Группа Янко J4

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Групповые действия Факторная группа (Полу) прямой продукт Прямая сумма Бесплатный продукт Венок продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение простой конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелев двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем по теории групп
Конечные группы Циклическая группа Z n Симметричная группа S n Переменная группа A n Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема Холла p -группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический
Дискретные группы Решетки Целые числа (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Бесплатная группа Модульные группы ПСЛ(2,${\displaystyle \mathbb {Z} }$) СЛ(2,${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общий линейный GL( n ) Специальный линейный SL( n ) Ортогональный O( n ) Евклидово E( n ) Специальный ортогональный SO( n ) Унитарное U( n ) Специальный унитарное SU( n ) Симплектический Sp( n ) Г 2 Ф 4 Е 6 Е 7 Е 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли О(∞) СУ(∞) Сп(∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редукционная группа Абелево многообразие Эллиптическая кривая
в т е

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Янко J ₄ представляет собой спорадическую простую группу порядка

   86,775,571,046,077,562,880

= 2 ²¹  · 3 ³  · 5  · 7  · 11 ³  · 23  · 29  · 31  · 37  · 43

≈ 9 × 10¹⁹ .

J ₄ является одной из 26 спорадических групп . Звонимир Янко нашел J ₄ в 1975 году, изучая группы с инволюционным централизатором вида 2 ^{1 + 12} .3.(M ₂₂ :2). Его существование и единственность были показаны с помощью компьютерных вычислений Саймоном П. Нортоном и другими в 1980 году. Он имеет модулярное представление размерности 112 над конечным полем с 2 элементами и является стабилизатором определенного 4995-мерного подпространства внешнего квадрата, факт, который Нортон использовал для его построения, и который является самым простым способом иметь с ним дело вычислительно. Ашбахер и Сегев (1991) и Иванов (1992) дали безкомпьютерные доказательства единственности. Иванов и Майефранкенфельд (1999) и Иванов (2004) дали безкомпьютерное доказательство существования, построив его как объединение групп 2 ¹⁰ :SL ₅ (2) и (2 ¹⁰ :2 ⁴ :A ₈ ):2 над группой 2 ¹⁰ :2 ⁴ :A ₈ .

Множитель Шура и внешняя группа автоморфизмов тривиальны .

Поскольку 37 и 43 не являются суперсингулярными простыми числами, J ₄ не может быть подчастным группы монстров . Таким образом, это одна из 6 спорадических групп, называемых париями .

Наименьшее точное комплексное представление имеет размерность 1333; существует два комплексно-сопряженных представления этой размерности. Наименьшее точное представление над любым полем — это 112-мерное представление над полем из 2 элементов.

Наименьшее представление перестановки имеет 173067389 точек и ранг 20, со стабилизатором точки в виде 2 ¹¹ :M ₂₄ . Точки можно отождествить с определенными «специальными векторами» в 112-мерном представлении.

Он имеет представление в терминах трех генераторов a, b и c как

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=b^{3}=c^{2}=(ab)^{23}=[a,b]^{12}=[a,bab]^{5}=[c,a]=\left((ab)^{2}ab^{-1}\right)^{3}\left(ab(ab^{-1})^{2}\right)^{3}=\left(ab\left(abab^{-1}\right)^{3}\right)^{4}\\&=\left[c,(ba)^{2}b^{-1}ab^{-1}(ab)^{3}\right]=\left(bc^{(bab^{-1}a)^{2}}\right)^{3}=\left((bababab)^{3}cc^{(ab)^{3}b(ab)^{6}b}\right)^{2}=1.\end{aligned}}}$

В качестве альтернативы можно начать с подгруппы M ₂₄ и присоединить 3975 инволюций, которые отождествляются с трио . При добавлении определенного отношения определенные продукты коммутирующих инволюций порождают бинарный кокод Голея , который распространяется на максимальную подгруппу 2 ¹¹ :M ₂₄ . Болт, Брей и Кертис показали, используя компьютер, что добавления всего лишь одного отношения достаточно для определения J ₄ .

Клейдман и Уилсон (1988) нашли 13 классов сопряженности максимальных подгрупп J ₄ , которые перечислены в таблице ниже.

Силовская 3-подгруппа группы J ₄ является группой Гейзенберга : порядок 27, неабелева, все нетривиальные элементы порядка 3.

• Ашбахер, Михаэль ; Сегев, Йоав (1991), «Уникальность групп типа J ₄ », Inventiones Mathematicae , 105 (3): 589–607, doi :10.1007/BF01232280, ISSN  0020-9910, MR  1117152, S2CID  121529060
• DJ Benson Простая группа J ₄ , докторская диссертация, Кембридж 1981, https://web.archive.org/web/20110610013308/http://www.maths.abdn.ac.uk/~bensondj/papers/b/benson/the-simple-group-J4.pdf
• Болт, Шон В.; Брей, Джон Р.; Кертис, Роберт Т. (2007), «Симметричное представление группы Янко J ₄ », Журнал Лондонского математического общества , 76 (3): 683–701, doi :10.1112/jlms/jdm086
• Иванов, А.А. (1992), "Презентация для J ₄ ", Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 64 (2): 369–396, doi :10.1112/plms/s3-64.2.369, ISSN  0024-6115, MR  1143229
• _{Иванов, А.А.; Майефранкенфельд, Ульрих (1999), "Построение J 4} без использования компьютера ", Журнал алгебры , 219 (1): 113–172, doi : 10.1006/jabr.1999.7851 , ISSN  0021-8693, MR  1707666
• Иванов, АА (2004). Четвертая группа Янко . Оксфордские математические монографии. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-852759-4.МР 2124803
• Z. Janko, Новая конечная простая группа порядка 86 775 570 046 077 562 880, которая обладает M ₂₄ и полной покрывающей группой M ₂₂ в качестве подгрупп , J. Algebra 42 (1976) 564-596. doi :10.1016/0021-8693(76)90115-0 (Название этой статьи неверно, поскольку позднее было обнаружено, что полная покрывающая группа M ₂₂ больше: центр порядка 12, а не 6.)
• Клейдман, Питер Б.; Уилсон, Роберт А. (1988), "Максимальные подгруппы J ₄ ", Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 56 (3): 484–510, doi :10.1112/plms/s3-56.3.484, ISSN  0024-6115, MR  0931511
• С. П. Нортон. Построение J ₄ на конференции в Санта-Крусе по конечным группам (ред. Куперстайн, Мейсон), Американское мат. общество, 1980.

• MathWorld: Группы Янко
• Атлас представлений конечных групп: J4 версия 2
• Атлас представлений конечных групп: J4 версия 3