Группа Конвея Co3

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Групповые действия Факторная группа (Полу) прямой продукт Прямая сумма Бесплатный продукт Венок продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение простой конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелев двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем по теории групп
Конечные группы Cyclic group Zn Symmetric group Sn Alternating group An Dihedral group Dn Quaternion group Q Cauchy's theorem Lagrange's theorem Sylow theorems Hall's theorem p-group Elementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Classification of finite simple groups cyclic alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Конвея — это спорадическая простая группа порядка${\displaystyle \mathrm {Co} _{3}}$

   495,766,656,000

= 2 ¹⁰  · 3 ⁷  · 5 ³  · 7  · 11  · 23

≈ 5 × 10¹¹ .

${\displaystyle \mathrm {Co} _{3}}$является одной из 26 спорадических групп и была открыта Джоном Хортоном Конвеем  (1968, 1969) как группа автоморфизмов решетки Лича , фиксирующая вектор решетки типа 3, то есть длины √ 6 . Таким образом, она является подгруппой . Она изоморфна подгруппе . Прямое произведение максимально в .${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathrm {Co} _{0}}$${\displaystyle \mathrm {Co} _{1}}$${\displaystyle 2\times \mathrm {Co} _{3}}$${\displaystyle \mathrm {Co} _{0}}$

Множитель Шура и внешняя группа автоморфизмов тривиальны .

Co ₃ действует на единственную 23-мерную четную решетку определителя 4 без корней, заданную ортогональным дополнением вектора нормы 4 решетки Лича. Это дает 23-мерные представления над любым полем; над полями характеристики 2 или 3 это может быть сведено к 22-мерному точному представлению.

Co ₃ имеет дважды транзитивное перестановочное представление на 276 точках.

Уолтер Фейт  (1974) показал, что если конечная группа имеет абсолютно неприводимое точное рациональное представление размерности 23 и не имеет подгрупп индекса 23 или 24, то она содержится либо в , либо в .${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathrm {Co} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathrm {Co} _{3}}$

Некоторые максимальные подгруппы фиксируют или отражают 2-мерные подрешетки решетки Лича. Обычно эти плоскости определяются треугольниками hkl : треугольниками, включающими начало координат в качестве вершины, с ребрами (разностями вершин), являющимися векторами типов h , k и l .

Ларри Финкельштейн (1973) нашел 14 классов сопряженности максимальных подгрупп следующим образом:${\displaystyle \mathrm {Co} _{3}}$

Максимальные подгруппы Co ₃

Нет.	Структура	Заказ	Индекс	Комментарии
1	МакЛ :2	1 796 256 000 = 2 8 ·3 6 ·5 3 ·7·11	276 = 2 2 ·3·23	McL фиксирует треугольник 2-2-3. Максимальная подгруппа также включает отражения треугольника. имеет дважды транзитивное перестановочное представление на 276 треугольниках типа 2-2-3, имеющих в качестве ребра вектор типа 3, фиксированный .${\displaystyle \mathrm {Co} _{3}}$${\displaystyle \mathrm {Co} _{3}}$
2	ГС	44 352 000 = 2 9 ·3 2 ·5 3 ·7·11	11,178 = 2·3 5 ·23	исправляет треугольник 2-3-3
3	У 4 (3).2 2	13,063,680 = 2 9 ·3 6 ·5 ·7	37,950 = 2·3·5 2 ·11·23
4	М 23	10 200 960 = 2 7 ·3 2 ·5 · 7 · 11 · 23	48 600 = 2 3 ·3 5 ·5 2	исправляет треугольник 2-3-4
5	3 5 :(2 × М 11 )	3,849,120 = 2 5 ·3 7 ·5 ·11	128,800 = 2 5 ·5 2 ·7·23	фиксирует или отражает треугольник 3-3-3
6	2 · Сп 6 (2)	2 903 040 = 2 10 ·3 4 ·5 ·7	170,775 = 3 3 ·5 2 ·11·23	централизатор инволюции класса 2А (след 8), который перемещает 240 из 276 треугольников типа 2-2-3
7	У 3 (5):С 3	756 000 = 2 5 ·3 3 ·5 3 ·7	655,776 = 2 5 ·3 4 ·11·23
8	31+4 +:4С 6	699,840 = 2 6 ·3 7 ·5	708 400 = 2 4 · 5 2 · 7 · 11 · 23	нормализатор подгруппы порядка 3 (класс 3А)
9	2 4· А 8	322,560 = 2 10 ·3 2 ·5·7	1 536 975 = 3 5 · 5 2 · 11 · 23
10	ПСЛ(3,4):(2 × S3 )	241,920 = 2 8 ·3 3 ·5 ·7	2 049 300 = 2 2 ·3 4 ·5 2 ·11·23
11	2 × М 12	190 080 = 2 7 ·3 3 ·5 ·11	2 608 200 = 2 3 ·3 4 ·5 2 ·7·23	централизатор инволюции класса 2B (след 0), который перемещает 264 из 276 треугольников типа 2-2-3
12	[2 10 .3 3 ]	27 648 = 2 10 ·3 3	17 931 375 = 3 4 ·5 3 ·7·11·23
13	С 3 × ПСЛ(2,8):3	9,072 = 2 4 ·3 4 ·7	54 648 000 = 2 6 ·3 3 ·5 3 ·11·23	нормализатор подгруппы порядка 3 (класс 3C, след 0)
14	А 4 × С 5	1440 = 2 5 ·3 2 ·5	344 282 400 = 2 5 ·3 5 ·5 2 ·7 · 11 · 23

