Инъекционная оболочка

В математике , в частности в алгебре , инъективная оболочка (или инъективная оболочка ) модуля является как наименьшим инъективным модулем, содержащим его, так и наибольшим его существенным расширением . Инъективные оболочки были впервые описаны в (Eckmann & Schopf 1953).

Модуль E называется инъективной оболочкой модуля M , если E является существенным расширением M , а E инъективен . Здесь базовое кольцо — это кольцо с единицей, хотя , возможно , и некоммутативное.

• Инъективный модуль является своей собственной инъективной оболочкой.
• Инъективная оболочка области целостности (как модуля над собой) является ее полем дробей (Lam 1999, пример 3.35).
• Инъективная оболочка циклической p -группы (как Z -модуля) является группой Прюфера (Lam 1999, пример 3.36).
• Инъективная оболочка абелевой группы без кручения — это тензорное произведение .${\displaystyle А}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }A}$
• Инъективная оболочка R /rad( R ) есть Hom _k ( R , k ), где R — конечномерная k - алгебра с радикалом Джекобсона rad( R ) (Lam 1999, пример 3.41).
• Простой модуль обязательно является цоколем своей инъективной оболочки.
• Инъективная оболочка поля вычетов кольца дискретного нормирования , где . ^[1]${\displaystyle (R, {\mathfrak {m}},k)}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}=x\cdot R}$${\displaystyle R_{x}/R}$
• В частности, инъективная оболочка в является модулем .${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle (\mathbb {C} [[t]],(t),\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ((t))/\mathbb {C} [[t]]}$

• Инъективная оболочка M единственна с точностью до изоморфизмов, которые являются тождественными на M , однако изоморфизм не обязательно единственен. Это происходит потому, что свойство расширения отображения инъективной оболочки не является полноценным универсальным свойством . Из-за этой уникальности оболочка может быть обозначена как E ( M ).
• Инъективная оболочка E ( M ) является максимальным существенным расширением M в том смысле, что если M ⊆ E ( M ) ⊊ B для модуля B , то M не является существенным подмодулем B .
• Инъективная оболочка E ( M ) является минимальным инъективным модулем, содержащим M , в том смысле, что если M ⊆ B для инъективного модуля B , то E ( M ) является (изоморфным) подмодулем B .
• Если N — существенный подмодуль M , то E ( N )= E ( M ).
• Каждый модуль M имеет инъективную оболочку. Конструкция инъективной оболочки в терминах гомоморфизмов Hom( I , M ), где I пробегает идеалы R , дана Флейшером (1968).
• Двойственное понятие проективного покрытия не всегда существует для модуля, однако плоское покрытие существует для каждого модуля.

В некоторых случаях, для R как подкольца самоинъективного кольца S , инъективная оболочка кольца R также будет иметь кольцевую структуру. ^[2] Например, если взять S как полное матричное кольцо над полем, а R как любое кольцо, содержащее каждую матрицу, которая равна нулю во всех столбцах, кроме последнего, то инъективная оболочка правого R -модуля R будет S . Например, можно взять R как кольцо всех верхних треугольных матриц. Однако не всегда инъективная оболочка кольца имеет кольцевую структуру, как показывает пример в (Osofsky 1964).

Большой класс колец, которые имеют кольцевые структуры на своих инъективных оболочках, — это несингулярные кольца . ^[3] В частности, для целостной области инъективная оболочка кольца (рассматриваемая как модуль над собой) является полем дробей . Инъективные оболочки несингулярных колец предоставляют аналог кольца частных для некоммутативных колец, где отсутствие условия Оре может препятствовать образованию классического кольца частных . Этот тип «кольца частных» (как называются эти более общие «поля дробей») был впервые предложен в (Utumi 1956), а связь с инъективными оболочками была признана в (Lambek 1963).

R- модуль M имеет конечную равномерную размерность (= конечный ранг ) n тогда и только тогда, когда инъективная оболочка M является конечной прямой суммой n неразложимых подмодулей .

В более общем случае пусть C — абелева категория . Объект E является инъективной оболочкой объекта M, если M → E — существенное расширение, а E — инъективный объект .

Если C локально мал , удовлетворяет аксиоме Гротендика AB5 и имеет достаточно инъективных объектов , то каждый объект в C имеет инъективную оболочку (этим трем условиям удовлетворяет категория модулей над кольцом). ^[4] Каждый объект в категории Гротендика имеет инъективную оболочку.

• Плоское покрытие , двойственная концепция инъективных оболочек.
• Рациональная оболочка : это аналог инъективной оболочки при рассмотрении максимального рационального расширения .

• Экманн, Б.; Шопф, А. (1953), «Über injektive Moduln», Archiv der Mathematik , 4 (2): 75–78 , doi : 10.1007/BF01899665, ISSN  0003-9268, MR  0055978
• Флейшер, Исидор (1968), «Новая конструкция инъективной оболочки», Канадский математический бюллетень , 11 : 19–21 , doi : 10.4153/CMB-1968-002-3 , MR  0229680
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции о модулях и кольцах , Graduate Texts in Mathematics № 189, т. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, г-н  1653294
• Ламбек, Иоахим (1963), «О кольце частных Утуми», Canadian Journal of Mathematics , 15 : 363–370 , doi : 10.4153/CJM-1963-041-4 , ISSN  0008-414X, MR  0147509
• Матлис, Эбен (1958), «Инъективные модули над нётеровыми кольцами», Pacific Journal of Mathematics , 8 (3): 511– 528, doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 , ISSN  0030-8730, MR  0099360
• Мацумура, Х. Теория коммутативных колец , Кембриджские исследования по высшей математике, том 8.
• Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Чистая и прикладная математика. Т. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. МР  0202787.
• Ософский, Б. Л. (1964), «О свойствах колец инъективных оболочек», Канадский математический вестник , 7 (3): 405–413 , doi : 10.4153/CMB-1964-039-3 , ISSN  0008-4395, MR  0166227
• Утуми, Юдзо (1956), «О факторкольцах», Osaka Journal of Mathematics , 8 : 1– 18, ISSN  0030-6126, MR  0078966

• инъективная оболочка (статья PlanetMath)
• Страница PlanetMath о модулях конечного ранга