Алгебра вершинных операторов

Теория струн
Фундаментальные объекты
Нить Космическая струна Брейн D-брана
Пертурбативная теория
Бозонный Суперструна ( тип I , тип II , гетеротическая )
Непертурбативные результаты
S-дуальность T-дуальность U-дуальность М-теория F-теория Соответствие AdS/CFT
Феноменология
Феноменология Космология Пейзаж
Mathematics
Geometric Langlands correspondence Mirror symmetry Monstrous moonshine Vertex algebra K-theory
Related concepts Theory of everything Conformal field theory Quantum gravity Supersymmetry Supergravity Twistor string theory N = 4 supersymmetric Yang–Mills theory Kaluza–Klein theory Multiverse Holographic principle
Theorists Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banks Berenstein Bousso Curtright Dijkgraaf Distler Douglas Duff Dvali Ferrara Fischler Friedan Gates Gliozzi Gopakumar Green Greene Gross Gubser Gukov Guth Hanson Harvey Hořava Horowitz Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olive Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Sagnotti Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Sơn Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskind 't Hooft Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach
History Glossary
v t e

В математике алгебра вершинных операторов ( VOA ) — это алгебраическая структура, которая играет важную роль в двумерной конформной теории поля и теории струн . Помимо физических приложений, алгебры вершинных операторов оказались полезными в чисто математических контекстах, таких как чудовищный лунный свет и геометрическое соответствие Ленглендса .

Связанное понятие вершинной алгебры было введено Ричардом Борчердсом в 1986 году, мотивированное построением бесконечномерной алгебры Ли, созданной Игорем Френкелем . В ходе этого построения используется пространство Фока , допускающее действие вершинных операторов, присоединенных к элементам решетки . Борчердс сформулировал понятие вершинной алгебры, аксиоматизировав отношения между вершинными операторами решетки, создав алгебраическую структуру, которая позволяет строить новые алгебры Ли, следуя методу Френкеля.

Понятие алгебры вершинных операторов было введено как модификация понятия вершинной алгебры Френкелем, Джеймсом Леповски и Арне Мейерманом в 1988 году в рамках их проекта по построению модуля Moonshine . Они заметили, что многие вершинные алгебры, которые появляются «в природе», несут действие алгебры Вирасоро и удовлетворяют ограниченному снизу свойству относительно оператора энергии . Мотивированные этим наблюдением, они добавили действие Вирасоро и ограниченное снизу свойство в качестве аксиом.

Теперь у нас есть постфактум мотивация для этих понятий из физики, вместе с несколькими интерпретациями аксиом, которые изначально не были известны. Физически вершинные операторы, возникающие из голоморфных вставок полей в точках в двумерной конформной теории поля, допускают операторные разложения произведений, когда вставки сталкиваются, и они удовлетворяют в точности соотношениям, указанным в определении алгебры вершинных операторов. Действительно, аксиомы алгебры вершинных операторов являются формальной алгебраической интерпретацией того, что физики называют киральными алгебрами (не путать с более точным понятием с тем же названием в математике) или «алгебрами киральных симметрий», где эти симметрии описывают тождества Уорда , которым удовлетворяет данная конформная теория поля , включая конформную инвариантность. Другие формулировки аксиом вершинной алгебры включают более позднюю работу Борчердса по сингулярным коммутативным кольцам , алгебрам над некоторыми операдами на кривых, введенным Хуаном, Крицем и другими, объектам теории D-модулей , называемым киральными алгебрами, введенным Александром Бейлинсоном и Владимиром Дринфельдом , и алгебрам факторизации , также введенным Бейлинсоном и Дринфельдом.

Важные базовые примеры алгебр вершинных операторов включают решеточные VOA (моделирующие решеточные конформные теории поля), VOA, заданные представлениями аффинных алгебр Каца–Муди (из модели WZW ), VOA Вирасоро, которые являются VOA, соответствующими представлениям алгебры Вирасоро , и модуль Moonshine V ^♮ , который отличается своей симметрией монстра . Более сложные примеры, такие как аффинные W-алгебры и киральный комплекс де Рама на комплексном многообразии, возникают в геометрической теории представлений и математической физике .

Вершинная алгебра — это набор данных, удовлетворяющих определенным аксиомам.

• векторное пространство , называемое пространством состояний. В качестве основного поля обычно берутся комплексные числа , хотя исходная формулировка Борчердса допускала произвольное коммутативное кольцо .${\displaystyle V}$
• элемент идентичности , иногда пишется как или для обозначения состояния вакуума.${\displaystyle 1\in V}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle \Omega }$
• эндоморфизм , называемый «трансляцией». (Первоначальная формулировка Борчердса включала систему разделенных степеней , поскольку он не предполагал , что основное кольцо делимо.)${\displaystyle T:V\rightarrow V}$${\displaystyle T}$
• линейное отображение умножения , где — пространство всех формальных рядов Лорана с коэффициентами в . Эта структура имеет несколько альтернативных представлений:${\displaystyle Y:V\otimes V\rightarrow V((z))}$${\displaystyle V((z))}$${\displaystyle V}$
  • как бесконечный набор билинейных произведений, где и , так что для каждого существует такое , что для .${\displaystyle \cdot _{n}:u\otimes v\mapsto u_{n}v}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle u_{n}\in \mathrm {End} (V)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle N}$${\displaystyle u_{n}v=0}$${\displaystyle n<N}$
  • как отображение левого умножения . Это отображение «состояние-поле» так называемого соответствия состояние-поле. Для каждого формальное распределение со значением эндоморфизма называется вершинным оператором или полем, а коэффициентом является оператор . В контексте вершинных алгебр поле является, точнее, элементом , который можно записать так, что для любого для достаточно малого (что может зависеть от ). Стандартное обозначение для умножения —${\displaystyle V\rightarrow \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]}$${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle Y(u,z)}$${\displaystyle z^{-n-1}}$${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]}$${\displaystyle A(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }A_{n}z^{n},A_{n}\in \mathrm {End} (V)}$${\displaystyle v\in V,A_{n}v=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle v}$

$${\displaystyle u\otimes v\mapsto Y(u,z)v=\sum _{n\in \mathbf {Z} }u_{n}vz^{-n-1}.}$$

Эти данные необходимы для удовлетворения следующих аксиом:

