Теория размерности (алгебра)

В математике теория размерности — это изучение в терминах коммутативной алгебры понятия размерности алгебраического многообразия (и, в более широком смысле, понятия схемы ) . Необходимость теории для такого, казалось бы, простого понятия вытекает из существования множества определений размерности, которые эквивалентны только в самых регулярных случаях (см. Размерность алгебраического многообразия ). Большая часть теории размерности состоит в изучении условий, при которых несколько размерностей равны, и многие важные классы коммутативных колец могут быть определены как кольца, такие, что две размерности равны; например, регулярное кольцо — это коммутативное кольцо, такое, что гомологическая размерность равна размерности Крулля .

Теория проще для коммутативных колец , которые являются конечно порожденными алгебрами над полем, которые также являются фактор-кольцами колец многочленов от конечного числа неопределенных над полем. В этом случае, который является алгебраическим аналогом случая аффинных алгебраических множеств , большинство определений размерности эквивалентны. Для общих коммутативных колец отсутствие геометрической интерпретации является препятствием для развития теории; в частности, очень мало известно о ненётеровых кольцах . ( Коммутативные кольца Капланского дают хорошее описание ненётерова случая.)

В статье обозначает размерность Крулля кольца и высоту простого идеала ( т. е. размерность Крулля локализации в этом простом идеале). Кольца предполагаются коммутативными, за исключением последнего раздела о размерностях некоммутативных колец.${\displaystyle \dim}$${\displaystyle \operatorname {ht} }$

Пусть R — нётерово кольцо или кольцо оценки . Тогда Если R — нётерово, это следует из фундаментальной теоремы ниже (в частности, теоремы Крулля о главном идеале ), но это также является следствием более точного результата. Для любого простого идеала в R , для любого простого идеала в , который сжимается до . Это можно показать в рамках базовой теории колец (ср. Капланский, коммутативные кольца). Кроме того, в каждом слое кольца не может быть цепочки простых идеалов длины .$${\displaystyle \dim R[x]=\dim R+1.}$$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$$${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}}R[x])=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}}).}$$$${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {q}})=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})+1}$$${\displaystyle {\mathfrak {q}}\supsetneq {\mathfrak {p}}R[x]}$${\displaystyle R[x]}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \operatorname {Спецификация} R[x]\to \operatorname {Спецификация} R}$${\displaystyle \geq 2}$

Так как артиново кольцо (например, поле) имеет размерность ноль, то по индукции получаем формулу: для артинова кольца R ,$${\displaystyle \dim R[x_{1},\dots ,x_{n}]=n.}$$

Пусть будет нётерово локальное кольцо и I - первичный идеал ( т.е. он находится между некоторой степенью и ). Пусть будет ряд Пуанкаре ассоциированного градуированного кольца . То есть, где относится к длине модуля (над артиновым кольцом ). Если порождают I , то их образы в имеют степень 1 и порождают как -алгебру. По теореме Гильберта-Серра , F является рациональной функцией с ровно одним полюсом в порядка . Так как мы находим, что коэффициент при в имеет вид То есть, является многочленом от n степени . P называется многочленом Гильберта от .${\displaystyle (R, {\mathfrak {m}})}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle F(т)}$ ${\textstyle \operatorname {gr} _{I}R=\bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$$${\displaystyle F(t)=\sum _{0}^{\infty }\ell (I^{n}/I^{n+1})t^{n}}$$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle (\operatorname {gr} _{I}R)_{0}=R/I}$${\displaystyle x_{1},\точки ,x_{s}}$${\displaystyle Я/Я^{2}}$${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$${\displaystyle Р/И}$${\displaystyle т=1}$${\displaystyle d\leq s}$$${\displaystyle (1-t)^{-d}=\sum _{0}^{\infty }{\binom {d-1+j}{d-1}}t^{j},}$$${\displaystyle т^{н}}$${\displaystyle F(t)=(1-t)^{d}F(t)(1-t)^{-d}}$$${\displaystyle \sum _{0}^{N}a_{k}{\binom {d-1+nk}{d-1}}=(1-t)^{d}F(t){\big |}_{t=1}{n^{d-1} \over {d-1}!}+O(n^{d-2}).}$$${\displaystyle \ell (I^{n}/I^{n+1})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$

