 562 880
Группы Конвея	Ко 3	495 766 656 000
	Ко 2	42 305 421 312 000
	Ко 1	4 157 776 806 543 360 000
Группы Фишера	Фи 22	64 561 751 654 400
	Фи 23	4 089 470 473 293 004 800
	Фи 24 ′	1 255 205 709 190 661 721 292 800
Группа Хигмана–Симса	ГС	44 352 000
Группа Маклафлина	МакЛ	898 128 000
Группа держалась	Он	4 030 387 200
Группа Рудвалис	Ру	145 926 144 000
спорадическая группа Сузуки	Сьюз	448 345 497 600
Группа О'Нан	НА	460 815 505 920
Группа Харада–Нортона	ХН	273 030 912 000 000
Лионская группа	Ли	51 765 179 004 000 000
Группа Томпсона	Чт	90 745 943 887 872 000
Группа Baby Monster	Б	4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000
Группа монстров	М	808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000

Простота: Простая, если p — простое число.

Заказ: п

Множитель Шура: тривиальный.

Группа внешних автоморфизмов: Циклическая порядка p  − 1.

Другие названия: Z/ p Z, C _p

Примечания: Это единственные простые группы, которые не являются идеальными .

Простота: разрешимо для n ≤ 4, в противном случае просто.

Порядок: n !/2 при n  > 1.

Множитель Шура: 2 для n  = 5 или n  > 7, 6 для n  = 6 или 7; см. Группы покрытия знакопеременных и симметричных групп

Внешняя группа автоморфизмов: В общем случае 2. Исключения: при n  = 1, n  = 2 она тривиальна, а при n  = 6 имеет порядок 4 (элементарная абелева).

Другие названия: Alt _n .

Изоморфизмы: A ₁ и A ₂ тривиальны. A ₃ цикличен порядка 3. A ₄ изоморфен A ₁ (3) (разрешим). A ₅ изоморфен A ₁ (4) и A ₁ (5). A ₆ изоморфен A ₁ (9) и производной группе B ₂ (2)′. A ₈ изоморфен A ₃ (2).

Примечания: Подгруппа индекса 2 симметрической группы перестановок n точек при n  > 1.

Обозначения: n — положительное целое число, q > 1 — степень простого числа p , и — порядок некоторого конечного поля . Порядок группы внешних автоморфизмов записывается как d ⋅ f ⋅ g , где d — порядок группы «диагональных автоморфизмов», f — порядок (циклической) группы «автоморфизмов полей» (порождённой автоморфизмом Фробениуса ), а g — порядок группы «автоморфизмов графов» (происходящей из автоморфизмов диаграммы Дынкина ). Группа внешних автоморфизмов часто, но не всегда, изоморфна полупрямому произведению , где все эти группы являются циклическими соответствующих порядков d, f, g , за исключением типа , нечётного, где группа порядка равна , и (только когда ) симметрической группы на трёх элементах. Обозначение ( a , b ) представляет собой наибольший общий делитель целых чисел a и b .${\displaystyle D\rtimes (F\times G)}$${\displaystyle D,F,G}$${\displaystyle D_{n}(q)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle d=4}$${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle G=S_{3}}$