• Идентичность. Для любого и . ^[a]${\displaystyle u\in V\,,\,Y(1,z)u=u}$${\displaystyle \,Y(u,z)1\in u+zV[[z]]}$
• Перевод. , и для любого ,${\displaystyle T(1)=0}$${\displaystyle u,v\in V}$

${\displaystyle [T,Y(u,z)]v=TY(u,z)v-Y(u,z)Tv={\frac {d}{dz}}Y(u,z)v}$

• Локальность (тождество Якоби или тождество Борчердса). Для любого существует положительное целое число N такое, что:${\displaystyle u,v\in V}$

${\displaystyle (z-x)^{N}Y(u,z)Y(v,x)=(z-x)^{N}Y(v,x)Y(u,z).}$

Аксиома локальности имеет несколько эквивалентных формулировок в литературе, например, Френкель–Леповски–Мерман ввел тождество Якоби :${\displaystyle \forall u,v,w\in V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y(u,x)Y(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y(v,y)Y(u,x)w\\=&y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y(Y(u,z)v,y)w\end{aligned}},}$

где мы определяем формальный дельта-ряд следующим образом:

${\displaystyle \delta \left({\frac {y-x}{z}}\right):=\sum _{s\geq 0,r\in \mathbf {Z} }{\binom {r}{s}}(-1)^{s}y^{r-s}x^{s}z^{-r}.}$

Борчердс ^[1] изначально использовал следующие два тождества: для любых векторов u , v и w и целых чисел m и n мы имеем

${\displaystyle (u_{m}(v))_{n}(w)=\sum _{i\geq 0}(-1)^{i}{\binom {m}{i}}\left(u_{m-i}(v_{n+i}(w))-(-1)^{m}v_{m+n-i}(u_{i}(w))\right)}$

и

${\displaystyle u_{m}v=\sum _{i\geq 0}(-1)^{m+i+1}{\frac {T^{i}}{i!}}v_{m+i}u}$.

Позднее он дал более развернутую версию, которая эквивалентна, но проще в использовании: для любых векторов u , v и w и целых чисел m , n и q мы имеем

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbf {Z} }{\binom {m}{i}}\left(u_{q+i}(v)\right)_{m+n-i}(w)=\sum _{i\in \mathbf {Z} }(-1)^{i}{\binom {q}{i}}\left(u_{m+q-i}\left(v_{n+i}(w)\right)-(-1)^{q}v_{n+q-i}\left(u_{m+i}(w)\right)\right)}$

Наконец, существует формальная функциональная версия локальности: для любого существует элемент${\displaystyle u,v,w\in V}$

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in V[[z,x]]\left[z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}\right]}$

такие, что и являются соответствующими разложениями в и .${\displaystyle Y(u,z)Y(v,x)w}$${\displaystyle Y(v,x)Y(u,z)w}$${\displaystyle X(u,v,w;z,x)}$${\displaystyle V((z))((x))}$${\displaystyle V((x))((z))}$

Алгебра вершинных операторов — это вершинная алгебра, снабженная конформным элементом , таким, что вершинный оператор представляет собой поле Вирасоро с весом два :${\displaystyle \omega \in V}$${\displaystyle Y(\omega ,z)}$${\displaystyle L(z)}$

${\displaystyle Y(\omega ,z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\omega _{n}{z^{-n-1}}=L(z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$

и удовлетворяет следующим свойствам:

• ${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {1}{12}}\delta _{m+n,0}(m^{3}-m)c\,\mathrm {Id} _{V}}$, где — константа, называемая центральным зарядом или рангом . В частности, коэффициенты этого вершинного оператора наделяют действием алгебры Вирасоро с центральным зарядом .${\displaystyle c}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle L_{0}}$действует полупросто на с целыми собственными значениями, ограниченными снизу.${\displaystyle V}$
• При градуировке, обеспечиваемой собственными значениями , умножение на является однородным в том смысле, что если и однородны, то является однородным степени .${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u_{n}v}$${\displaystyle \mathrm {deg} (u)+\mathrm {deg} (v)-n-1}$
• Тождество имеет степень 0, а конформный элемент имеет степень 2.${\displaystyle 1}$${\displaystyle \omega }$
• ${\displaystyle L_{-1}=T}$.

Гомоморфизм вершинных алгебр — это отображение базовых векторных пространств, которое уважает дополнительную структуру тождества, трансляции и умножения. Гомоморфизмы вершинных операторных алгебр имеют «слабые» и «сильные» формы в зависимости от того, уважают ли они конформные векторы.

Вершинная алгебра коммутативна, если все вершинные операторы коммутируют друг с другом. Это эквивалентно свойству, что все произведения лежат в , или что . Таким образом, альтернативным определением для коммутативной вершинной алгебры является определение, в котором все вершинные операторы регулярны в . ^[2]${\displaystyle V}$${\displaystyle Y(u,z)}$${\displaystyle Y(u,z)v}$${\displaystyle V[[z]]}$${\displaystyle Y(u,z)\in \operatorname {End} [[z]]}$${\displaystyle Y(u,z)}$${\displaystyle z=0}$

Если задана коммутативная вершинная алгебра, постоянные члены умножения наделяют векторное пространство коммутативной и ассоциативной кольцевой структурой, вакуумный вектор является единицей и является деривацией. Следовательно, коммутативная вершинная алгебра оснащается структурой коммутативной унитальной алгебры с деривацией. Наоборот, любое коммутативное кольцо с деривацией имеет каноническую структуру вершинной алгебры, где мы устанавливаем , так что ограничивается отображением, которое является отображением умножения с произведением алгебры. Если деривация обращается в нуль, мы можем установить , чтобы получить алгебру вершинных операторов, сосредоточенную в нулевой степени.${\displaystyle 1}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y(u,z)v=u_{-1}vz^{0}=uv}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y:V\rightarrow \operatorname {End} (V)}$${\displaystyle u\mapsto u\cdot }$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \omega =0}$

Любая конечномерная вершинная алгебра коммутативна.

Таким образом, даже самые простые примеры некоммутативных вертексных алгебр требуют существенного введения.

