сорт Севери–Брауэра

В математике многообразие Севери–Брауэра над полем K — это алгебраическое многообразие V , которое становится изоморфным проективному пространству над алгебраическим замыканием K. Многообразия связаны с центральными простыми алгебрами таким образом, что алгебра расщепляется над K тогда и только тогда , когда многообразие имеет рациональную точку над K. ^[1] Франческо Севери  (1932) изучал эти многообразия, и они также названы в честь Рихарда Брауэра из - за их тесной связи с группой Брауэра .

В размерности один многообразия Севери–Брауэра являются кониками . Соответствующие центральные простые алгебры являются кватернионными алгебрами . Алгебра ( a , b ) _K соответствует конике C ( a , b ) с уравнением

${\displaystyle z^{2}=ax^{2}+by^{2}\ }$

и алгебра ( a , b ) _K расщепляется , то есть ( a , b ) _K изоморфна матричной алгебре над K , если и только если C ( a , b ) имеет точку, определенную над K : это, в свою очередь, эквивалентно тому, что C ( a , b ) изоморфна проективной прямой над K. ^{[1] [2]}

Такие многообразия представляют интерес не только в диофантовой геометрии , но и в когомологиях Галуа . Они представляют (по крайней мере, если K — совершенное поле ) классы когомологий Галуа в H ¹ (G(K ^s /K),PGL _n ), где PGL _n — проективная линейная группа , а n на единицу больше размерности многообразия V . Как обычно в когомологиях Галуа, мы часто оставляем подразумеваемое. Существует короткая точная последовательность${\displaystyle G(K^{s}/K)}$

1 → ГЛ ₁ → ГЛ _n → ПГЛ _n → 1

алгебраических групп . Это подразумевает связывающий гомоморфизм

H1 ( _ПГЛn ) → H2 ( ^ГЛ1 ₎^​

на уровне когомологий. Здесь H ² (GL ₁ ) отождествляется с группой Брауэра K , в то время как ядро ​​тривиально, поскольку H ¹ (GL _n ) = {1} по расширению теоремы Гильберта 90 . ^{[3] [4]} Следовательно, многообразия Севери–Брауэра могут быть точно представлены элементами группы Брауэра, т.е. классами центральных простых алгебр .

Лихтенбаум показал, что если X — многообразие Севери–Брауэра над K , то существует точная последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {Pic} (X)\rightarrow \mathbb {Z} ~{\stackrel {\delta }{\rightarrow }}~\mathrm {Br} (K)\rightarrow \mathrm {Br} (K)/(X)\rightarrow 0\ .}$

Здесь отображение δ отправляет 1 в класс Брауэра , соответствующий X. ^[2]

Как следствие, мы видим, что если класс X имеет порядок d в группе Брауэра, то существует класс дивизоров степени d на X. Соответствующая линейная система определяет d -мерное вложение X над полем разложения L. ^[5 ]

• Проективный пучок