Группа типа Ли

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Групповые действия Факторная группа (Полу) прямой продукт Прямая сумма Бесплатный продукт Венок продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение простой конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелев двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем по теории групп
Конечные группы Циклическая группа Z n Симметричная группа S n Переменная группа A n Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема Холла p -группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический
Дискретные группы Решетки Целые числа (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Бесплатная группа Модульные группы ПСЛ(2,${\displaystyle \mathbb {Z} }$) СЛ(2,${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общий линейный GL( n ) Специальный линейный SL( n ) Ортогональный O( n ) Евклидово E( n ) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

В математике , в частности в теории групп , фраза группа типа Ли обычно относится к конечным группам , которые тесно связаны с группой рациональных точек редуктивной линейной алгебраической группы со значениями в конечном поле . Фраза группа типа Ли не имеет общепринятого точного определения, ^[1] но важная коллекция конечных простых групп типа Ли имеет точное определение, и они составляют большинство групп в классификации конечных простых групп .

Название «группы типа Ли» обусловлено тесной связью с (бесконечными) группами Ли , поскольку компактную группу Ли можно рассматривать как рациональные точки редуктивной линейной алгебраической группы над полем действительных чисел . Дьедонне (1971) и Картер (1989) являются стандартными источниками для групп типа Ли.

Первоначальным подходом к этому вопросу было определение и детальное изучение так называемых классических групп над конечными и другими полями Жорданом (1870). Эти группы изучались Л. Е. Диксоном и Жаном Дьедонне . Эмиль Артин исследовал порядки таких групп с целью классификации случаев совпадения.

Классическая группа — это, грубо говоря, специальная линейная , ортогональная , симплектическая или унитарная группа . Существует несколько небольших вариаций этих групп, которые задаются путем взятия производных подгрупп или центральных факторов , причем последние дают проективные линейные группы . Они могут быть построены над конечными полями (или любым другим полем) во многом таким же образом, как они строятся над действительными числами. Они соответствуют рядам An _, B _n , C _n , D _n , ² An _, ² D _n групп Шевалле и Стейнберга.

Группы Шевалле можно рассматривать как группы Ли над конечными полями. Теория была прояснена теорией алгебраических групп и работой Шевалле  (1955) по алгебрам Ли, с помощью которой была выделена концепция группы Шевалле . Шевалле построил базис Шевалле (своего рода интегральную форму, но над конечными полями) для всех комплексных простых алгебр Ли (или, скорее, их универсальных обертывающих алгебр ), который можно использовать для определения соответствующих алгебраических групп над целыми числами. В частности, он мог брать их точки со значениями в любом конечном поле. Для алгебр Ли An _, Bn _, Cn _, Dn _{это дало} хорошо известные классические группы, но его конструкция также дала группы, связанные с исключительными алгебрами Ли E6 _, E7 _, E8 _, F4 и _G2 . Группы типа G ₂ (иногда называемые группами Диксона ) уже были построены Диксоном (1905), а группы типа E ₆ — Диксоном (1901).

Конструкция Шевалле не дала всех известных классических групп: она опустила унитарные группы и нерасщепляемые ортогональные группы . Штейнберг (1959) нашел модификацию конструкции Шевалле, которая дала эти группы и два новых семейства ³ D ₄ , ² E ₆ , второе из которых было открыто примерно в то же время с другой точки зрения Титсом (1958). Эта конструкция обобщает обычную конструкцию унитарной группы из общей линейной группы.

Унитарная группа возникает следующим образом: общая линейная группа над комплексными числами имеет диаграммный автоморфизм, заданный обращением диаграммы Дынкина A _n (что соответствует взятию обратного транспонирования), и полевой автоморфизм , заданный взятием комплексного сопряжения , которые коммутируют. Унитарная группа — это группа неподвижных точек произведения этих двух автоморфизмов.

Аналогично, многие группы Шевалле имеют автоморфизмы диаграмм, индуцированные автоморфизмами их диаграмм Дынкина , и автоморфизмы полей, индуцированные автоморфизмами конечного поля. Аналогично унитарному случаю, Стейнберг построил семейства групп, взяв неподвижные точки произведения диаграммы и автоморфизма поля.

Они дали:

• унитарные группы ² A _n , из автоморфизма порядка 2 группы A _n ;
• далее ортогональные группы ² D _n , из автоморфизма порядка 2 группы D _n ;
• новая серия ² E ₆ , из автоморфизма порядка 2 E ₆ ;
• новая серия ³ D ₄ , из автоморфизма порядка 3 D ₄ .