Мы устанавливаем . Мы также устанавливаем , чтобы быть минимальным числом элементов R , которые могут генерировать -примарный идеал R . Наша цель - доказать фундаментальную теорему : Поскольку мы можем взять s равным , мы уже имеем из вышесказанного. Далее мы доказываем индукцией по . Пусть будет цепочкой простых идеалов в R . Пусть и x - ненулевой неединичный элемент в D . Поскольку x не является делителем нуля, мы имеем точную последовательность Граница степени многочлена Гильберта-Сэмюэля теперь подразумевает, что . (Это по сути следует из леммы Артина-Риза ; см. функцию Гильберта-Сэмюэля для утверждения и доказательства.) В цепочка становится цепочкой длины и поэтому, по индуктивному предположению и снова по оценке степени, Утверждение следует. Теперь остается показать Точнее, мы покажем:${\displaystyle d(R)=d}$${\displaystyle \дельта (R)}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$$${\displaystyle \delta (R)=d(R)=\dim R.}$$${\displaystyle \дельта (R)}$${\ displaystyle \ delta (R) \ geq d (R)}$${\displaystyle d(R)\geq \dim R}$${\displaystyle d(R)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}}$${\displaystyle D=R/{\mathfrak {p}}_{0}}$$${\displaystyle 0\to D{\overset {x}{\to }}D\to D/xD\to 0.}$$${\displaystyle d(D)>d(D/xD)\geq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle м-1}$$${\displaystyle m-1\leq \dim(R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(D)-1\leq d(R)-1.}$$${\displaystyle \dim R\geq \delta (R).}$

(Примечание: тогда -первично.) Доказательство опущено. Оно появляется, например, в Атья-Макдональд. Но его также можно предоставить в частном порядке; идея заключается в использовании первичного избегания .${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{d})}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Пусть будет нётеровским локальным кольцом и положим . Тогда${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$${\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}}$

• ${\displaystyle \dim R\leq \dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$, так как базис поднимается до порождающего множества по Накаяме. Если равенство выполняется, то R называется регулярным локальным кольцом .${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
• ${\displaystyle \dim {\widehat {R}}=\dim R}$, с .${\displaystyle \operatorname {gr} R=\operatorname {gr} {\widehat {R}}}$
• ( Теорема Крулля о главном идеале ) Высота идеала, порождённого элементами в нётеровом кольце, не превосходит s . Обратно, простой идеал высоты s минимален над идеалом, порождённым s элементами. (Доказательство: Пусть — простой идеал, минимальный над таким идеалом. Тогда . Обратное было показано в ходе доказательства основной теоремы.)${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle s\geq \dim R_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}}$

Доказательство: Пусть порождают -первичный идеал и таковы, что их образы порождают -первичный идеал. Тогда для некоторого s . Возводя обе стороны в более высокие степени, мы видим, что некоторая степень содержится в ; т. е. последний идеал является -первичным; таким образом, . Равенство является прямым применением свойства спуска. QED${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{A}}$${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{m}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}/{\mathfrak {m}}_{A}B}$${\displaystyle {{\mathfrak {m}}_{B}}^{s}\subset (y_{1},\dots ,y_{m})+{\mathfrak {m}}_{A}B}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}}$${\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{m},x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}}$${\displaystyle m+n\geq \dim B}$

Доказательство: Если — цепочка простых идеалов в R , то — цепочка простых идеалов в , а — не максимальный идеал. Таким образом, . Для обратного неравенства пусть — максимальный идеал в и . Очевидно, . Так как — локализация области главных идеалов и имеет размерность не более единицы, то по предыдущему неравенству получаем . Так как — произвольно, то следует . ЧТЭ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}R[x]}$${\displaystyle R[x]}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{n}R[x]}$${\displaystyle \dim R+1\leq \dim R[x]}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle R[x]}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle R[x]_{\mathfrak {m}}=R_{\mathfrak {p}}[x]_{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle R[x]_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}R[x]_{\mathfrak {m}}=(R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}})[x]_{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle 1+\dim R\geq 1+\dim R_{\mathfrak {p}}\geq \dim R[x]_{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle 1+\dim R\geq \dim R[x]}$

