Теория множественности

В абстрактной алгебре теория кратности изучает кратность модуля M относительно идеала I (часто максимального идеала).

${\displaystyle \mathbf {e} _{I}(M).}$

Понятие кратности модуля является обобщением степени проективного многообразия . Формулой пересечения Серра оно связано с кратностью пересечения в теории пересечений .

Основное внимание в теории уделяется обнаружению и измерению особой точки алгебраического многообразия (ср. разрешение особенностей ). В связи с этим аспектом теория оценки , алгебры Риса и интегральное замыкание тесно связаны с теорией множественности.

Пусть R — положительно градуированное кольцо, такое что R конечно порождено как R ₀ -алгебра и R ₀ является артиновым . Заметим, что R имеет конечную размерность Крулля d . Пусть M — конечно порожденный R -модуль и F _M ( t ) — его ряд Гильберта–Пуанкаре . Этот ряд является рациональной функцией вида

${\displaystyle {\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}},}$

где — многочлен. По определению, кратность M равна ${\displaystyle P(t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {e} (M) = P (1).}$

Сериал может быть переписан

${\displaystyle F(t)=\sum _{1}^{d}{a_{di} \over (1-t)^{d}}+r(t).}$

где r ( t ) — многочлен. Обратите внимание, что — коэффициенты многочлена Гильберта M, разложенные по биномиальным коэффициентам. Имеем${\displaystyle a_{ди}}$

${\displaystyle \mathbf {e} (M)=a_{0}.}$

Поскольку ряды Гильберта–Пуанкаре аддитивны на точных последовательностях, кратность аддитивна на точных последовательностях модулей той же размерности.

Следующая теорема, принадлежащая Кристеру Леху, дает априорные оценки множественности. ^{[1] [2]}

• Теория размерности (алгебра)
• j-кратность
• Множественность Гильберта–Самуэля
• Функция Гильберта–Кунца
• Обычно плоское кольцо