Трансцендентальное расширение

В математике трансцендентное расширение — это расширение поля , такое, что в поле существует элемент , который является трансцендентным над полем ; то есть элемент, который не является корнем любого одномерного многочлена с коэффициентами в . Другими словами, трансцендентное расширение — это расширение поля, которое не является алгебраическим . Например, и являются трансцендентными расширениями${\displaystyle Л/К}$${\displaystyle L}$${\displaystyle К}$${\displaystyle К}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Базис трансцендентности расширения поля (или базис трансцендентности над ) — это максимальное алгебраически независимое подмножество над Базисы трансцендентности имеют много общих свойств с базисами векторных пространств . В частности, все базисы трансцендентности расширения поля имеют одинаковую мощность , называемую степенью трансцендентности расширения. Таким образом, расширение поля является трансцендентным расширением тогда и только тогда, когда его степень трансцендентности ненулевая.${\displaystyle Л/К}$${\displaystyle L}$${\displaystyle К}$ ${\displaystyle L}$${\displaystyle К.}$

Трансцендентные расширения широко используются в алгебраической геометрии . Например, размерность алгебраического многообразия — это степень трансцендентности его поля функций . Кроме того, глобальные поля функций являются трансцендентными расширениями степени один конечного поля и играют в теории чисел в положительной характеристике роль, которая очень похожа на роль полей алгебраических чисел в нулевой характеристике.

Лемма Цорна показывает, что существует максимальное линейно независимое подмножество векторного пространства (т. е. базис). Аналогичное рассуждение с леммой Цорна показывает, что для заданного расширения поля L / K существует максимальное алгебраически независимое подмножество L над K. ^[1] Тогда оно называется базисом трансцендентности . По максимальности алгебраически независимое подмножество S из L над K является базисом трансцендентности тогда и только тогда, когда L является алгебраическим расширением K ( S ), поля, полученного присоединением элементов из S к K.

Лемма обмена (версия для алгебраически независимых множеств ^[2] ) подразумевает, что если S и S' являются базисами трансцендентности, то S и S' имеют одинаковую мощность . Тогда общая мощность базисов трансцендентности называется степенью трансцендентности L над K и обозначается как или . Таким образом, существует аналогия: базис трансцендентности и степень трансцендентности, с одной стороны, и базис и размерность , с другой стороны. Эту аналогию можно сделать более формальной, заметив, что линейная независимость в векторных пространствах и алгебраическая независимость в расширениях полей образуют примеры финитарных матроидов ( предгеометрий ). Любой финитарный матроид имеет базис, и все базисы имеют одинаковую мощность. ^[3]${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} _{K}L}$${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} (L/K)}$

Если G является порождающим множеством L (т.е. L = K ( G )), то базис трансцендентности для L может быть взят как подмножество G . Таким образом, минимальная мощность порождающих множеств L над K . В частности, конечно порожденное расширение поля допускает конечный базис трансцендентности.${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} _{K}L\leq}$

Если поле K не указано, степенью трансцендентности поля L называется его степень относительно некоторого фиксированного базового поля ; например, простого поля той же характеристики , или K , если L — поле алгебраических функций над K.

Расширение поля L / K является чисто трансцендентным , если существует подмножество S поля L , которое алгебраически независимо над K и такое, что L = K ( S ).

Разделяющий базис трансцендентности L / K — это базис трансцендентности S такой, что L — разделяемое алгебраическое расширение над K ( S ). Расширение поля L / K называется разделяемо порожденным , если оно допускает разделяющий базис трансцендентности. ^[4] Если расширение поля конечно порождено и оно также разделяемо порождено, то каждое порождающее множество расширения поля содержит разделяющий базис трансцендентности. ^[5] Над совершенным полем каждое конечно порожденное расширение поля является разделяемо порожденным; т. е. оно допускает конечный разделяющий базис трансцендентности. ^[6]

• Расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда его степень трансцендентности равна 0; пустое множество служит здесь базисом трансцендентности.
• Поле рациональных функций от n переменных K ( x ₁ ,..., x _n ) (т. е. поле дробей кольца многочленов K [ x 1 _, ..., x _n ]) является чисто трансцендентным расширением со степенью трансцендентности n над K ; например, мы можем взять { x ₁ ,..., x _n } в качестве базы трансцендентности.
• В более общем случае степень трансцендентности поля функций L n -мерного алгебраического многообразия над основным полем K равна n .
• Q ( √2 , e ) имеет степень трансцендентности 1 над Q , поскольку √2 является алгебраическим числом , а e — трансцендентным числом .
• Степень трансцендентности C или R над Q — это мощность континуума . (Поскольку Q счетно, поле Q ( S ) будет иметь ту же мощность, что и S для любого бесконечного множества S , и любое алгебраическое расширение Q ( S ) снова будет иметь ту же мощность.)
• Степень трансцендентности Q ( e , π ) над Q равна 1 или 2; точный ответ неизвестен, поскольку неизвестно, являются ли e и π алгебраически независимыми .
• Если S — компактная риманова поверхность , то поле C ( S ) мероморфных функций на S имеет степень трансцендентности 1 над C.