Оператор трансляции в вершинной алгебре индуцирует бесконечно малые симметрии в структуре произведения и удовлетворяет следующим свойствам:${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle \,Y(u,z)1=e^{zT}u}$
• ${\displaystyle \,Tu=u_{-2}1}$, поэтому определяется .${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle \,Y(Tu,z)={\frac {\mathrm {d} Y(u,z)}{\mathrm {d} z}}}$
• ${\displaystyle \,e^{xT}Y(u,z)e^{-xT}=Y(e^{xT}u,z)=Y(u,z+x)}$
• (кососимметричность)${\displaystyle Y(u,z)v=e^{zT}Y(v,-z)u}$

Для алгебры вершинных операторов другие операторы Вирасоро удовлетворяют аналогичным свойствам:

• ${\displaystyle \,x^{L_{0}}Y(u,z)x^{-L_{0}}=Y(x^{L_{0}}u,xz)}$
• ${\displaystyle \,e^{xL_{1}}Y(u,z)e^{-xL_{1}}=Y(e^{x(1-xz)L_{1}}(1-xz)^{-2L_{0}}u,z(1-xz)^{-1})}$
• (квазиконформность) для всех .${\displaystyle [L_{m},Y(u,z)]=\sum _{k=0}^{m+1}{\binom {m+1}{k}}z^{k}Y(L_{m-k}u,z)}$${\displaystyle m\geq -1}$
• (Ассоциативность, или свойство Кузена): Для любого элемент${\displaystyle u,v,w\in V}$

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in V[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]}$

данное в определении также расширяется до .${\displaystyle Y(Y(u,z-x)v,x)w}$${\displaystyle V((x))((z-x))}$

Свойство ассоциативности вершинной алгебры следует из того, что коммутатор и аннулируется конечной степенью , т.е. его можно разложить в конечную линейную комбинацию производных формальной дельта-функции по с коэффициентами в .${\displaystyle Y(u,z)}$${\displaystyle Y(v,z)}$${\displaystyle z-x}$${\displaystyle (z-x)}$${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$

Реконструкция: Пусть будет вершинной алгеброй, и пусть будет набором векторов с соответствующими полями . Если охватывается мономами с положительными весовыми коэффициентами полей (т.е. конечными произведениями операторов, примененных к , где отрицательно), то мы можем записать операторное произведение такого монома как нормально упорядоченное произведение разделенных степенных производных полей (здесь нормальное упорядочение означает, что полярные члены слева перемещаются вправо). В частности,${\displaystyle V}$${\displaystyle J_{a}}$${\displaystyle J^{a}(z)\in \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]}$${\displaystyle V}$${\displaystyle J_{n}^{a}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle Y(J_{n_{1}+1}^{a_{1}}J_{n_{2}+1}^{a_{2}}...J_{n_{k}+1}^{a_{k}}1,z)=:{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial z^{n_{1}}}}{\frac {J^{a_{1}}(z)}{n_{1}!}}{\frac {\partial ^{n_{2}}}{\partial z^{n_{2}}}}{\frac {J^{a_{2}}(z)}{n_{2}!}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{k}}}{\partial z^{n_{k}}}}{\frac {J^{a_{k}}(z)}{n_{k}!}}:}$

В более общем случае, если дано векторное пространство с эндоморфизмом и вектором , и набору векторов присвоен набор полей , которые взаимно локальны, чьи положительные весовые коэффициенты порождают , и которые удовлетворяют условиям тождественности и трансляции, то предыдущая формула описывает структуру вершинной алгебры.${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle J^{a}}$${\displaystyle J^{a}(z)\in \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]}$${\displaystyle V}$

В теории вершинной алгебры, благодаря ассоциативности, мы можем злоупотреблять обозначениями, чтобы записать, для Это расширение произведения операторов . Эквивалентно, Поскольку нормальная упорядоченная часть регулярна в и , это можно записать в более соответствующем физическим соглашениям виде, где отношение эквивалентности обозначает эквивалентность с точностью до регулярных членов.${\displaystyle A,B,C\in V,}$$${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)C=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}}C.}$$$${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)=\sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}}+:Y(A,z)Y(B,w):.}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$$${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)\sim \sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}},}$$ ${\displaystyle \sim }$

Здесь записаны некоторые OPE, часто встречающиеся в конформной теории поля. ^[3]

ОПЭ

1-е распределение	2-е распределение	Соотношения коммутации	ОПЭ	Имя	Примечания
${\displaystyle a(z)=\sum a_{m}z^{-m-1}}$	${\displaystyle b(w)=\sum b_{n}z^{-n-1}}$	${\displaystyle [a_{m},b_{n}]=c_{m+n}}$	${\displaystyle a(z)b(w)\sim {\frac {\sum c_{n}w^{-n-1}}{z-w}}}$	Общий OPE
${\displaystyle a(z)=\sum a_{m}z^{-m-1}}$	${\displaystyle b(w)=\sum b_{n}z^{-n-1}}$	${\displaystyle [a_{m},b_{n}]=m\delta _{m+n,0}}$	${\displaystyle a(z)b(w)\sim {\frac {1}{(z-w)^{2}}}}$	Свободный бозон OPE	Инвариантность относительно показывает «бозонную» природу этого ОП.${\displaystyle z\leftrightarrow w}$
${\displaystyle L(z)=\sum L_{m}z^{-m-2}}$	${\displaystyle a(w)=\sum a_{n}w^{-n-\Delta }}$	${\displaystyle [L_{m},a_{n}]=((\Delta -1)m-n)a_{m+n}}$	${\displaystyle L(z)a(w)\sim {\frac {\Delta a(w)}{(z-w)^{2}}}+{\frac {\partial a(w)}{z-w}}}$	Первичное поле OPE	Первичные поля определяются как поля a(z), удовлетворяющие этому OPE при умножении на поле Вирасоро. Они важны, поскольку являются полями, которые преобразуются 'подобно тензорам' при преобразованиях координат мирового листа в теории струн .
${\displaystyle L(z)=\sum L_{m}z^{-m-2}}$	${\displaystyle L(w)=\sum L_{n}z^{-n-2}}$	${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {m^{3}-m}{12}}\delta _{m+n,0}c}$	${\displaystyle L(z)L(w)\sim {\frac {c/2}{(z-w)^{4}}}+{\frac {2L(w)}{(z-w)^{2}}}+{\frac {\partial L(w)}{z-w}}}$	ТТ ОПЭ	В физике поле Вирасоро часто отождествляют с тензором энергии-импульса и обозначают T(z), а не L(z).