Группы типа ³ D ₄ не имеют аналога над действительными числами, поскольку комплексные числа не имеют автоморфизма порядка 3. ^{[ необходимо пояснение ]} Симметрии диаграммы D ₄ также приводят к триальности .

Suzuki  (1960) нашел новую бесконечную серию групп, которые на первый взгляд казались не связанными с известными алгебраическими группами. Ree  (1960, 1961) знал, что алгебраическая группа B ₂ имеет "дополнительный" автоморфизм в характеристике 2, квадрат которого был автоморфизмом Фробениуса . Он обнаружил, что если конечное поле характеристики 2 также имеет автоморфизм, квадрат которого был отображением Фробениуса, то аналог конструкции Стейнберга дал группы Судзуки. Поля с таким автоморфизмом имеют порядок 2 ^{2 n +1} , а соответствующие группы являются группами Судзуки

² B ₂ (2 ^{2 n +1} ) = Suz(2 ^{2 n +1} ).

(Строго говоря, группа Suz(2) не считается группой Сузуки, поскольку она не является простой: это группа Фробениуса порядка 20.) Ри удалось найти два новых похожих семейства

² Ф ₄ (2 ^{2 н +1} )

и

² Г ₂ (3 ^{2 н +1} )

простых групп, используя тот факт, что F ₄ и G ₂ имеют дополнительные автоморфизмы в характеристике 2 и 3. (Грубо говоря, в характеристике p разрешается игнорировать стрелку на связях кратности p на диаграмме Дынкина при взятии автоморфизмов диаграммы.) Наименьшая группа ² F ₄ (2) типа ² F ₄ не является простой, но имеет простую подгруппу индекса 2, называемую группой Титса (названной в честь математика Жака Титса ). Наименьшая группа ² G ₂ (3) типа ² G ₂ не является простой, но имеет простую нормальную подгруппу индекса 3, изоморфную A ₁ (8). В классификации конечных простых групп группы Ри

² Г ₂ (3 ^{2 н +1} )

являются теми, чью структуру сложнее всего определить явно. Эти группы также сыграли роль в открытии первой современной спорадической группы. Они имеют инволюционные централизаторы вида Z /2 Z × PSL(2, q ) для q = 3 ⁿ , и, исследуя группы с инволюционным централизатором похожего вида Z /2 Z × PSL(2, 5), Янко нашел спорадическую группу  J ₁ .

Группы Сузуки являются единственными конечными неабелевыми простыми группами, порядок которых не делится на 3. Они имеют порядок 2 ^{· 2(2 n +1)} (2 ^{· 2(2 n +1)} + 1)(2 ^{(2 n +1)} − 1).

Конечные группы типа Ли были одними из первых групп, которые рассматривались в математике, после циклических , симметрических и знакопеременных групп, с проективными специальными линейными группами над простыми конечными полями, PSL(2, p ), построенными Эваристом Галуа в 1830-х годах. Систематическое исследование конечных групп типа Ли началось с теоремы Камиля Жордана о том, что проективная специальная линейная группа PSL(2, q ) является простой для q ≠ 2, 3. Эта теорема обобщается на проективные группы более высоких размерностей и дает важное бесконечное семейство PSL( n , q ) конечных простых групп . Другие классические группы изучались Леонардом Диксоном в начале 20-го века. В 1950-х годах Клод Шевалле понял, что после соответствующей переформулировки многие теоремы о полупростых группах Ли допускают аналоги для алгебраических групп над произвольным полем k , что привело к построению того, что сейчас называется группами Шевалле . Более того, как и в случае компактных простых групп Ли, соответствующие группы оказались почти простыми как абстрактные группы ( теорема простоты Титса ). Хотя с 19 века было известно, что существуют и другие конечные простые группы (например, группы Матье ), постепенно сформировалось убеждение, что почти все конечные простые группы могут быть объяснены соответствующими расширениями конструкции Шевалле вместе с циклическими и знакопеременными группами. Более того, исключения, спорадические группы , разделяют многие свойства с конечными группами типа Ли и, в частности, могут быть построены и охарактеризованы на основе их геометрии в смысле Титса.

Теперь это убеждение стало теоремой – классификацией конечных простых групп . Изучение списка конечных простых групп показывает, что группы типа Ли над конечным полем включают все конечные простые группы, кроме циклических групп, знакопеременных групп, группы Титса и 26 спорадических простых групп .

