Алгебра Чжу

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . Пожалуйста, помогите улучшить ее, чтобы сделать ее понятной для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( Январь 2024 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике алгебра Чжу и тесно связанная с ней C ₂ -алгебра , введенная Юнчаном Чжу в его докторской диссертации, являются двумя ассоциативными алгебрами, канонически построенными из заданной алгебры вершинных операторов . ^[1] Многие важные теоретические свойства представлений вершинной алгебры логически связаны со свойствами ее алгебры Чжу или C ₂ -алгебры.

Пусть будет градуированной вершинной операторной алгеброй с и пусть будет вершинным оператором, связанным с Определим как подпространство, охватываемое элементами вида для Элемент однороден с если Существуют две бинарные операции над , определенные с помощью для однородных элементов и линейно расширенные на все из . Определим как охват всех элементов .${\displaystyle V=\bigoplus _{n\geq 0}V_{(n)}}$${\displaystyle V_{(0)}=\mathbb {C} \mathbf {1} }$${\displaystyle Y(a,z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}z^{-n-1}}$${\displaystyle a\in V.}$${\displaystyle C_{2}(V)\subset V}$${\displaystyle а_{-2}б}$${\displaystyle a,b\in V.}$${\displaystyle a\in V}$${\displaystyle \operatorname {wt} a=n}$${\displaystyle a\in V_{(n)}.}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle a*b=\sum _{i\geq 0}{\binom {\operatorname {wt} a}{i}}a_{i-1}b,~~~~~a\circ b=\sum _{i\geq 0}{\binom {\operatorname {wt} a}{i}}a_{i-2}b}$$${\displaystyle V}$${\displaystyle O(V)\subset V}$${\displaystyle a\circ b}$

Алгебра с бинарной операцией, индуцированной , является ассоциативной алгеброй, называемой алгеброй Чжу . ^[1]${\displaystyle A(V):=V/O(V)}$${\displaystyle *}$${\displaystyle V}$

Алгебра с умножением называется C2 _- алгеброй .${\displaystyle R_{V}:=V/C_{2}(V)}$${\displaystyle a\cdot b=a_{-1}b\mod C_{2}(V)}$${\displaystyle V}$

• Умножение C ₂ -алгебры коммутативно, а дополнительная бинарная операция представляет собой скобку Пуассона , на которой C ₂ -алгебра приобретает структуру алгебры Пуассона . ^[1]${\displaystyle \{a,b\}=a_{0}b\mod C_{2}(V)}$${\displaystyle R_{V}}$
• ( Условие C ₂ -коконечности Чжу ) Если конечномерно, то называется C ₂ -коконечным. Существует два основных свойства теории представлений, связанных с C ₂ -коконечностью. Алгебра вершинных операторов рациональна, если категория допустимых модулей полупроста и имеется только конечное число неприводимых. Была высказана гипотеза, что рациональность эквивалентна C ₂ -коконечности и более сильному условию регулярности, однако это было опровергнуто в 2007 году Адамовичем и Миласом, которые показали, что триплетная алгебра вершинных операторов является C ₂ -коконечной, но не рациональной . ^{[2] [3] [4]} Известны различные более слабые версии этой гипотезы, включая то, что регулярность влечет C ₂ -коконечность ^[2] и что для C ₂ -коконечности условия рациональности и регулярности эквивалентны. ^[5] Эта гипотеза является аналогом критерия полупростоты Картана в теории алгебр Ли для вершинных алгебр , поскольку она связывает структурное свойство алгебры с полупростотой ее категории представления .${\displaystyle R_{V}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$
• Градуировка по индуцирует фильтрацию , где так что Существует сюръективный морфизм алгебр Пуассона . ^[6]${\displaystyle V}$${\displaystyle A(V)=\bigcup _{p\geq 0}A_{p}(V)}$${\displaystyle A_{p}(V)=\operatorname {im} (\oplus _{j=0}^{p}V_{p}\to A(V))}$${\displaystyle A_{p}(V)\ast A_{q}(V)\subset A_{p+q}(V).}$${\displaystyle R_{V}\to \operatorname {gr} (A(V))}$

Поскольку C ₂ -алгебра является коммутативной алгеброй , ее можно изучать с помощью языка алгебраической геометрии . Ассоциированная схема и ассоциированное многообразие определяются как , которые являются аффинной схемой и аффинным алгебраическим многообразием соответственно. ^[7] Более того, поскольку действует как вывод на ^[1], существует действие на ассоциированную схему, создающее коническую схему Пуассона и коническое многообразие Пуассона. На этом языке C ₂ -коконечность эквивалентна свойству, что является точкой.${\displaystyle R_{V}}$ ${\displaystyle {\widetilde {X}}_{V}}$ ${\displaystyle X_{V}}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle {\widetilde {X}}_{V}:=\operatorname {Spec} (R_{V}),~~~X_{V}:=({\widetilde {X}}_{V})_{\mathrm {red} }}$$${\displaystyle L(-1)}$${\displaystyle R_{V}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\ast }}$${\displaystyle {\widetilde {X}}_{V}}$${\displaystyle X_{V}}$${\displaystyle X_{V}}$

Пример: Если — аффинная W-алгебра, связанная с аффинной алгеброй Ли на уровне и нильпотентным элементом, то — срез Слодового, проходящий через . ^[8]${\displaystyle W^{k}({\widehat {\mathfrak {g}}},f)}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {g}}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\widetilde {X}}_{W^{k}({\widehat {\mathfrak {g}}},f)}={\mathcal {S}}_{f}}$${\displaystyle f}$