Группа внешних автоморфизмов

В математике внешняя группа автоморфизмов группы G — это фактор Aut( G ) / Inn( G ) , где Aut ( G ) — группа автоморфизмов группы G , а Inn( G ) — подгруппа, состоящая из внутренних автоморфизмов . Внешняя группа автоморфизмов обычно обозначается Out( G ) . Если Out( G ) тривиальна и G имеет тривиальный центр , то говорят, что G полная .

Автоморфизм группы, не являющийся внутренним, называется внешним автоморфизмом . ^[1] Смежные классы Inn( G ) относительно внешних автоморфизмов являются тогда элементами Out( G ) ; это пример того, что факторы групп, вообще говоря, не являются (изоморфными) подгруппами. Если группа внутренних автоморфизмов тривиальна (когда группа абелева), группа автоморфизмов и группа внешних автоморфизмов естественным образом отождествляются; то есть группа внешних автоморфизмов действует на группу.

Например, для знакопеременной группы , A _n , внешней группой автоморфизмов обычно является группа порядка 2, с исключениями, отмеченными ниже. Рассматривая A _n как подгруппу симметрической группы , S _n , сопряжение любой нечетной перестановкой является внешним автоморфизмом A _n или, точнее, «представляет класс (нетривиального) внешнего автоморфизма A _n », но внешний автоморфизм не соответствует сопряжению каким-либо конкретным нечетным элементом, и все сопряжения нечетными элементами эквивалентны с точностью до сопряжения четным элементом.

Гипотеза Шрайера утверждает, что Out( G ) всегда является разрешимой группой , когда G является конечной простой группой . Этот результат теперь известен как следствие классификации конечных простых групп , хотя более простое доказательство неизвестно.

Группа внешних автоморфизмов двойственна центру в следующем смысле: сопряжение элементом G является автоморфизмом, дающим отображение σ  : G → Aut( G ) . Ядро отображения сопряжения является центром, тогда как коядро является группой внешних автоморфизмов (а образ является группой внутренних автоморфизмов ). Это можно суммировать точной последовательностью

$${\displaystyle Z(G)\hookrightarrow G\, {\overset {\sigma }{\longrightarrow }}\,\mathrm {Aut} (G)\twoheadrightarrow \mathrm {Out} (G)}$$

Группа внешних автоморфизмов группы действует на классы сопряженности и, соответственно, на таблицу характеров . Подробности см. в таблице характеров: внешние автоморфизмы .

Группа внешних автоморфизмов важна в топологии поверхностей , поскольку существует связь, обеспечиваемая теоремой Дена–Нильсена : расширенная группа классов отображений поверхности является группой внешних автоморфизмов ее фундаментальной группы .

Для внешних групп автоморфизмов всех конечных простых групп см. список конечных простых групп . Спорадические простые группы и знакопеременные группы (кроме знакопеременной группы A ₆ ; см. ниже) все имеют внешние группы автоморфизмов порядка 1 или 2. Внешняя группа автоморфизмов конечной простой группы лиева типа является расширением группы «диагональных автоморфизмов» (циклических, за исключением D _n ( q ) , когда она имеет порядок 4), группы «полевых автоморфизмов» (всегда циклических) и группы «графовых автоморфизмов» (порядка 1 или 2, за исключением D ₄ ( q ) , когда она является симметрической группой на 3 точках). Эти расширения не всегда являются полупрямыми произведениями , как показывает случай знакопеременной группы A ₆ ; точный критерий того, что это происходит, был дан в 2003 году. ^[2]