В общем случае конечная группа, связанная с эндоморфизмом односвязной простой алгебраической группы, является универсальным центральным расширением простой группы, поэтому она совершенна и имеет тривиальный множитель Шура . Однако некоторые из наименьших групп в семействах выше либо несовершенны, либо имеют множитель Шура больше "ожидаемого".

Случаи, когда группа не идеальна, включают:

• A ₁ (2) = SL(2, 2) Разрешимая система порядка 6 (симметричная группа по 3 точкам)
• A ₁ (3) = PSL(2, 3) Разрешимая задача 12-го порядка (знакопеременная группа по 4 точкам)
• ² А ₂ (4) Решаемый
• B ₂ (2) Не совершенна, но изоморфна симметрической группе по 6 точкам, поэтому ее производная подгруппа имеет индекс 2 и является простой порядка 360.
• ² B ₂ (2) = Suz(2) Разрешимая порядка 20 (группа Фробениуса)
• ² F ₄ (2) Не идеальна, но производная группа имеет индекс 2 и является простой группой Титса .
• G ₂ (2) Несовершенна, но производная группа имеет индекс 2 и является простой с порядком 6048.
• ² G ₂ (3) Несовершенна, но производная группа имеет индекс 3 и является простой группой порядка 504.

Вот некоторые случаи, когда группа идеальна, но имеет множитель Шура больше ожидаемого:

• A ₁ (4) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• A ₁ (9) Множитель Шура имеет дополнительный Z /3 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 6 вместо 2.
• A ₂ (2) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• A ₂ (4) Множитель Шура имеет дополнительный Z /4 Z × Z /4 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 48 вместо 3.
• A ₃ (2) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• B ₃ (2) = C ₃ (2) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• B ₃ (3) Множитель Шура имеет дополнительный Z /3 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 6 вместо 2.
• D ₄ (2) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z × Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 4 вместо 1.
• F ₄ (2) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• G ₂ (3) Множитель Шура имеет дополнительный Z /3 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 3 вместо 1.
• G ₂ (4) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• ² A ₃ (4) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• ² A ₃ (9) Множитель Шура имеет дополнительный Z /3 Z × Z /3 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 36 вместо 4.
• ² A ₅ (4) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z × Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 12 вместо 3.
• ² E ₆ (4) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z × Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 12 вместо 3.
• ² B ₂ (8) Множитель Шура имеет дополнительный Z /2 Z × Z /2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 4 вместо 1.

Существует ошеломляющее количество «случайных» изоморфизмов между различными малыми группами типа Ли (и знакопеременными группами). Например, группы SL(2, 4), PSL(2, 5) и знакопеременная группа на 5 точках все изоморфны.

Полный список этих исключений см. в списке конечных простых групп . Многие из этих специальных свойств связаны с определенными спорадическими простыми группами.

Знакопеременные группы иногда ведут себя так, как если бы они были группами типа Ли над полем с одним элементом . Некоторые из малых знакопеременных групп также обладают исключительными свойствами. Знакопеременные группы обычно имеют внешнюю группу автоморфизмов порядка 2, но знакопеременная группа на 6 точках имеет внешнюю группу автоморфизмов порядка 4 . Знакопеременные группы обычно имеют множитель Шура порядка 2, но те, что на 6 или 7 точках имеют множитель Шура порядка 6 .

Для конечных групп типа Ли не существует стандартной системы обозначений, и в литературе можно найти десятки несовместимых и запутанных систем обозначений для них.