Доказательство: ^[2] Сначала предположим , что есть кольцо многочленов. Индукцией по числу переменных достаточно рассмотреть случай . Так как R ' является плоским над R , По лемме Нётер о нормализации второй член в правой части равен: Далее, предположим, что порождается одним элементом; таким образом, . Если I = 0, то мы уже закончили. Предположим, что нет. Тогда является алгебраическим над R и поэтому . Так как R является подкольцом R ' , и поэтому так как является алгебраическим над . Пусть обозначим прообраз в кольца . Тогда, как , по случаю многочлена, Здесь следует отметить, что неравенство является равенством, если R ' является цепным. Наконец, работая с цепочкой простых идеалов, легко свести общий случай к приведенному выше случаю. ЧТЭК${\displaystyle R'}$${\displaystyle R'=R[x]}$$${\displaystyle \dim R'_{\mathfrak {p'}}=\dim R_{\mathfrak {p}}+\dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}{R'}_{{\mathfrak {p}}'}.}$$$${\displaystyle \dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}R'-\dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}R'/{\mathfrak {p}}'=1-\operatorname {tr.deg} _{\kappa ({\mathfrak {p}})}\kappa ({\mathfrak {p}}')=\operatorname {tr.deg} _{R}R'-\operatorname {tr.deg} \kappa ({\mathfrak {p}}').}$$${\displaystyle R'}$${\displaystyle R'=R[x]/I}$${\displaystyle R'}$${\displaystyle \operatorname {tr.deg} _{R}R'=0}$${\displaystyle I\cap R=0}$${\displaystyle \operatorname {ht} I=\dim R[x]_{I}=\dim Q(R)[x]_{I}=1-\operatorname {tr.deg} _{Q(R)}\kappa (I)=1}$${\displaystyle \kappa (I)=Q(R')}$${\displaystyle Q(R)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{\prime c}}$${\displaystyle R[x]}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}}^{\prime c})=\kappa ({\mathfrak {p}})}$$${\displaystyle \operatorname {ht} {{\mathfrak {p}}'}=\operatorname {ht} {{\mathfrak {p}}^{\prime c}/I}\leq \operatorname {ht} {{\mathfrak {p}}^{\prime c}}-\operatorname {ht} {I}=\dim R_{\mathfrak {p}}-\operatorname {tr.deg} _{\kappa ({\mathfrak {p}})}\kappa ({\mathfrak {p}}').}$$

Пусть R — нётерово кольцо. Проективная размерность конечного R -модуля M — это наименьшая длина любого проективного разрешения M ( возможно, бесконечного) и обозначается . Положим ; она называется глобальной размерностью R .${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M}$${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\sup\{\operatorname {pd} _{R}M\mid M{\text{ is a finite module}}\}}$

Предположим, что R является локальным с полем вычетов k .

Доказательство: Мы утверждаем: для любого конечного R -модуля M , С помощью сдвига размерности (ср. доказательство теоремы Серра ниже) достаточно доказать это для . Но тогда, по локальному критерию плоскостности , Теперь, завершая доказательство. ЧТЭ$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M\leq n\Leftrightarrow \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(M,k)=0.}$$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,k)=0\Rightarrow M{\text{ flat }}\Rightarrow M{\text{ free }}\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}(M)\leq 0.}$$${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R\leq n\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}k\leq n\Rightarrow \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(-,k)=0\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}-\leq n\Rightarrow \operatorname {gl.dim} R\leq n,}$$

Замечание : Доказательство также показывает, что если M не является свободным и является ядром некоторой сюръекции из свободного модуля в M.${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1}$${\displaystyle K}$