Основные примеры берутся из бесконечномерных алгебр Ли.

Базовым примером некоммутативной вершинной алгебры является свободный бозон ранга 1, также называемый алгеброй вершинных операторов Гейзенберга. Он «порождается» одним вектором b , в том смысле, что, применяя коэффициенты поля b ( z ) := Y ( b , z ) к вектору 1 , мы получаем охватывающее множество. Базовое векторное пространство — это кольцо полиномов бесконечной переменной , где для положительного , действует, очевидно, умножением и действует как . Действие b ₀ — умножение на ноль, производящее «нулевое импульсное» представление Фока V ₀ алгебры Ли Гейзенберга (порождаемое b _n для целых чисел n , с коммутационными соотношениями [ b _n , b _m ]= n δ _n,–m ), индуцированное тривиальным представлением подалгебры, охватываемой b _n , n ≥ 0.${\displaystyle \mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b_{-n}}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle n\partial _{b_{-n}}}$

Пространство Фока V ₀ можно превратить в вершинную алгебру с помощью следующего определения отображения оператора состояния на основе с каждым ,${\displaystyle b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}}}$${\displaystyle j_{i}<0}$

${\displaystyle Y(b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}},z):={\frac {1}{(-j_{1}-1)!(-j_{2}-1)!\cdots (-j_{k}-1)!}}:\partial ^{-j_{1}-1}b(z)\partial ^{-j_{2}-1}b(z)...\partial ^{-j_{k}-1}b(z):}$

где обозначает нормальное упорядочение оператора . Вершинные операторы также могут быть записаны как функционал многомерной функции f следующим образом:${\displaystyle :{\mathcal {O}}:}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle Y[f,z]\equiv :f\left({\frac {b(z)}{0!}},{\frac {b'(z)}{1!}},{\frac {b''(z)}{2!}},...\right):}$

если мы понимаем, что каждый член в разложении f является нормально упорядоченным.

Свободный бозон ранга n получается путем взятия n- кратного тензорного произведения свободного бозона ранга 1. Для любого вектора b в n -мерном пространстве имеется поле b ( z ), коэффициенты которого являются элементами алгебры Гейзенберга ранга n , коммутационные соотношения которой имеют дополнительный член скалярного произведения: [ b _n , c _m ]= n (b,c) δ _n,–m .

Алгебра вершинных операторов Гейзенберга имеет однопараметрическое семейство конформных векторов с параметром конформных векторов, заданным как${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \omega _{\lambda }}$

${\displaystyle \omega _{\lambda }={\frac {1}{2}}b_{-1}^{2}+\lambda b_{-2},}$

с центральным зарядом . ^[4]${\displaystyle c_{\lambda }=1-12\lambda ^{2}}$

Когда , то для характера Вирасоро существует следующая формула :${\displaystyle \lambda =0}$

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}:=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{-1}}$

Это производящая функция для разбиений , и она также записывается как q ^1/24 раз веса −1/2 модулярной формы 1/η (обратная величина функции Дедекинда эта ). Тогда свободный бозон ранга n имеет n параметрическое семейство векторов Вирасоро, и когда эти параметры равны нулю, характер равен q ^{n /24} раз веса − n /2 модулярной формы η ^{− n} .

Вершинные операторные алгебры Вирасоро важны по двум причинам: во-первых, конформный элемент в вертексной операторной алгебре канонически индуцирует гомоморфизм из вертексной операторной алгебры Вирасоро, поэтому они играют универсальную роль в теории. Во-вторых, они тесно связаны с теорией унитарных представлений алгебры Вирасоро, и они играют важную роль в конформной теории поля . В частности, унитарные минимальные модели Вирасоро являются простыми факторами этих вершинных алгебр, а их тензорные произведения предоставляют способ комбинаторного построения более сложных вершинных операторных алгебр.

Алгебра вершинных операторов Вирасоро определяется как индуцированное представление алгебры Вирасоро : если мы выберем центральный заряд c , то существует единственный одномерный модуль для подалгебры C [z]∂ _z + K, для которого K действует посредством c Id, а C [z]∂ _z действует тривиально, и соответствующий индуцированный модуль охватывается полиномами от L _–n = –z ^−n–1 ∂ _z, когда n пробегает целые числа больше 1. Тогда модуль имеет функцию статистической суммы

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}=\sum _{n\in \mathbf {R} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 2}(1-q^{n})^{-1}}$.

Это пространство имеет структуру алгебры вершинных операторов, где вершинные операторы определяются следующим образом:

${\displaystyle Y(L_{-n_{1}-2}L_{-n_{2}-2}...L_{-n_{k}-2}|0\rangle ,z)\equiv {\frac {1}{n_{1}!n_{2}!..n_{k}!}}:\partial ^{n_{1}}L(z)\partial ^{n_{2}}L(z)...\partial ^{n_{k}}L(z):}$

и . Тот факт, что поле Вирасоро L(z) локально по отношению к самому себе, можно вывести из формулы для его самокоммутатора:${\displaystyle \omega =L_{-2}|0\rangle }$

${\displaystyle [L(z),L(x)]=\left({\frac {\partial }{\partial x}}L(x)\right)w^{-1}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-2L(x)x^{-1}{\frac {\partial }{\partial z}}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-{\frac {1}{12}}cx^{-1}\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{3}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)}$

где c — центральный заряд .

При заданном гомоморфизме вершинной алгебры из вершинной алгебры Вирасоро с центральным зарядом c в любую другую вершинную алгебру вершинный оператор, присоединенный к образу ω, автоматически удовлетворяет соотношениям Вирасоро, т. е. образ ω является конформным вектором. Наоборот, любой конформный вектор в вершинной алгебре индуцирует выделенный гомоморфизм вершинной алгебры из некоторой алгебры вершинных операторов Вирасоро.