• Простая группа PSL( n , q ) обычно не совпадает с группой PSL( n , F _q ) точек со значениями F _q алгебраической группы PSL( n ). Проблема в том, что сюръективное отображение алгебраических групп, такое как SL( n ) → PSL( n ), не обязательно индуцирует сюръективное отображение соответствующих групп со значениями в некотором (не алгебраически замкнутом) поле. Аналогичные проблемы возникают с точками других алгебраических групп со значениями в конечных полях.
• Группы типа A _{n −1} иногда обозначаются как PSL( n , q ) (проективная специальная линейная группа) или как L ( n , q ).
• Группы типа C _n иногда обозначаются как Sp(2 n , q ) (симплектическая группа) или (что сбивает с толку) как Sp( n , q ).
• Обозначения для групп типа D _n («ортогональные» группы) особенно запутанны. Некоторые используемые символы — O( n , q ), O ⁻ ( n , q ), PSO( n , q ), Ω _n ( q ), но существует так много соглашений, что невозможно точно сказать, каким группам они соответствуют, без явного указания этого. Источник проблемы в том, что простая группа — это не ортогональная группа O и не проективная специальная ортогональная группа PSO, а скорее подгруппа PSO, ^[2] , которая, соответственно, не имеет классического обозначения. Особенно неприятная ловушка заключается в том, что некоторые авторы, такие как ATLAS , используют O( n , q ) для группы, которая является не ортогональной группой, а соответствующей простой группой. Обозначение Ω, PΩ было введено Жаном Дьедонне , хотя его определение не является простым для n ≤ 4, и поэтому то же самое обозначение может быть использовано для немного другой группы, которая согласуется при n ≥ 5, но не в меньшей размерности. ^[2]
• Для групп Стейнберга некоторые авторы пишут ² A _n ( q ² ) (и так далее) для группы, которую другие авторы обозначают ² A _n ( q ). Проблема в том, что задействованы два поля, одно порядка q ² , и его фиксированное поле порядка q , и у людей разные идеи о том, какие из них следует включить в обозначение. Соглашение « ² A _n ( q ² )» более логично и последовательно, но соглашение « ² A _n ( q )» гораздо более распространено и ближе к соглашению для алгебраических групп .
• Авторы расходятся во мнениях о том, являются ли такие группы, как A _n ( q ), группами точек со значениями в простой или односвязной алгебраической группе. Например, A _n ( q ) может означать либо специальную линейную группу SL( n +1, q ), либо проективную специальную линейную группу PSL( n +1, q ). Таким образом, ² A ₂ (4) может быть любой из 4 различных групп, в зависимости от автора.

• Теория Делиня–Люстига ( теория представлений конечных групп типа Ли)
• Модулярная алгебра Ли

• Картер, Роджер В. (1989) [1972], Простые группы типа Ли , Библиотека классических произведений Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50683-6, МР  0407163
• Шевалле, Клод (1955), «Sur некоторые простые группы», The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 7 (1–2): 14–66, doi : 10.2748/tmj/1178245104 , ISSN  0040-8735, MR  0073602
• Диксон, Леонард Юджин (1901б), «Теория линейных групп в произвольном поле», Transactions of the American Mathematical Society , 2 (4), Providence, RI: American Mathematical Society : 363–394, doi : 10.1090/S0002-9947-1901-1500573-3 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1986251, Перепечатано во II томе его сборника статей
• Диксон, Леонард Юджин (1901), «Класс групп в произвольной области, связанный с конфигурацией 27 прямых на кубической поверхности», The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 33 : 145–173, перепечатано в 5-м томе его собрания сочинений
• Диксон, Л. Э. (1905), «Новая система простых групп», Math. Ann. , 60 : 137–150, doi : 10.1007/BF01447497, S2CID  179178145Леонард Э. Диксон сообщил о группах типа G ₂
• Дьедонне, Жан А. (1971) [1955], La géométrie des groupes classiques (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-05391-2, МР  0310083
• Джордан, Камилла (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques, Париж: Готье-Виллар
• Ри, Римхак (1960), «Семейство простых групп, связанных с простой алгеброй Ли типа (G ₂ )», Бюллетень Американского математического общества , 66 (6): 508–510, doi : 10.1090/S0002-9904-1960-10523-X , ISSN  0002-9904, MR  0125155
• Ри, Римхак (1961), «Семейство простых групп, связанных с простой алгеброй Ли типа (F ₄ )», Бюллетень Американского математического общества , 67 : 115–116, doi : 10.1090/S0002-9904-1961-10527-2 , ISSN  0002-9904, MR  0125155
• Стейнберг, Роберт (1959), «Вариации на тему Шевалле», Pacific Journal of Mathematics , 9 (3): 875–891, doi : 10.2140/pjm.1959.9.875 , ISSN  0030-8730, MR  0109191
• Стейнберг, Роберт (1968), Лекции о группах Шевалле, Йельский университет, Нью-Хейвен, Коннектикут, MR  0466335, архивировано с оригинала 10 сентября 2012 г.
• Судзуки, Мичио (1960), «Новый тип простых групп конечного порядка», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 46 (6): 868–870, Bibcode : 1960PNAS...46..868S, doi : 10.1073/pnas.46.6.868 , ISSN  0027-8424, JSTOR  70960, MR  0120283, PMC  222949 , PMID  16590684
• Титс, Жак (1958), Les «formes réelles» групп типа E6, Séminaire Bourbaki; 10 лет: 1957/1958. Тексты конференций; Разоблачения 152–168; 2е изд. исправление, Exposé 162, том. 15, Париж: Математический секретариат, MR  0106247.