Доказательство: Если , то M является R -свободным и, таким образом, является -свободным. Далее предположим . Тогда мы имеем: как в замечании выше. Таким образом, по индукции достаточно рассмотреть случай . Тогда существует проективное разрешение: , которое дает: Но Следовательно, не более 1. QED${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=0}$${\displaystyle M\otimes R_{1}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M>0}$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1}$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=1}$${\displaystyle 0\to P_{1}\to P_{0}\to M\to 0}$$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{1})\to P_{1}\otimes R_{1}\to P_{0}\otimes R_{1}\to M\otimes R_{1}\to 0.}$$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{1})={}_{f}M=\{m\in M\mid fm=0\}=0.}$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}(M\otimes R_{1})}$

Доказательство: ^[3] Если R регулярно, мы можем записать , регулярную систему параметров. Точная последовательность , некоторая f в максимальном идеале, конечных модулей, , дает нам: Но f здесь равно нулю, так как оно убивает k . Таким образом, и, следовательно , . Используя это, мы получаем: Доказательство обратного утверждения проводится индукцией по . Начнем с индуктивного шага. Положим , среди системы параметров. Чтобы показать, что R регулярно, достаточно показать, что является регулярным. Но, поскольку , по индуктивному предположению и предыдущей лемме с ,${\displaystyle k=R/(f_{1},\dots ,f_{n})}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle 0\to M{\overset {f}{\to }}M\to M_{1}\to 0}$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M<\infty }$$${\displaystyle 0=\operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M,k)\to \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)\to \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k){\overset {f}{\to }}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k),\quad i\geq \operatorname {pd} _{R}M.}$$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)\simeq \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k)}$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M_{1}=1+\operatorname {pd} _{R}M}$$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}k=1+\operatorname {pd} _{R}(R/(f_{1},\dots ,f_{n-1}))=\cdots =n.}$$${\displaystyle \dim R}$${\displaystyle R_{1}=R/f_{1}R}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle \dim R_{1}<\dim R}$${\displaystyle M={\mathfrak {m}}}$$${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R<\infty \Rightarrow \operatorname {gl.dim} R_{1}=\operatorname {pd} _{R_{1}}k\leq \operatorname {pd} _{R_{1}}{\mathfrak {m}}/f_{1}{\mathfrak {m}}<\infty \Rightarrow R_{1}{\text{ regular}}.}$$

Остается основной шаг. Предположим , что . Мы утверждаем, что если оно конечно. (Это означало бы, что R является полупростым локальным кольцом ; т. е. полем.) Если это не так, то существует некоторый конечный модуль с , и, таким образом, мы можем найти M с . По лемме Накаямы существует сюръекция из свободного модуля F в M , ядро ​​которого K содержится в . Поскольку , максимальный идеал является ассоциированным простым числом R ; т. е. для некоторого ненулевого s в R . Поскольку , . Поскольку K не равно нулю и свободно, это влечет , что абсурдно. ЧТЭК${\displaystyle \dim R=0}$${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle 0<\operatorname {pd} _{R}M<\infty }$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=1}$${\displaystyle F\to M}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}F}$${\displaystyle \dim R=0}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\operatorname {ann} (s)}$${\displaystyle K\subset {\mathfrak {m}}F}$${\displaystyle sK=0}$${\displaystyle s=0}$

Доказательство: Пусть R — регулярное локальное кольцо. Тогда , которое является целозамкнутой областью. Это стандартное алгебраическое упражнение, чтобы показать, что это подразумевает, что R — целозамкнутая область. Теперь нам нужно показать, что каждый дивизориальный идеал является главным; т. е. группа классов дивизоров R обращается в нуль. Но, согласно Бурбаки, Algèbre commutative, chapitre 7, §. 4. Следствие 2 к предложению 16, дивизориальный идеал является главным, если он допускает конечное свободное разрешение, что действительно имеет место по теореме. ЧТЭК${\displaystyle \operatorname {gr} R\simeq k[x_{1},\dots ,x_{d}]}$