Вершинные операторные алгебры Вирасоро просты, за исключением случаев, когда c имеет вид 1–6( p – q ) ² / pq для взаимно простых целых чисел p , q строго больше 1 – это следует из детерминантной формулы Каца. В этих исключительных случаях имеется уникальный максимальный идеал, а соответствующее частное называется минимальной моделью. Когда p = q +1, вершинные алгебры являются унитарными представлениями Вирасоро, а их модули известны как представления дискретных серий. Они играют важную роль в конформной теории поля отчасти потому, что они необычайно поддаются обработке, и для малых p они соответствуют хорошо известным системам статистической механики в критическом состоянии, например, модели Изинга , трикритической модели Изинга, трехпозиционной модели Поттса и т. д. Благодаря работе Вэйкана Вана ^[5], касающейся правил слияния , у нас есть полное описание тензорных категорий унитарных минимальных моделей. Например, когда c = 1/2 (Изинг), существует три неприводимых модуля с наименьшим L ₀ -весом 0, 1/2 и 1/16, а их кольцо слияния равно Z [ x , y ]/( x ² –1, y ² – x –1, xy – y ).

Заменяя алгебру Ли Гейзенберга на раскрученную аффинную алгебру Ли Каца–Муди (т. е. универсальное центральное расширение алгебры петель на конечномерной простой алгебре Ли ), можно построить вакуумное представление во многом таким же образом, как строится вершинная алгебра свободных бозонов. Эта алгебра возникает как текущая алгебра модели Весса–Зумино–Виттена , которая производит аномалию , которая интерпретируется как центральное расширение.

Конкретно, оттягивание центрального расширения

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} \to {\hat {\mathfrak {g}}}\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]\to 0}$

вдоль включения дает расщепленное расширение, а вакуумный модуль индуцируется из одномерного представления последнего, на котором центральный базисный элемент действует некоторой выбранной константой, называемой «уровнем». Поскольку центральные элементы могут быть идентифицированы с инвариантными внутренними произведениями на алгебре Ли конечного типа , обычно нормализуют уровень так, чтобы форма Киллинга имела уровень, вдвое превышающий дуальное число Кокстера . Эквивалентно, уровень один дает внутреннее произведение, для которого самый длинный корень имеет норму 2. Это соответствует соглашению о петлевой алгебре , где уровни дискретизируются третьими когомологиями односвязных компактных групп Ли .${\displaystyle {\mathfrak {g}}[t]\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Выбрав базис J ^a алгебры Ли конечного типа, можно сформировать базис аффинной алгебры Ли, используя J ^a _n = J ^a t ⁿ вместе с центральным элементом K. Путем реконструкции мы можем описать вершинные операторы нормальными упорядоченными произведениями производных полей

${\displaystyle J^{a}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}^{a}z^{-n-1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(J^{a}t^{n})z^{-n-1}.}$

Когда уровень некритичен, т.е. скалярное произведение не равно минус половине формы Киллинга, представление вакуума имеет конформный элемент, заданный конструкцией Сугавары . ^[b] Для любого выбора дуальных базисов J ^a , J _a относительно скалярного произведения уровня 1 конформный элемент равен

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}J_{a,-1}J_{-1}^{a}1}$

и дает алгебру вершинных операторов, центральный заряд которой равен . На критическом уровне конформная структура разрушается, поскольку знаменатель равен нулю, но можно получить операторы L _n для n ≥ –1, взяв предел, когда k приближается к критическому значению.${\displaystyle k\cdot \dim {\mathfrak {g}}/(k+h^{\vee })}$

Подобно обычным кольцам, вершинные алгебры допускают понятие модуля или представления. Модули играют важную роль в конформной теории поля, где их часто называют секторами. Стандартное предположение в физической литературе заключается в том, что полное гильбертово пространство конформной теории поля разлагается в сумму тензорных произведений лево-движущихся и право-движущихся секторов:

${\displaystyle {\mathcal {H}}\cong \bigoplus _{i\in I}M_{i}\otimes {\overline {M_{i}}}}$

То есть, конформная теория поля имеет алгебру вершинных операторов левосторонних киральных симметрий, алгебру вершинных операторов правосторонних киральных симметрий, а сектора, движущиеся в заданном направлении, являются модулями для соответствующей алгебры вершинных операторов.

Для заданной вершинной алгебры V с умножением Y V -модуль — это векторное пространство M, снабженное действием Y ^M : V ⊗ M → M (( z )), удовлетворяющее следующим условиям:

(Идентичность) Y ^M (1,z) = Id _M

(Ассоциативность, или тождество Якоби) Для любых u , v ∈ V , w ∈ M существует элемент

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in M[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]}$

такие, что Y ^M ( u , z ) Y ^M ( v , x ) w и Y ^M ( Y ( u , z – x ) v , x ) w являются соответствующими расширениями в M (( z ))(( x )) и M (( x ))(( z – x )). Эквивалентно, выполняется следующее « тождество Якоби »:${\displaystyle X(u,v,w;z,x)}$

${\displaystyle z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y^{M}(u,x)Y^{M}(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y^{M}(v,y)Y^{M}(u,x)w=y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y^{M}(Y(u,z)v,y)w.}$

Модули вершинной алгебры образуют абелеву категорию . При работе с вершинными операторными алгебрами предыдущее определение иногда называют слабым -модулем${\displaystyle V}$ , а настоящие V -модули должны соблюдать конформную структуру, заданную конформным вектором . Точнее, они должны удовлетворять дополнительному условию, что L ₀ действует полупросто с конечномерными собственными пространствами и собственными значениями, ограниченными снизу в каждом смежном классе Z. Работа Хуанга, Леповски, Миямото и Чжана ^{[ требуется ссылка ]} показала на различных уровнях общности, что модули вершинной операторной алгебры допускают операцию слияния тензорного произведения и образуют сплетенную тензорную категорию .${\displaystyle \omega }$

Когда категория V -модулей полупроста с конечным числом неприводимых объектов, алгебра вершинных операторов V называется рациональной. Известно, что рациональные алгебры вершинных операторов, удовлетворяющие дополнительной гипотезе конечности (известной как условие C _{2 -коконечности Чжу), ведут себя особенно хорошо и называются} регулярными . Например, теорема Чжу о модулярной инвариантности 1996 года утверждает, что характеры модулей регулярной VOA образуют векторнозначное представление . В частности, если VOA голоморфна , то есть ее категория представления эквивалентна категории векторных пространств, то ее функция статистической суммы является -инвариантной с точностью до константы. Хуан показал, что категория модулей регулярной VOA является модулярной тензорной категорией, а ее правила слияния удовлетворяют формуле Верлинде .${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