Показаны следы матриц в стандартном 24-мерном представлении Co _3. ^[1] Названия классов сопряженности взяты из Атласа представлений конечных групп. ^{[2] [3]} Перечисленные структуры циклов действуют на 276 треугольников 2-2-3, которые имеют общую сторону фиксированного типа 3. ^[4]

По аналогии с чудовищным лунным светом для монстра M , для Co ₃ соответствующий ряд Маккея-Томпсона имеет вид , где можно установить постоянный член a(0) = 24 ( OEIS : A097340 ),${\displaystyle T_{4A}(\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&={\Big (}{\tfrac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}{\Big )}^{24}\\&={\Big (}{\big (}{\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}{\big )}^{4}+4^{2}{\big (}{\tfrac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}{\big )}^{4}{\Big )}^{2}\\&={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\dots \end{aligned}}}$

η ( τ ) — эта-функция Дедекинда .

• Конвей, Джон Хортон (1968), «Совершенная группа порядка 8 315 553 613 086 720 000 и спорадические простые группы», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 61 (2): 398–400, Bibcode : 1968PNAS...61..398C, doi : 10.1073/pnas.61.2.398 , MR  0237634, PMC  225171 , PMID  16591697
• Конвей, Джон Хортон (1969), «Группа порядка 8 315 553 613 086 720 000», Бюллетень Лондонского математического общества , 1 : 79–88, doi :10.1112/blms/1.1.79, ISSN  0024-6093, MR  0248216
• Conway, John Horton (1971), «Три лекции об исключительных группах», в Powell, MB; Higman, Graham (ред.), Finite simple groups, Proceedings of an Instructional Conference, организованной Лондонским математическим обществом (Институт передовых исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0, МР  0338152Перепечатано в Conway & Sloane (1999, 267–298)
• Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Упаковки сфер, решетки и группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN 978-0-387-98585-5, МР  0920369
• Фейт, Уолтер (1974), «Об интегральных представлениях конечных групп», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 29 (4): 633–683, doi :10.1112/plms/s3-29.4.633, ISSN  0024-6115, MR  0374248
• Финкельштейн, Ларри (1973), «Максимальные подгруппы группы Конвея C ₃ и группы Маклафлина», Журнал алгебры , 25 : 58–89, doi : 10.1016/0021-8693(73)90075-6 , ISSN  0021-8693, MR  0346046
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковки сфер к простым группам, Carus Mathematical Monographs, т. 21, Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-023-7, МР  0749038
• Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А.; Нортон, Саймон П.; Кертис, Р. Т.; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9, МР  0827219
• Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN 978-3-540-62778-4, г-н  1707296
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы. , Graduate Texts in Mathematics 251, т. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, ЗБЛ  1203.20012

• MathWorld: Группы Конвея
• Атлас представлений конечных групп: Co3 версия 2
• Атлас представлений конечных групп: Co3 версия 3