	Группы Шевалле , A n ( q ) линейные группы	Группы Шевалле , B n ( q ) n  > 1 ортогональные группы	Группы Шевалле , C n ( q ) n  > 2 симплектические группы	Группы Шевалле , D n ( q ) n  > 3 ортогональные группы
Простота	Задачи A 1 (2) и A 1 (3) разрешимы, остальные — простые.	B 2 (2) не является простой, но ее производная группа B 2 (2)′ является простой подгруппой индекса 2; остальные являются простыми.	Все просто	Все просто
Заказ	${\displaystyle {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)}$	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)}$	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)}$	${\displaystyle {\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}$
Множитель Шура	Для простых групп это циклическая группа порядка ( n +1, q −1), за исключением A 1 (4) (порядок 2), A 1 (9) (порядок 6), A 2 (2) (порядок 2), A 2 (4) (порядок 48, произведение циклических групп порядков 3, 4, 4), A 3 (2) (порядок 2).	(2, q −1) за исключением B 2 (2) = S 6 (порядок 2 для B 2 (2), порядок 6 для B 2 (2)′) и B 3 (2) (порядок 2) и B 3 (3) (порядок 6).	(2, q −1) за исключением C 3 (2) (порядок 2).	Порядок равен (4, q n −1) (циклический для нечетных n , элементарная абелева для четных n ), за исключением D 4 (2) (порядок 4, элементарная абелева).
Группа внешних автоморфизмов	(2, q −1)⋅ f ⋅1 для n  = 1; ( n +1, q −1)⋅ f ⋅2 для n  > 1, где q  =  p f	(2, q −1)⋅ f ⋅1 для нечетного q или n  > 2; (2, q −1)⋅ f ⋅2 для четного q и n  = 2, где q  =  p f	(2, q −1)⋅ f ⋅1, где q  =  p f	(2, q −1) 2 ⋅ f ⋅ S 3 для n  = 4, (2, q −1) 2 ⋅ f ⋅2 для n  > 4 четных, (4, q n −1)⋅ f ⋅2 для n нечетных, где q  =  p f , а S 3 — симметрическая группа порядка 3! по 3 точкам.
Другие имена	Проективные специальные линейные группы , PSL n +1 ( q ), L n +1 ( q ), PSL( n + 1, q )	O 2 n +1 ( q ), Ω 2 n +1 ( q ) (для нечетного q ).	Проективная симплектическая группа, PSp 2 n ( q ), PSp n ( q ) (не рекомендуется), S 2 n ( q ), абелева группа (архаичная).	O 2 n + ( q ), PΩ 2 n + ( q ). « Гипоабелева группа » — архаичное название этой группы в характеристике 2.
Изоморфизмы	A 1 (2) изоморфна симметрической группе по 3 точкам порядка 6. A 1 (3) изоморфна знакопеременной группе A 4 (разрешимой). A 1 (4) и A 1 (5) обе изоморфны знакопеременной группе A 5 . A 1 (7) и A 2 (2) изоморфны. A 1 (8) изоморфна производной группе 2 G 2 (3)′. A 1 (9) изоморфна A 6 и производной группе B 2 (2)′. A 3 (2) изоморфна A 8 .	B n (2 m ) изоморфна C n (2 m ). B 2 (2) изоморфна симметрической группе по 6 точкам, а производная группа B 2 (2)′ изоморфна A 1 (9) и A 6 . B 2 (3) изоморфна 2 A 3 (2 2 ).	C n (2 m ) изоморфен B n (2 m )
Замечания	Эти группы получаются из общих линейных групп GL n +1 ( q ) путем взятия элементов определителя 1 (что дает специальные линейные группы SL n +1 ( q )) и последующего факторизации по центру.	Это группа, полученная из ортогональной группы в размерности 2 n + 1 путем взятия ядра определителя и спинорных норменных отображений. B 1 ( q ) также существует, но это то же самое, что и A 1 ( q ). B 2 ( q ) имеет нетривиальный графовый автоморфизм, когда q является степенью 2.	Эта группа получается из симплектической группы в 2 n измерениях путем факторизации центра. C 1 ( q ) также существует, но это то же самое, что и A 1 ( q ). C 2 ( q ) также существует, но это то же самое, что и B 2 ( q ).	Это группа, полученная из расщепленной ортогональной группы в размерности 2 n путем взятия ядра определителя (или инварианта Диксона в характеристике 2) и спинорных норменных отображений с последующим уничтожением центра. Группы типа D 4 имеют необычно большую группу автоморфизмов диаграмм порядка 6, содержащую автоморфизм триальности . D 2 ( q ) также существует, но это то же самое, что и A 1 ( q )× A 1 ( q ). D 3 ( q ) также существует, но это то же самое, что и A 3 ( q ).