Модули алгебры Гейзенберга могут быть построены как пространства Фока , для которых индуцированы представления алгебры Ли Гейзенберга , заданные вакуумным вектором, удовлетворяющим для , и на которые свободно действуют отрицательные моды для . Пространство можно записать как . Каждый неприводимый, -градуированный модуль алгебры Гейзенберга с градуировкой, ограниченной снизу, имеет эту форму.${\displaystyle \pi _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle v_{\lambda }}$${\displaystyle b_{n}v_{\lambda }=0}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle b_{0}v_{\lambda }=0}$${\displaystyle b_{-n}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle \mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]v_{\lambda }}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Они используются для построения решетчатых вершинных алгебр, которые как векторные пространства являются прямыми суммами модулей Гейзенберга, когда образ соответствующим образом расширяется до элементов модуля.${\displaystyle Y}$

Категория модулей не является полупростой, поскольку можно индуцировать представление абелевой алгебры Ли, где b ₀ действует нетривиальным жордановым блоком . Для свободного бозона ранга n для каждого вектора λ в комплексном n -мерном пространстве имеется неприводимый модуль V _{λ . Каждый вектор} b ∈ C ⁿ дает оператор b ₀ , а пространство Фока V _λ отличается тем свойством, что каждый такой b ₀ действует как скалярное умножение на скалярное произведение ( b , λ).

В отличие от обычных колец, вертексные алгебры допускают понятие скрученного модуля, прикрепленного к автоморфизму. Для автоморфизма σ порядка N действие имеет вид V ⊗ M → M (( z ^1/N )), со следующим условием монодромии : если u ∈ V удовлетворяет σ u = exp(2π ik / N ) u , то u _n = 0, если только n не удовлетворяет n + k / N ∈ Z (среди специалистов существуют некоторые разногласия относительно знаков). Геометрически скрученные модули могут быть прикреплены к точкам ветвления на алгебраической кривой с разветвленным накрытием Галуа . В литературе по конформной теории поля скрученные модули называются скрученными секторами и тесно связаны с теорией струн на орбифолдах .

Конструкция решетчатой ​​вершинной алгебры была первоначальной мотивацией для определения вершинных алгебр. Она строится путем взятия суммы неприводимых модулей для алгебры Гейзенберга, соответствующей решетчатым векторам, и определения операции умножения путем указания переплетающих операторов между ними. То есть, если Λ является четной решеткой (если решетка не четная, то полученная структура является вершинной супералгеброй), решетчатая вершинная алгебра V _Λ разлагается на свободные бозонные модули следующим образом:

${\displaystyle V_{\Lambda }\cong \bigoplus _{\lambda \in \Lambda }V_{\lambda }}$

Решёточные вершинные алгебры канонически прикреплены к двойным покрытиям чётных целочисленных решёток , а не к самим решёткам. Хотя каждая такая решётка имеет уникальную решёточную вершинную алгебру с точностью до изоморфизма, конструкция вершинной алгебры не является функториальной, поскольку решёточные автоморфизмы имеют неоднозначность в поднятии. ^[1]

Рассматриваемые двойные покрытия однозначно определяются с точностью до изоморфизма по следующему правилу: элементы имеют вид ±e _α для векторов решетки α ∈ Λ (т.е. существует отображение в Λ, переводящее e _α в α, которое забывает знаки), а умножение удовлетворяет соотношениям e _α e _β = (–1) ^(α,β) e _β e _α . Другой способ описать это состоит в том, что для четной решетки Λ существует единственный (с точностью до кограницы) нормализованный коцикл ε ( α , β ) со значениями ±1 такой, что (−1) ^{( α , β )} = ε ( α , β ) ε ( β , α ) , где условие нормализации состоит в том, что ε(α, 0) = ε(0, α) = 1 для всех α ∈ Λ . Этот коцикл индуцирует центральное расширение Λ группой порядка 2, и мы получаем скрученное групповое кольцо Cε [Λ] с базисом e _α ( α ∈ Λ) и правилом умножения e _α e _β = ε ( α , β ) e _{α + β –} условие коцикла на ε обеспечивает ассоциативность кольца. ^[6]

Вершинный оператор, присоединенный к вектору наименьшего веса v _λ в пространстве Фока V _λ, имеет вид

${\displaystyle Y(v_{\lambda },z)=e_{\lambda }:\exp \int \lambda (z):=e_{\lambda }z^{\lambda }\exp \left(\sum _{n<0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right)\exp \left(\sum _{n>0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right),}$

где z ^λ — сокращение для линейного отображения, которое переводит любой элемент α-пространства Фока V _α в моном z ^{( λ , α )} . Вершинные операторы для других элементов пространства Фока затем определяются путем реконструкции.

Как и в случае свободного бозона, имеется выбор конформного вектора, заданного элементом s векторного пространства Λ ⊗ C , но условие, что дополнительные пространства Фока имеют целые L ₀ собственные значения, ограничивает выбор s : для ортонормированного базиса x _i вектор 1/2 x _i,1 ² + s ₂ должен удовлетворять ( s , λ ) ∈ Z для всех λ ∈ Λ, т. е. s лежит в дуальной решетке.

Если четная решетка Λ порождается ее «корневыми векторами» (теми, которые удовлетворяют (α, α)=2), и любые два корневых вектора соединены цепочкой корневых векторов с последовательными ненулевыми внутренними произведениями, то алгебра вершинных операторов является единственным простым фактором вакуумного модуля аффинной алгебры Каца–Муди соответствующей просто зашнурованной простой алгебры Ли на уровне один. Это известно как конструкция Френкеля–Каца (или Френкеля – Каца – Сигала ) и основано на более ранней конструкции тахионного вершинного оператора в модели дуального резонанса, разработанной Серджио Фубини и Габриэле Венециано . Среди других особенностей нулевые моды вершинных операторов, соответствующих корневым векторам, дают конструкцию базовой простой алгебры Ли, связанную с представлением, первоначально принадлежащим Жаку Титсу . В частности, можно получить конструкцию всех групп Ли типа ADE непосредственно из их корневых решеток. И это обычно считается самым простым способом построения 248-мерной группы E ₈ . ^{[6] [7]}

