Группа Рудвалис

Algebraic structure → Group theory Group theory
Basic notions Subgroup Normal subgroup Group action Quotient group (Semi-)direct product Direct sum Free product Wreath product Group homomorphisms kernel image simple finite infinite continuous multiplicative additive cyclic abelian dihedral nilpotent solvable Glossary of group theory List of group theory topics
Finite groups Cyclic group Zn Symmetric group Sn Alternating group An Dihedral group Dn Quaternion group Q Cauchy's theorem Lagrange's theorem Sylow theorems Hall's theorem p-group Elementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Classification of finite simple groups cyclic alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Рудвалиса Ru представляет собой спорадическую простую группу порядка

   145 926 144 000 = 2 ¹⁴  · 3 ³  · 5 ³  · 7  · 13  · 29

≈ 1 × 10¹¹ .

Ru — одна из 26 спорадических групп, была найдена Арунасом Рудвалисом  (1973, 1984) и построена Джоном Х. Конвеем и Дэвидом Б. Уэйлсом (1973). Ее множитель Шура имеет порядок 2, а ее внешняя группа автоморфизмов тривиальна.

В 1982 году Роберт Грайс показал, что Ru не может быть подфактором группы монстров . ^[1] Таким образом, это одна из 6 спорадических групп, называемых париями .

Группа Рудвалиса действует как группа перестановок ранга 3 на 4060 точках, причем одним стабилизатором точки является группа Ри ² F ₄ (2), группа автоморфизмов группы Титса . Это представление подразумевает сильно регулярный граф srg(4060, 2304, 1328, 1280). То есть, каждая вершина имеет 2304 соседа и 1755 не-соседей, любые две смежные вершины имеют 1328 общих соседей, в то время как любые две не-смежные имеют 1280 (Griess 1998, стр. 125).

Его двойное покрытие действует на 28-мерной решетке над гауссовыми целыми числами . Решетка имеет 4×4060 минимальных векторов; если минимальные векторы идентифицируются всякий раз, когда один из них равен 1, i , –1 или – i раз, то 4060 классов эквивалентности могут быть идентифицированы с точками представления перестановки ранга 3. Уменьшение этой решетки по модулю главного идеала

${\displaystyle (1+i)\ }$

дает действие группы Рудвалиса на 28-мерном векторном пространстве над полем с 2 элементами. Дункан (2006) использовал 28-мерную решетку для построения алгебры вершинных операторов, на которую действует двойное покрытие.${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

В качестве альтернативы, двойное покрытие можно определить абстрактно, начав с графа и подняв Ru до 2Ru в двойном покрытии 2A ₄₀₆₀ . Это происходит потому, что 1 из классов сопряженности инволюций не фиксирует ни одной точки. Такая инволюция разбивает 4060 точек графа на 2030 пар, которые можно рассматривать как 1015 двойных транспозиций в знакопеременной группе A ₄₀₆₀ . Поскольку 1015 нечетно, эти инволюции поднимаются до порядка 4 элементов в двойном покрытии 2A ₄₀₆₀ . Для получения дополнительной информации см. Группы покрытия знакопеременных и симметричных групп .

Паррот (1976) охарактеризовал группу Рудвалиса как централизатор центральной инволюции. Ашбахер и Смит (2004) дали другую характеристику в рамках своей идентификации группы Рудвалиса как одной из квазитонких групп .

Уилсон (1984) нашел 15 классов сопряженности максимальных подгрупп Ru следующим образом:

• Ашбахер, Майкл ; Смит, Стивен Д. (2004), Классификация квазитонких групп. I Структура сильно квазитонких K-групп, Математические обзоры и монографии, т. 111, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3410-7, МР  2097623
• Конвей, Джон Х.; Уэльс, Дэвид Б. (1973), «Построение простой группы Рудвалиса порядка 145926144000», Журнал алгебры , 27 (3): 538–548, doi : 10.1016/0021-8693(73)90063-X
• Джон Ф. Дункан (2008). «Самогон для спорадической группы Рудвалиса». arXiv : math/0609449v1 .
• Грисс, Роберт Л. (1982), «Дружелюбный гигант» (PDF) , Inventiones Mathematicae , 69 (1): 1–102, Бибкод : 1982InMat..69....1G, doi : 10.1007/BF01389186, hdl : 2027.42/46608
• Грисс, Роберт Л. (1998), Двенадцать спорадических групп , Springer-Verlag
• Паррот, Дэвид (1976), «Характеристика простой группы Рудвалиса», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 32 (1): 25–51, doi :10.1112/plms/s3-32.1.25, ISSN  0024-6115, MR  0390043
• Рудвалис, Арунас (1973), «Новая простая группа порядка 2 ¹⁴ 3 ³ 5 ³ 7 13 29», Notices of the American Mathematical Society (20): A–95
• Рудвалис, Арунас (1984), «Простая группа ранга 3 порядка 2¹⁴3³5³7.13.29. I», Журнал алгебры , 86 (1): 181–218, doi :10.1016/0021-8693(84)90063-2, ISSN  0021-8693, MR  0727376
• Рудвалис, Арунас (1984), «Простая группа G ранга 3 порядка 2¹⁴3³5³7.13.29. II. Характеры групп G и Ĝ», Журнал алгебры , 86 (1): 219–258, doi : 10.1016/0021-8693(84)90064-4 , ISSN  0021-8693, MR  0727377
• Уилсон, Роберт А. (1984), «Геометрия и максимальные подгруппы простых групп А. Рудвалиса и Дж. Титса», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 48 (3): 533–563, doi :10.1112/plms/s3-48.3.533, ISSN  0024-6115, MR  0735227

• MathWorld: Группа Рудвалис
• Атлас представлений конечных групп: группа Рудвалиса