	Группы Стейнберга , 2 A n ( q 2 ) n  > 1 унитарные группы	Группы Стейнберга , 2 D n ( q 2 ) n  > 3 ортогональные группы	Группы Штейнберга , 2 E 6 ( q 2 )	Группы Штейнберга , 3 D 4 ( q 3 )
Простота	2 Задача A 2 (2 2 ) разрешима, остальные простые.	Все просто	Все просто	Все просто
Заказ	${\displaystyle {1 \over (n+1,q+1)}q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right)}$	${\displaystyle {1 \over (4,q^{n}+1)}q^{n(n-1)}(q^{n}+1)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}$	q 36 ( q 12 −1)( q 9 +1)( q 8 −1) ( q 6 −1)( q 5 +1)( q 2 −1)/(3, q +1)	q 12 ( q 8 + q 4 +1)( q 6 −1)( q 2 −1)
Множитель Шура	Циклические порядка ( n +1, q +1) для простых групп, за исключением 2 A 3 (2 2 ) (порядок 2), 2 A 3 (3 2 ) (порядок 36, произведение циклических групп порядков 3,3,4), 2 A 5 (2 2 ) (порядок 12, произведение циклических групп порядков 2,2,3)	Циклический порядка (4, q n +1)	(3, q +1) за исключением 2 E 6 (2 2 ) (порядок 12, произведение циклических групп порядков 2,2,3).	Тривиальный
Группа внешних автоморфизмов	( n +1, q +1)⋅ f ⋅1, где q 2  =  p f	(4, q n +1)⋅ f ⋅1, где q 2  =  p f	(3, q +1)⋅ f ⋅1, где q 2  =  p f	1⋅ f ⋅1, где q 3  =  p f
Другие имена	Скрученная группа Шевалле, проективная специальная унитарная группа, PSU n +1 ( q ), PSU( n + 1, q ), U n +1 ( q ), 2 A n ( q ), 2 A n ( q , q 2 )	2 D n ( q ), O 2 n − ( q ), PΩ 2 n − ( q ), скрученная группа Шевалле. «Гипоабелева группа» — архаичное название этой группы в характеристике 2.	2 E 6 ( q ), скрученная группа Шевалле	3 D 4 ( q ), D 4 2 ( q 3 ), Скрученные группы Шевалле
Изоморфизмы	Разрешимая группа 2 A 2 (2 2 ) изоморфна расширению группы кватернионов порядка 8 с помощью элементарной абелевой группы порядка 9. 2 A 2 (3 2 ) изоморфна производной группе G 2 (2)′. 2 A 3 (2 2 ) изоморфна B 2 (3).
Замечания	Это получается из унитарной группы в n + 1 измерениях путем взятия подгруппы элементов определителя 1 и последующего факторизации по центру.	Это группа, полученная из нерасщепленной ортогональной группы в размерности 2 n путем взятия ядра определителя (или инварианта Диксона в характеристике 2) и спинорных норменных отображений с последующим уничтожением центра. 2 D 2 ( q 2 ) также существует, но совпадает с A 1 ( q 2 ). 2 D 3 ( q 2 ) также существует, но совпадает с 2 A 3 ( q 2 ).	Одно из исключительных двойных покрытий 2 E 6 (2 2 ) является подгруппой группы монстров-бэби, а исключительное центральное расширение элементарной абелевой группы порядка 4 является подгруппой группы монстров.	3 D 4 (2 3 ) действует на единственную четную 26-мерную решетку определителя 3 без корней.

Простота: Простая для n ≥ 1. Группа ² B ₂ (2) разрешима.

Порядок: q ² ( q ² + 1) ( q  − 1), где q  = 2 ^{2 n +1} .

Множитель Шура: тривиальный для n ≠ 1, элементарный абелев порядка 4 для ² B ₂ (8).