Если M / L и L / K являются расширениями поля, то

трдег( М / К ) = трдег( М / Л ) + трдег( Л / К )

Это доказывается путем демонстрации того, что базис трансцендентности M / K может быть получен путем объединения базиса трансцендентности M / L и базиса трансцендентности L / K .

Если множество S алгебраически независимо над K, то поле K ( S ) изоморфно полю рациональных функций над K от множества переменных той же мощности, что и S. Каждая такая рациональная функция является дробью двух многочленов от конечного числа этих переменных с коэффициентами в K.

Два алгебраически замкнутых поля изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую характеристику и одинаковую степень трансцендентности над своим простым полем. ^[7]

Пусть — области целостности . Если и обозначают поля долей A и B , то степень трансцендентности B над A определяется как степень трансцендентности расширения поля${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle Q(A)}$${\displaystyle Q(B)}$${\displaystyle Q(B)/Q(A).}$

Из леммы Нётер о нормализации следует, что если R — область целостности, являющаяся конечно порожденной алгеброй над полем k , то размерность Крулля R — это степень трансцендентности R над k .

Это имеет следующую геометрическую интерпретацию: если X — аффинное алгебраическое многообразие над полем k , то размерность Крулля его координатного кольца равна степени трансцендентности его функционального поля , и это определяет размерность X. Отсюда следует, что если X не является аффинным многообразием, его размерность (определяемая как степень трансцендентности его функционального поля) также может быть локально определена как размерность Крулля координатного кольца ограничения многообразия на открытое аффинное подмножество.

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, дополнив его. ( Апрель 2023 )

Пусть — конечно порожденное расширение поля. Тогда ^[8]${\displaystyle К/к}$

${\displaystyle \dim _{k}\Omega _{K/k}\geq \operatorname {trdeg} (k/K).}$

где обозначает модуль дифференциалов Кэлера . Кроме того, в приведенном выше равенство выполняется тогда и только тогда, когда K разделимо порождается над k (то есть допускает разделяющий базис трансцендентности).${\displaystyle \Омега _{К/к}}$

Базисы трансцендентности полезны для доказательства различных утверждений о существовании гомоморфизмов полей . Вот пример: для заданных алгебраически замкнутого поля L , подполя K и автоморфизма поля f поля K существует автоморфизм поля L , который расширяет f (т.е. ограничение которого на K равно f ). Для доказательства начинаем с базиса трансцендентности S поля L / K . Элементы K ( S ) являются просто частными многочленов по элементам S с коэффициентами в K ; поэтому автоморфизм f можно расширить до одного из K(S), отправив каждый элемент S в себя. Поле L является алгебраическим замыканием K ( S ) , а алгебраические замыкания единственны с точностью до изоморфизма ; это означает, что автоморфизм можно расширить с K ( S ) на L.

В качестве другого приложения мы показываем, что существует (много) собственных подполей поля комплексных чисел C , которые (как поля) изоморфны C. Для доказательства возьмем базис трансцендентности S множества C / Q. S — бесконечное (даже несчетное) множество, поэтому существует (много) отображений f : S → S , которые инъективны , но не сюръективны . Любое такое отображение можно расширить до гомоморфизма полей Q ( S ) → Q ( S ), который не является сюръективным. Такой гомоморфизм полей, в свою очередь, можно расширить до алгебраического замыкания C , и полученные гомоморфизмы полей C → C не являются сюръективными.

Степень трансцендентности может дать интуитивное понимание размера поля. Например, теорема Зигеля утверждает , что если X — компактное, связное, комплексное многообразие размерности n , а K ( X ) обозначает поле (глобально определенных) мероморфных функций на нем, то trdeg _C ( K ( X )) ≤  n .

• Теорема Люрота , теорема о чисто трансцендентных расширениях первой степени
• Регулярное продление

• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Милн, Джеймс, Теория поля (PDF)
• § 6.3. Шимуры, Горо (1971), Введение в арифметическую теорию автоморфных функций , Публикации Математического общества Японии, т. 11, Токио: Iwanami Shoten, Zbl  0221.10029