Группа	Параметр	Вышел( Г )	| Выход( Г ) |
З		С 2	2 : тождество и внешний автоморфизм x ↦ − x
С н	п > 2	(ℤ/ н ℤ) ×	φ ( n ) =; один, соответствующий умножению на обратимый элемент вкольцеℤ/ n ℤ.${\displaystyle n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$
З п н	p простое, n > 1	ГЛ н ( п )	( п н − 1)( п н − п )( п н − п 2 )...( п н − п н −1 )
С н	н ≠ 6	С 1	1
С 6		С 2 (см. ниже)	2
А н	н ≠ 6	С 2	2
А 6		С2 × С2 (см. ниже )	4
ПСЛ 2 ( п )	p > 3 простое число	С 2	2
ПСЛ 2 (2 н .)	п > 1	С н	н
ПСЛ 3 (4) = М 21		Дих 6	12
М н	н ∈ {11, 23, 24}	С 1	1
М н	н ∈ {12, 22}	С 2	2
Кон​	n ∈ {1, 2, 3}	С 1	1

^{[ необходима ссылка ]}

Группа внешних автоморфизмов конечной простой группы в некотором бесконечном семействе конечных простых групп почти всегда может быть задана единой формулой, которая работает для всех элементов семейства. Из этого есть только одно исключение: ^[3] знакопеременная группа A ₆ имеет группу внешних автоморфизмов порядка 4, а не 2, как другие простые знакопеременные группы (заданные сопряжением нечетной перестановкой ) . Эквивалентно симметрическая группа S ₆ является единственной симметрической группой с нетривиальной группой внешних автоморфизмов.

${\displaystyle {\begin{aligned}n\neq 6:\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{n})&=\mathrm {C} _{1}\\n\geq 3,\ n \neq 6:\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})&=\mathrm {C} _{2}\\\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{6})& =\mathrm {C} _{2}\\\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{6})&=\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2} \end{выровнено}}}$

Обратите внимание, что в случае G = A ₆ = PSL(2, 9) последовательность 1 ⟶ G ⟶ Aut( G ) ⟶ Out( G ) ⟶ 1 не расщепляется. Аналогичный результат справедлив для любого PSL(2, q ² ) , q нечетно.

Пусть теперь G — связная редуктивная группа над алгебраически замкнутым полем . Тогда любые две подгруппы Бореля сопряжены внутренним автоморфизмом, поэтому для изучения внешних автоморфизмов достаточно рассмотреть автоморфизмы, которые фиксируют заданную подгруппу Бореля. С подгруппой Бореля связан набор простых корней , и внешний автоморфизм может переставлять их, сохраняя при этом структуру связанной диаграммы Дынкина . Таким образом, можно отождествить группу автоморфизмов диаграммы Дынкина группы G с подгруппой Out( G ) .

D ₄ имеет очень симметричную диаграмму Дынкина, которая дает большую внешнюю группу автоморфизмов Spin(8) , а именно Out(Spin(8)) = S ₃ ; это называется триальностью .

Предшествующая интерпретация внешних автоморфизмов как симметрий диаграммы Дынкина следует из общего факта, что для комплексной или действительной простой алгебры Ли 𝔤 группа автоморфизмов Aut( 𝔤 ) является полупрямым произведением Inn ( 𝔤 ) и Out( 𝔤 ) ; т. е. короткая точная последовательность

1 ⟶ Inn( 𝔤 ) ⟶ Aut( 𝔤 ) ⟶ Out( 𝔤 ) ⟶ 1

расщепляется. В сложном простом случае это классический результат, ^[4] тогда как для действительных простых алгебр Ли этот факт был доказан совсем недавно, в 2010 году. ^[5]

Термин внешний автоморфизм сам по себе допускает игру слов : термин внешний морфизм иногда используется для внешнего автоморфизма , а конкретная геометрия, на которую действует Out( F _n ), называется внешним пространством .

• Группа классов картографирования
• Вых( Ф _н )
• Космическое пространство

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  "Outer automorphism group" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( ноябрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

• АТЛАС представлений конечных групп-V3 содержит большой объем информации о различных классах конечных групп (в частности, о спорадических простых группах), включая порядок Out( G ) для каждой перечисленной группы.