Группа внешних автоморфизмов:

1⋅ ф ⋅1,

где f  = 2n + 1.

Другие названия: Суз(2 ^{2 n +1} ), Сз(2 ^{2 n +1} ).

Изоморфизмы: ² B ₂ (2) — группа Фробениуса порядка 20.

Замечания: Группа Судзуки — это группа Цассенхауза, действующая на множествах размера (2 ^{2 n +1} ) ²  + 1, и имеющая 4-мерное представление над полем с 2 ^{2 n +1} элементами. Это единственные нециклические простые группы, порядок которых не делится на 3. Они не связаны со спорадической группой Судзуки.

Простота: Простая для n  ≥ 1. Производная группа ² F ₄ (2)′ является простой с индексом 2 в ² F ₄ (2) и называется группой Титса , названной в честь бельгийского математика Жака Титса .

Порядок: q ¹² ( q ⁶  + 1) ( q ⁴  − 1) ( q ³  + 1) ( q  − 1), где q  = 2 ^{2 n +1} .

Группа Титса имеет порядок 17971200 = 2 ¹¹ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 13.

Множитель Шура: тривиален для n  ≥ 1 и для группы Титса.

Группа внешних автоморфизмов:

1⋅ ф ⋅1,

где f  = 2 n  + 1. Порядок 2 для группы Титса.

Замечания: В отличие от других простых групп типа Ли, группа Титса не имеет пары BN , хотя ее группа автоморфизмов имеет, поэтому большинство авторов считают ее своего рода почетной группой типа Ли.

Простота: Простая для n  ≥ 1. Группа ² G ₂ (3) не является простой, но ее производная группа ² G ₂ (3)′ является простой подгруппой индекса 3.

Порядок: q ³ ( q ³  + 1) ( q  − 1), где q  = 3 ^{2 n +1}

Множитель Шура: тривиален для n  ≥ 1 и для ² G ₂ (3)′.

Группа внешних автоморфизмов:

1⋅ ф ⋅1,

где f  = 2n  + 1.

Другие названия: Ree(3 ^{2 n +1} ), R(3 ^{2 n +1} ), E ₂ ^∗ (3 ^{2 n +1} ) .

Изоморфизмы: Производная группа ^2G2 _{( 3} )′ изоморфна A1 ( 8).

Замечания: ² G ₂ (3 ^{2 n +1} ) имеет дважды транзитивное перестановочное представление на 3 ^{3(2 n +1)}  + 1 точках и действует на 7-мерном векторном пространстве над полем с 3 ^{2 n +1} элементами.

Порядок: 2 ⁹ ⋅ 3 ² ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000

Множитель Шура: Порядок 2.

Группа внешних автоморфизмов: Порядок 2.

Примечания: Он действует как группа перестановок ранга 3 на графе Хигмана-Симса со 100 точками и содержится в Co ₂ и в Co ₃ .

Заказ: 2 ⁷ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000

Множитель Шура: Порядок 3.

Группа внешних автоморфизмов: Порядок 2.

Примечания: Действует как группа перестановок ранга 3 на графе Маклафлина с 275 точками и содержится в Co ₂ и в Co ₃ .

Заказ: 2 ¹⁰ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ³ ⋅ 17 = 4030387200

Множитель Шура: тривиальный.

Группа внешних автоморфизмов: Порядок 2.

Другие названия: группа Хельда–Хигмана–Маккея, HHM, F ₇ , HTH

Примечания: Централизует элемент порядка 7 в группе монстров.

Порядок: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000

Множитель Шура: Порядок 2.

Группа внешних автоморфизмов: Тривиальная.

Замечания: Двойное покрытие действует на 28-мерную решетку над гауссовыми целыми числами .

Порядок: 2 ¹³ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600

Множитель Шура: Порядок 6.

Группа внешних автоморфизмов: Порядок 2.

