Группа Янко J3
| Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
|---|
 |
В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Янко J 3 или группа Хигмана-Янко-Маккея HJM является спорадической простой группой порядка
- 2 7 · 3 5 · 5 · 17 · 19 = 50232960.
История и свойства
J 3 является одной из 26 спорадических групп и была предсказана Звонимиром Янко в 1969 году как одна из двух новых простых групп, имеющих 2 1+4 :A 5 в качестве централизатора инволюции (другая — группа Янко J 2 ). Существование J 3 было показано Грэмом Хигманом и Джоном Маккеем (1969).
В 1982 году Р. Л. Грисс показал, что J 3 не может быть подфактором группы -монстра . [1] Таким образом, это одна из 6 спорадических групп, называемых париями .
J 3 имеет внешнюю группу автоморфизмов порядка 2 и множитель Шура порядка 3, а его тройное покрытие имеет унитарное 9-мерное представление над конечным полем с 4 элементами. Вайс (1982) построил его с помощью базовой геометрии. Он имеет модулярное представление размерности восемнадцать над конечным полем с 9 элементами. Он имеет комплексное проективное представление размерности восемнадцать.
Конструкции
Использование матриц
J3 может быть построен с помощью многих различных генераторов . [2] Две из списка ATLAS представляют собой матрицы 18x18 над конечным полем порядка 9, при этом умножение матриц выполняется с помощью арифметики конечного поля :
и
Используя подгруппу PSL(2,16)
Группа автоморфизмов J 3 :2 может быть построена, начиная с подгруппы PSL(2,16):4 и присоединяя 120 инволюций, которые отождествляются с силовскими 17-подгруппами. Обратите внимание, что эти 120 инволюций являются внешними элементами J 3 :2. Затем определяется следующее отношение:
где - автоморфизм Фробениуса или порядок 4, а - уникальный 17-цикл, который посылает
Кертис показал с помощью компьютера, что этого соотношения достаточно для определения J 3 :2. [3]
Использование презентации
В терминах образующих a, b, c и d ее группа автоморфизмов J 3 :2 может быть представлена как
![{\displaystyle a^{17}=b^{8}=a^{b}a^{-2}=c^{2}=b^{c}b^{3}=(abc)^{4}=(ac)^{17}=d^{2}=[d,a]=[d,b]=(a^{3}b^{-3}cd)^{5}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d1b22df8960eecb0fa0cb95e013899c64d4e30)
Представление для J 3 в терминах (различных) генераторов a, b, c, d имеет вид
Максимальные подгруппы
Финкельштейн и Рудвалис (1974) нашли 9 классов сопряженности максимальных подгрупп J 3 следующим образом:
- ПСЛ(2,16):2, заказ 8160
- ПСЛ(2,19), порядок 3420
- PSL(2,19), сопряженный с предыдущим классом в J 3 :2
- 2 4 : (3 × A 5 ), заказ 2880
- ПСЛ(2,17), заказ 2448
- (3 × A 6 ):2 2 , порядок 2160 - нормализатор подгруппы порядка 3
- 3 2+1+2 :8, порядок 1944 - нормализатор силовской 3-подгруппы
- 2 1+4 :A 5 , порядок 1920 - централизатор инволюции
- 2 2+4 : (3 × S 3 ), порядок 1152
Ссылки
- ^ Грисс (1982): стр. 93: доказательство того, что J 3 является изгоем.
- ^ Страница ATLAS на J3
- ^ Брэдли, Дж. Д.; Кертис, РТ (2006), «Симметричное порождение и существование J 3 : 2, группы автоморфизмов третьей группы Янко», Журнал алгебры , 304 (1): 256–270, doi : 10.1016/j.jalgebra.2005.09.046
- Финкельштейн, Л.; Рудвалис, А. (1974), «Максимальные подгруппы простой группы Янко порядка 50 232 960», Журнал алгебры , 30 (1–3): 122–143, doi : 10.1016/0021-8693(74)90196-3 , ISSN 0021-8693, MR 0354846
- RL Griess , Jr., The Friendly Giant , Inventiones Mathematicae 69 (1982), 1-102. стр. 93: доказательство того, что J 3 является изгоем.
- Хигман, Грэм ; Маккей, Джон (1969), «О простой группе Янко порядка 50 232 960», Bull. London Math. Soc. , 1 : 89–94, исправление стр. 219, doi : 10.1112/blms/1.1.89, MR 0246955
- Z. Janko, Некоторые новые конечные простые группы конечного порядка , 1969 Symposia Mathematica (INDAM, Рим, 1967/68), т. 1, стр. 25–64, Academic Press, Лондон, и в The theory of final groups (под редакцией Brauer и Sah), стр. 63–64, Benjamin, 1969. MR 0244371
- Вайс, Ричард (1982). «Геометрическая конструкция группы Янко J 3 ». Mathematische Zeitschrift . 179 (179): 91–95. дои : 10.1007/BF01173917.
Внешние ссылки
- MathWorld: Группы Янко
- Атлас представлений конечных групп: J3 версия 2
- Атлас представлений конечных групп: J3 версия 3
