Глубина (теория колец)

В коммутативной и гомологической алгебре глубина является важным инвариантом колец и модулей . Хотя глубину можно определить более общо, наиболее распространенным рассматриваемым случаем является случай модулей над коммутативным нётеровым локальным кольцом . В этом случае глубина модуля связана с его проективной размерностью формулой Ауслендера–Бухсбаума . Более элементарным свойством глубины является неравенство

${\displaystyle \mathrm {глубина} (M)\leq \dim(M),}$

где обозначает размерность Крулля модуля . Глубина используется для определения классов колец и модулей с хорошими свойствами, например, колец и модулей Коэна-Маколея , для которых выполняется равенство.${\displaystyle \dim M}$${\displaystyle М}$

Пусть будет коммутативным кольцом, идеалом и конечно порожденным -модулем со свойством, которое собственно содержится в . (То есть некоторые элементы из не содержатся в .) Тогда - глубина , также обычно называемая степенью , определяется как ${\displaystyle R}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle R}$${\displaystyle М}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle IM}$${\displaystyle М}$${\displaystyle М}$${\displaystyle IM}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle М}$${\displaystyle М}$

${\displaystyle \mathrm {глубина} _{I}(M)=\min\{i:\operatorname {Ext} ^{i}(R/I,M)\neq 0\}.}$

По определению, глубина локального кольца с максимальным идеалом равна его -глубине как модуля над собой. Если - локальное кольцо Коэна-Маколея , то глубина равна размерности .${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

По теореме Дэвида Риса глубину можно также охарактеризовать, используя понятие регулярной последовательности .

Предположим, что — коммутативное нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом и — конечно порождённый -модуль. Тогда все максимальные регулярные последовательности для , где каждая принадлежит , имеют одинаковую длину, равную -глубине .${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle М}$

Проективная размерность и глубина модуля над коммутативным нётеровым локальным кольцом являются дополнительными друг к другу. Это содержание формулы Ауслендера–Бухсбаума, которая не только имеет фундаментальное теоретическое значение, но и предоставляет эффективный способ вычисления глубины модуля. Предположим, что — коммутативное нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом и — конечно порождённый -модуль. Если проективная размерность конечна, то формула Ауслендера–Бухсбаума утверждает${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle R}$${\displaystyle М}$

${\ displaystyle \ mathrm {pd} _ {R} (M) + \ mathrm {глубина} (M) = \ mathrm {глубина} (R).}$

Коммутативное нётерово локальное кольцо имеет нулевую глубину тогда и только тогда, когда его максимальный идеал является ассоциированным простым числом , или, что эквивалентно, когда существует ненулевой элемент из , такой что (то есть, аннулирует ). Это означает, по сути, что замкнутая точка является вложенным компонентом.${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x{\mathfrak {m}}=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Например, кольцо (где — поле), представляющее собой линию ( ) со вложенной двойной точкой в ​​начале координат, имеет нулевую глубину в начале координат, но размерность один: это дает пример кольца, которое не является кольцом Коэна–Маколея .${\displaystyle k[x,y]/(x^{2},xy)}$${\displaystyle к}$${\displaystyle x=0}$

• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Graduate Texts in Mathematics , т. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94269-8, г-н  1322960
• Винфрид Брунс; Юрген Герцог, Кольца Коэна–Маколея . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Кембридж, 1993. xii+403 стр. ISBN 0-521-41068-1