Вершинная алгебра монстров (также называемая «модулем лунного света») является ключом к доказательству Борчердсом гипотез о чудовищном лунном свете . Она была построена Френкелем, Леповски и Мейерманом в 1988 году. Она примечательна тем, что ее характер — j-инвариант без постоянного члена, , а ее группа автоморфизмов — группа монстров . Она построена путем орбифолдинга вершинной алгебры решетки, построенной из решетки Лича с помощью автоморфизма порядка 2, индуцированного отражением решетки Лича в начале координат. То есть, образуется прямая сумма решетки Лича VOA со скрученным модулем и неподвижные точки берутся под индуцированной инволюцией. Френкель, Леповски и Мейерман выдвинули гипотезу в 1988 году, что это единственная голоморфная алгебра вершинных операторов с центральным зарядом 24 и статистической суммой . Эта гипотеза все еще открыта.${\displaystyle V^{\natural }}$${\displaystyle j(\tau )-744}$${\displaystyle V^{\natural }}$${\displaystyle j(\tau )-744}$

Маликов, Шехтман и Вайнтроб показали, что методом локализации можно канонически прикрепить систему bcβγ (бозон-фермионное суперполе) к гладкому комплексному многообразию. Этот комплекс пучков имеет выделенный дифференциал, а глобальные когомологии являются вершинной супералгеброй. Бен-Цви, Хелуани и Щесны показали, что риманова метрика на многообразии индуцирует суперконформную структуру N = 1, которая повышается до структуры N = 2, если метрика является кэлеровой и риччи-плоской , а гиперкэлерова структура индуцирует структуру N = 4. Борисов и Либгобер показали, что можно получить двухпеременный эллиптический род компактного комплексного многообразия из когомологий комплекса Кираля де Рама. Если многообразие является многообразием Калаби–Яу , то этот род является слабой формой Якоби . ^[8]

Вершинная алгебра может возникнуть как подсектор квантовой теории поля более высокой размерности, которая локализуется в двумерном вещественном подмногообразии пространства, на котором определена теория более высокой размерности. Прототипическим примером является конструкция Бима, Лимоса, Лиендо, Пиларса, Растелли и ван Риза, которая связывает вершинную алгебру с любой 4d N =2 суперконформной теорией поля. ^[9] Эта вершинная алгебра обладает тем свойством, что ее характер совпадает с индексом Шура 4d суперконформной теории. Когда теория допускает предел слабой связи, вершинная алгебра имеет явное описание как BRST-редукция bcβγ-системы.

Позволяя базовому векторному пространству быть суперпространством (т. е. Z /2 Z -градуированным векторным пространством ), можно определить вершинную супералгебру по тем же данным, что и вершинную алгебру, с 1 в V ₊ и T - четным оператором. Аксиомы по сути те же самые, но необходимо включить подходящие знаки в аксиому локальности или одну из эквивалентных формулировок. То есть, если a и b однородны, сравнивается Y ( a , z ) Y ( b , w ) с ε Y ( b , w ) Y ( a , z ), где ε равно –1, если и a , и b нечетны, и 1 в противном случае. Если, кроме того, в четной части V ₂ есть элемент Вирасоро ω и выполняются обычные ограничения градуировки, то V называется вершинной операторной супералгеброй .${\displaystyle V=V_{+}\oplus V_{-}}$

Одним из простейших примеров является вершинная операторная супералгебра, порожденная одним свободным фермионом ψ. Как представление Вирасоро, она имеет центральный заряд 1/2 и разлагается в прямую сумму модулей Изинга наименьшего веса 0 и 1/2. Ее также можно описать как спиновое представление алгебры Клиффорда на квадратичном пространстве t ^1/2 C [ t , t ⁻¹ ]( dt ) ^1/2 с вычетным спариванием. Вертексная операторная супералгебра голоморфна в том смысле, что все модули являются прямыми суммами самих себя, т. е. категория модулей эквивалентна категории векторных пространств.

Тензорный квадрат свободного фермиона называется свободным заряженным фермионом, и по соответствию бозон-фермион он изоморфен решеточной вершинной супералгебре, присоединенной к нечетной решетке Z. [ ^6] Это соответствие использовалось Дейтом–Джимбо–Кашивара-Мивой для построения солитонных решений иерархии КП нелинейных уравнений в частных производных.

Алгебра Вирасоро имеет некоторые суперсимметричные расширения , которые естественным образом появляются в суперконформной теории поля и теории суперструн . Суперконформные алгебры N =1, 2 и 4 имеют особое значение.

Бесконечно малые голоморфные суперконформные преобразования суперкривой (с одной четной локальной координатой z и N нечетными локальными координатами θ ₁ ,...,θ _N ) генерируются коэффициентами тензора супернапряжения–энергии T (z, θ ₁ , ..., θ _N ).

Когда N = 1, T имеет нечетную часть, заданную полем Вирасоро L ( z ), и четную часть, заданную полем

${\displaystyle G(z)=\sum _{n}G_{n}z^{-n-3/2}}$

при условии соблюдения коммутационных отношений

• ${\displaystyle [G_{m},L_{n}]=(m-n/2)G_{m+n}}$
• ${\displaystyle [G_{m},G_{n}]=(m-n)L_{m+n}+\delta _{m,-n}{\frac {4m^{2}+1}{12}}c}$

Исследуя симметрию операторных произведений, можно обнаружить, что для поля G существуют две возможности : индексы n либо все целые числа, что дает алгебру Рамона , либо все полуцелые числа, что дает алгебру Невё–Шварца . Эти алгебры имеют унитарные дискретные ряды представлений при центральном заряде

${\displaystyle {\hat {c}}={\frac {2}{3}}c=1-{\frac {8}{m(m+2)}}\quad m\geq 3}$

и унитарные представления для всех c, больших 3/2, с наименьшим весом h , ограниченным только h ≥ 0 для Невё–Шварца и h ≥ c /24 для Рамона.

Суперконформный вектор N = 1 в алгебре вершинных операторов V центрального заряда c — это нечетный элемент τ ∈ V веса 3/2, такой что

${\displaystyle Y(\tau ,z)=G(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} +1/2}G_{n}z^{-n-3/2},}$

G _−1/2 τ = ω, а коэффициенты G ( z ) дают действие алгебры Невё–Шварца N =1 при центральном заряде c .