Пусть R — кольцо, а M — модуль над ним. Последовательность элементов в называется M - регулярной последовательностью , если не является делителем нуля на и не является делителем нуля на для каждого . Априори не очевидно, будет ли любая перестановка регулярной последовательности по-прежнему регулярной (см. раздел ниже для некоторого положительного ответа).${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{i-1})M}$${\displaystyle i=2,\dots ,n}$

Пусть R — локальное нётерово кольцо с максимальным идеалом и положим . Тогда по определению глубина конечного R -модуля M является супремумом длин всех M -регулярных последовательностей в . Например, имеем состоит из делителей нуля на M и ассоциировано с M . По индукции находим для любых ассоциированных простых чисел M . В частности, . Если равенство выполняется для M = R , R называется кольцом Коэна–Маколея .${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle \operatorname {depth} M=0\Leftrightarrow {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow {\mathfrak {m}}}$$${\displaystyle \operatorname {depth} M\leq \dim R/{\mathfrak {p}}}$$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \operatorname {depth} M\leq \dim M}$

Пример : Регулярное нётерово локальное кольцо является кольцом Коэна–Маколея (поскольку регулярная система параметров является R -регулярной последовательностью).

В общем случае нётерово кольцо называется кольцом Коэна–Маколея, если локализации на всех максимальных идеалах являются кольцами Коэна–Маколея. Заметим, что кольцо Коэна–Маколея является универсально цепным. Это подразумевает, например, что кольцо многочленов является универсально цепным, поскольку оно регулярно и, следовательно, является кольцом Коэна–Маколея.${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{d}]}$

Доказательство: Сначала докажем индукцией по n следующее утверждение: для любого R -модуля M и любой M -регулярной последовательности в ,${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},\dots ,x_{n})M).}$$

⁎

Основной шаг n = 0 тривиален. Далее, по индуктивному предположению, . Но последний равен нулю, так как аннулятор N содержит некоторую степень . Таким образом, из точной последовательности и того факта, что убивает N , снова используя индуктивное предположение, мы получаем доказательство ( ⁎ ). Теперь, если , то мы можем найти M -регулярную последовательность длины больше, чем n , и поэтому по ( ⁎ ) мы видим . Осталось показать, если . По ( ⁎ ) мы можем предположить n = 0. Тогда связано с M ; таким образом, находится в носителе M . С другой стороны, Из линейной алгебры следует, что существует ненулевой гомоморфизм из N в M по модулю ; следовательно, один из N в M по лемме Накаямы. ЧТЭК${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n-1}(N,M)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},\dots ,x_{n-1})M)}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle 0\to M{\overset {x_{1}}{\to }}M\to M_{1}\to 0}$${\displaystyle x_{1}}$$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)\simeq \operatorname {Ext} _{R}^{n-1}(N,M/x_{1}M)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},\dots ,x_{n})M),}$$${\displaystyle n<\operatorname {depth} M}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)=0}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)\neq 0}$${\displaystyle n=\operatorname {depth} M}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Supp} (N).}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Формула Ауслендера–Бухсбаума связывает глубину и проективную размерность.

Доказательство: Мы рассуждаем индукцией по , причем основной случай (т. е. M свободен) тривиален. По лемме Накаямы у нас есть точная последовательность , где F свободен, а образ f содержится в . Поскольку нам нужно показать, что . Поскольку f убивает k , точная последовательность дает: для любого i , Обратите внимание, что самый левый член равен нулю, если . Если , то поскольку по индуктивному предположению мы видим Если , то и это должно быть QED${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M}$${\displaystyle 0\to K{\overset {f}{\to }}F\to M\to 0}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}F}$${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1,}$${\displaystyle \operatorname {depth} K=\operatorname {depth} M+1}$$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,F)\to \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)\to \operatorname {Ext} _{R}^{i+1}(k,K)\to 0.}$$${\displaystyle i<\operatorname {depth} R}$${\displaystyle i<\operatorname {depth} K-1}$${\displaystyle \operatorname {depth} K\leq \operatorname {depth} R}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)=0.}$${\displaystyle i=\operatorname {depth} K-1}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i+1}(k,K)\neq 0}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)\neq 0.}$