Другие названия: Sz

Замечания: 6-кратное покрытие действует на 12-мерной решетке над целыми числами Эйзенштейна . Оно не связано с группами Сузуки типа Ли.

Порядок: 2 ⁹ ⋅ 3 ⁴ ⋅ 5 ⋅ 7 ³ ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920

Множитель Шура: Порядок 3.

Группа внешних автоморфизмов: Порядок 2.

Другие названия: группа О'Нана–Симса, О'НС, О–С

Замечания: Тройное покрытие имеет два 45-мерных представления над полем с 7 элементами, обмениваемыми внешним автоморфизмом.

Порядок: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000

Множитель Шура: тривиальный.

Группа внешних автоморфизмов: Порядок 2.

Другие названия: F ₅ , D

Примечания: Централизует элемент порядка 5 в группе монстров.

Порядок: 2 ⁸ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000

Множитель Шура: тривиальный.

Группа внешних автоморфизмов: Тривиальная.

Другие названия: группа Лайонса–Симса, LyS

Примечания: Имеет 111-мерное представление над полем с 5 элементами.

Заказ: 2 ¹⁵ ⋅ 3 ¹⁰ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ² ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000

Множитель Шура: тривиальный.

Группа внешних автоморфизмов: Тривиальная.

Другие названия _: F3 , E

Замечания: Централизует элемент порядка 3 в монстре. Имеет 248-мерное представление, которое при сокращении по модулю 3 приводит к включению в E ₈ (3).

Заказ:

   2 ⁴¹ ⋅ 3 ¹³ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ² ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47

= 4154781481226426191177580544000000

Множитель Шура: Порядок 2.

Группа внешних автоморфизмов: Тривиальная.

Другие названия _: F2

Замечания: Двойное покрытие содержится в группе монстров. Оно имеет представление размерности 4371 над комплексными числами (без нетривиального инвариантного произведения) и представление размерности 4370 над полем с 2 элементами, сохраняющими коммутативное, но неассоциативное произведение.

Заказ:

   2 ⁴⁶ ⋅ 3 ²⁰ ⋅ 5 ⁹ ⋅ 7 ⁶ ⋅ 11 ² ⋅ 13 ³ ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71

= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000

Множитель Шура: тривиальный.

Группа внешних автоморфизмов: Тривиальная.

Другие названия: F ₁ , M ₁ , Группа монстров, Дружелюбный великан, Монстр Фишера.

Замечания: Содержит все, кроме 6 других спорадических групп, в качестве подфакторов. Относится к monstrous moonshine . Монстр является группой автоморфизмов 196 883-мерной алгебры Грисса и бесконечномерной алгебры вершинных операторов монстра и действует естественным образом на алгебру Ли монстра .

(Заполните для заказов менее 100 000)

Холл (1972) перечисляет 56 нециклических простых групп порядка меньше миллиона.

• Список малых групп

• Простые группы типа Ли Роджера У. Картера , ISBN 0-471-50683-4 
• Конвей, Дж. Х .; Кертис, Р. Т.; Нортон, С. П.; Паркер, Р. А.; и Уилсон, Р. А .: « Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обычные характеры для простых групп ». Оксфорд, Англия, 1985.
• Дэниел Горенштейн , Ричард Лайонс, Рональд Соломон Классификация конечных простых групп (том 1), AMS, 1994 (том 3), AMS, 1998
• Холл, Маршалл-младший (1972), «Простые группы порядка менее миллиона», Журнал алгебры , 20 : 98–102, doi : 10.1016/0021-8693(72)90090-7 , ISSN  0021-8693, MR  0285603
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Graduate Texts in Mathematics 251, т. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, ЗБЛ  1203.20012
• Атлас представлений конечных групп: содержит представления и другие данные для многих конечных простых групп, включая спорадические группы.
• Порядки неабелевых простых групп до 10 ¹⁰ и далее до 10 ⁴⁸ с ограничениями по рангу.

• Порядки неабелевых простых групп до порядка 10 000 000 000.