Для N = 2 суперсимметрии получаются четные поля L ( z ) и J ( z ), и нечетные поля G ⁺ (z) и G ⁻ (z). Поле J ( z ) порождает действие алгебр Гейзенберга (описываемое физиками как ток U (1)). Существуют как суперконформные алгебры Рамона, так и Невё–Шварца N = 2, в зависимости от того, является ли индексация полей G целой или полуцелой. Однако ток U (1) порождает однопараметрическое семейство изоморфных суперконформных алгебр, интерполирующих между Рамоном и Невё–Шварцем, и эта деформация структуры известна как спектральный поток. Унитарные представления задаются дискретными рядами с центральным зарядом c = 3-6/ m для целых чисел m не менее 3 и континуумом наименьших весов для c > 3.

Суперконформная структура N = 2 на алгебре вершинных операторов представляет собой пару нечетных элементов τ ⁺ , τ ⁻ веса 3/2 и четного элемента μ веса 1, таких, что τ ± ^{порождает} G ± ⁽ z), а μ порождает J ( z ).

При N = 3 и 4 унитарные представления имеют только центральные заряды в дискретном семействе с c = 3 k /2 и 6 k соответственно, поскольку k варьируется в пределах положительных целых чисел.

• Подалгебры неподвижных точек: При заданном действии группы симметрии на алгебре вершинных операторов подалгебра неподвижных векторов также является алгеброй вершинных операторов. В 2013 году Миямото доказал, что два важных свойства конечности, а именно условие Чжу C ₂ и регулярность, сохраняются при взятии неподвижных точек под действием конечной разрешимой группы.
• Текущие расширения: Имея алгебру вершинных операторов и некоторые модули целочисленного конформного веса, можно при благоприятных обстоятельствах описать структуру алгебры вершинных операторов на прямой сумме. Решетчатые вершинные алгебры являются стандартным примером этого. Другое семейство примеров — это фреймовые VOA, которые начинаются с тензорных произведений моделей Изинга и добавляют модули, которые соответствуют соответствующим четным кодам.
• Орбифолды: Если задана конечная циклическая группа, действующая на голоморфном VOA, то предполагается, что можно построить второй голоморфный VOA, присоединив неприводимые скрученные модули и взяв неподвижные точки под индуцированный автоморфизм, пока эти скрученные модули имеют подходящий конформный вес. Известно, что это верно в особых случаях, например, для групп порядка не более 3, действующих на решеточных VOA.
• Конструкция смежного класса (предложенная Годдардом, Кентом и Оливом): если задана алгебра вершинных операторов V с центральным зарядом c и множество векторов S , то можно определить коммутант C ( V , S ) как подпространство векторов v, строго коммутирующих со всеми полями, исходящими из S , т. е. такими, что Y ( s , z ) v ∈ V[[ z ]] для всех s ∈ S . Это оказывается вершинной подалгеброй с Y , T и тождеством, унаследованными от V . И если S является VOA с центральным зарядом c _S , то коммутант является VOA с центральным зарядом c – c _S . Например, вложение SU (2) на уровне k +1 в тензорное произведение двух алгебр SU (2) на уровнях k и 1 дает дискретную серию Вирасоро с p = k +2, q = k +3, и это использовалось для доказательства их существования в 1980-х годах. Опять же с SU (2), вложение уровня k +2 в тензорное произведение уровня k и уровня 2 дает N =1 суперконформную дискретную серию.
• Редукция BRST: Для любого вектора v степени 1, удовлетворяющего v ₀ ² = 0, когомологии этого оператора имеют градуированную структуру вершинной супералгебры. В более общем случае можно использовать любое поле веса 1, вычет которого имеет квадратный ноль. Обычный метод заключается в тензоре с фермионами, поскольку тогда получается канонический дифференциал. Важным частным случаем является квантовая редукция Дринфельда–Соколова, примененная к аффинным алгебрам Каца–Муди для получения аффинных W -алгебр как когомологий степени 0. Эти W -алгебры также допускают конструкции как вершинные подалгебры свободных бозонов, заданные ядрами операторов скрининга.

• Если рассматривать только сингулярную часть OPE в вершинной алгебре, то приходим к определению конформной алгебры Ли . Поскольку часто интересуются только сингулярной частью OPE, это делает конформные алгебры Ли естественным объектом для изучения. Существует функтор из вершинных алгебр в конформные алгебры Ли, который забывает регулярную часть OPE, и у него есть левый сопряженный, называемый функтором «универсальной вершинной алгебры». Вакуумные модули аффинных алгебр Каца–Муди и вершинных алгебр Вирасоро являются универсальными вершинными алгебрами, и, в частности, их можно очень кратко описать, как только будет разработана фоновая теория.
• В литературе существует несколько обобщений понятия вершинной алгебры. Некоторые мягкие обобщения включают ослабление аксиомы локальности, чтобы разрешить монодромию, например, абелевы переплетающиеся алгебры Донга и Леповски. Можно рассматривать их примерно как объекты вершинной алгебры в сплетенной тензорной категории градуированных векторных пространств, во многом таким же образом, как вершинная супералгебра является таким объектом в категории супервекторных пространств. Более сложные обобщения относятся к q -деформациям и представлениям квантовых групп, например, в работах Френкеля–Решетихина, Этингофа–Каждана и Ли.
• Бейлинсон и Дринфельд ввели понятие киральной алгебры в теории пучков , которое тесно связано с понятием вершинной алгебры, но определяется без использования каких-либо видимых степенных рядов . Для заданной алгебраической кривой X киральная алгебра на X является D _X -модулем A, снабженным операцией умножения на X × X , которая удовлетворяет условию ассоциативности. Они также ввели эквивалентное понятие факторизационной алгебры , которая является системой квазикогерентных пучков на всех конечных произведениях кривой вместе с условием совместимости, включающим обратные протягивания к дополнению различных диагоналей. Любая трансляционно-эквивариантная киральная алгебра на аффинной прямой может быть отождествлена ​​с вершинной алгеброй, взяв волокно в точке, и существует естественный способ присоединить киральную алгебру на гладкой алгебраической кривой к любой вершинной операторной алгебре.${\displaystyle j_{*}j^{*}(A\boxtimes A)\to \Delta _{*}A}$

• Операторная алгебра
• Алгебра Чжу