В качестве обозначения, для любого R -модуля M , мы положим Нетрудно видеть, что является левым точным функтором , а затем пусть будет его j -м правым производным функтором , называемым локальной когомологией R . Поскольку , посредством абстрактной бессмыслицы, Это наблюдение доказывает первую часть теоремы ниже.$${\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}(M)=\{s\in M\mid \operatorname {supp} (s)\subset \{{\mathfrak {m}}\}\}=\{s\in M\mid {\mathfrak {m}}^{j}s=0{\text{ for some }}j\}.}$$${\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{j}=R^{j}\Gamma _{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}(M)=\varinjlim \operatorname {Hom} _{R}(R/{\mathfrak {m}}^{j},M)}$$${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)=\varinjlim \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/{\mathfrak {m}}^{j},M).}$$

Доказательство: 1. уже отмечено (за исключением демонстрации ненулевого значения в степени, равной глубине M ; используйте индукцию, чтобы увидеть это) и 3. является общим фактом по абстрактной бессмыслице. 2. является следствием явного вычисления локальных когомологий с помощью комплексов Кошуля (см. ниже).${\displaystyle \square }$

Пусть R — кольцо, а x — элемент в нем. Образуем цепной комплекс K ( x ), заданный для i = 0, 1 и для любого другого i с дифференциалом Для любого R -модуля M , тогда получим комплекс с дифференциалом и пусть — его гомологии. Примечание:${\displaystyle K(x)_{i}=R}$${\displaystyle K(x)_{i}=0}$$${\displaystyle d:K_{1}(R)\to K_{0}(R),\,r\mapsto xr.}$$${\displaystyle K(x,M)=K(x)\otimes _{R}M}$${\displaystyle d\otimes 1}$${\displaystyle \operatorname {H} _{*}(x,M)=\operatorname {H} _{*}(K(x,M))}$$${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(x,M)=M/xM,}$$$${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(x,M)={}_{x}M=\{m\in M\mid xm=0\}.}$$

В более общем случае, если задана конечная последовательность элементов в кольце R , мы формируем тензорное произведение комплексов : и пусть его гомологии. Как и прежде,${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$$${\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{n})=K(x_{1})\otimes \dots \otimes K(x_{n})}$$${\displaystyle \operatorname {H} _{*}(x_{1},\dots ,x_{n},M)=\operatorname {H} _{*}(K(x_{1},\dots ,x_{n},M))}$$${\displaystyle \operatorname {H} _{0}({\underline {x}},M)=M/(x_{1},\dots ,x_{n})M,}$$$${\displaystyle \operatorname {H} _{n}({\underline {x}},M)=\operatorname {Ann} _{M}((x_{1},\dots ,x_{n})).}$$

Теперь у нас есть гомологическая характеристика регулярной последовательности.

Комплекс Кошуля — мощный вычислительный инструмент. Например, это следует из теоремы и следствия (Здесь используется самодвойственность комплекса Кошуля; см. предложение 17.15. из Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry .)$${\displaystyle \operatorname {H} _{\mathfrak {m}}^{i}(M)\simeq \varinjlim \operatorname {H} ^{i}(K(x_{1}^{j},\dots ,x_{n}^{j};M))}$$

Другим примером может быть

Замечание : Теорему можно использовать для второго быстрого доказательства теоремы Серра о том, что R является регулярным тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность. Действительно, по приведенной выше теореме, и, таким образом , . С другой стороны, как , формула Ауслендера–Бухсбаума дает . Следовательно, .${\displaystyle \operatorname {Tor} _{s}^{R}(k,k)\neq 0}$${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R\geq s}$${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\operatorname {pd} _{R}k}$${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\dim R}$${\displaystyle \dim R\leq s\leq \operatorname {gl.dim} R=\dim R}$

Далее мы используем гомологию Кошуля для определения и изучения полных колец пересечений . Пусть R — нётерово локальное кольцо. По определению, первое отклонение R — это размерность векторного пространства, где — система параметров. По определению, R — полное кольцо пересечений, если — размерность касательного пространства. (См. Hartshorne для геометрического смысла.)$${\displaystyle \epsilon _{1}(R)=\dim _{k}\operatorname {H} _{1}({\underline {x}})}$$${\displaystyle {\underline {x}}=(x_{1},\dots ,x_{d})}$${\displaystyle \dim R+\epsilon _{1}(R)}$

Пусть R — кольцо. Инъективная размерность R -модуля M, обозначаемая как , определяется так же, как проективная размерность: это минимальная длина инъективной резолюции M . Пусть — категория R -модулей.${\displaystyle \operatorname {id} _{R}M}$${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}$

Доказательство: Предположим . Пусть M будет R -модулем и рассмотрим резолюцию , где - инъективные модули. Для любого идеала I , который равен нулю, поскольку вычисляется через проективную резольвенту . Таким образом, по критерию Бэра , N инъективен. Мы заключаем, что . По сути, меняя стрелки местами, можно также доказать импликацию другим способом. QED${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R\leq n}$$${\displaystyle 0\to M\to I_{0}{\overset {\phi _{0}}{\to }}I_{1}\to \dots \to I_{n-1}{\overset {\phi _{n-1}}{\to }}N\to 0}$$${\displaystyle I_{i}}$$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(R/I,N)\simeq \operatorname {Ext} _{R}^{2}(R/I,\operatorname {ker} (\phi _{n-1}))\simeq \dots \simeq \operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(R/I,M),}$$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(R/I,-)}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle \sup\{\operatorname {id} _{R}M|M\}\leq n}$

Теорема предполагает, что мы рассматриваем своего рода дуал глобального измерения: первоначально он назывался слабым глобальным измерением R , но сегодня его чаще называют измерением Tor для R.$${\displaystyle \operatorname {w.gl.dim} =\inf\{n\mid \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N)=0,\,i>n,M,N\in \operatorname {Mod} _{R}\}.}$$

Замечание: для любого кольца R , .${\displaystyle \operatorname {w.gl.dim} R\leq \operatorname {gl.dim} R}$

This section needs expansion. You can help by adding to it. (May 2015)

Пусть A — градуированная алгебра над полем k . Если V — конечномерное порождающее подпространство A , то мы положим и затем положим Это называется размерностью Гельфанда–Кириллова для A. Легко показать, что это не зависит от выбора V. Для градуированного правого (или левого) модуля M над A можно аналогичным образом определить размерность Гельфанда– Кириллова для M.${\displaystyle f(n)=\dim _{k}V^{n}}$$${\displaystyle \operatorname {gk} (A)=\limsup _{n\to \infty }{\log f(n) \over \log n}.}$$${\displaystyle \operatorname {gk} (A)}$${\displaystyle {gk}(M)}$

Пример : Если A конечномерно, то gk( A ) = 0. Если A — аффинное кольцо, то gk( A ) = размерность Крулля кольца A .

Пример : Если — n-я алгебра Вейля , то${\displaystyle A_{n}=k[x_{1},...,x_{n},\partial _{1},...,\partial _{n}]}$${\displaystyle \operatorname {gk} (A_{n})=2n.}$

• Теория множественности
• Номер баса
• Идеальный комплекс
• амплитуда

• Брунс, Винфрид; Герцог, Юрген (1993), Кольца Коэна-Маколея, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 39, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-41068-7, г-н  1251956
• Часть II Eisenbud, David (1995), Коммутативная алгебра. С видом на алгебраическую геометрию , Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8, г-н  1322960.
• Глава 10 Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8.
• Капланский, Ирвинг , Коммутативные кольца , Аллин и Бэкон, 1970.
• Мацумура, Х. (1987). Коммутативная теория колец . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Том 8. Перевод М. Рейда. Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6.
• Серр, Жан-Пьер (1975), региональная алгебра. Multiplicités , Cours au Collège de France, 1957–1958, редиж Пьера Габриэля. Troisième édition, 1975. Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 11, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Вайбель, Чарльз А. (1995). Введение в гомологическую алгебру . Cambridge University Press.