Факторизационная алгебра

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Февраль 2023 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике и математической физике факторизационная алгебра — алгебраическая структура, впервые введенная Бейлинсоном и Дринфельдом в алгебро-геометрической постановке как переформулировка киральных алгебр ^[1] , а также изученная в более общей постановке Костелло и Гвиллиамом для изучения квантовой теории поля ^[2] .

Факторизационная алгебра — это префакторизационная алгебра, удовлетворяющая некоторым свойствам, подобно тому, как пучки являются предпучками с дополнительными условиями.

Если — топологическое пространство , то алгебра префакторизации векторных пространств на — это присвоение векторных пространств открытым множествам вместе со следующими условиями на присвоение:${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$

• Для каждого включения существует линейная карта${\displaystyle U\subset V}$ ${\displaystyle m_{V}^{U}:{\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(V)}$
• Для каждого конечного набора открытых множеств существует линейное отображение, каждое из которых и попарно не пересекается.${\displaystyle m_{V}^{U_{1},\cdots ,U_{n}}:{\mathcal {F}}(U_{1})\otimes \cdots \otimes {\mathcal {F}}(U_{n})\rightarrow {\mathcal {F}}(V)}$${\displaystyle U_{i}\subset V}$${\displaystyle U_{i}}$
• Отображения составляются очевидным образом: для наборов открытий и открытого , удовлетворяющего и , следующая диаграмма коммутирует.${\displaystyle U_{i,j}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle U_{i,1}\sqcup \cdots \sqcup U_{i,n_{i}}\subset V_{i}}$${\displaystyle V_{1}\sqcup \cdots V_{n}\subset W}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}&\bigotimes _{i}\bigotimes _{j}{\mathcal {F}}(U_{i,j})&\rightarrow &\bigotimes _{i}{\mathcal {F}}(V_{i})&\\&\downarrow &\swarrow &\\&{\mathcal {F}}(W)&&&\\\end{array}}}$

Напоминает предкопучок , за исключением того, что векторные пространства тензорные, а не (прямо)суммированные .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Категорию векторных пространств можно заменить любой симметричной моноидальной категорией .

Чтобы определить факторизационные алгебры, необходимо определить покрытие Вейсса . Для открытого множества набор открытых множеств является покрытием Вейсса , если для любого конечного набора точек в существует открытое множество такое, что .${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathfrak {U}}=\{U_{i}|i\in I\}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \{x_{1},\cdots ,x_{k}\}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{i}\in {\mathfrak {U}}}$${\displaystyle \{x_{1},\cdots ,x_{k}\}\subset U_{i}}$

Тогда факторизационная алгебра векторных пространств на является префакторизационной алгеброй векторных пространств на , так что для каждого открытого и каждого покрытия Вейсса последовательность является точной . То есть является факторизационной алгеброй, если она является копучком относительно топологии Вейсса.${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \{U_{i}|i\in I\}}$${\displaystyle U}$$${\displaystyle \bigoplus _{i,j}{\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})\rightarrow \bigoplus _{k}{\mathcal {F}}(U_{k})\rightarrow {\mathcal {F}}(U)\rightarrow 0}$$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Факторизационная алгебра является мультипликативной , если, кроме того, для каждой пары непересекающихся открывающихся множеств структурное отображение является изоморфизмом.${\displaystyle U,V\subset M}$$${\displaystyle m_{U\sqcup V}^{U,V}:{\mathcal {F}}(U)\otimes {\mathcal {F}}(V)\rightarrow {\mathcal {F}}(U\sqcup V)}$$

Хотя эта формулировка связана с приведенной выше, связь не является непосредственной.

Пусть — гладкая комплексная кривая . Факторизационная алгебра на состоит из${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

• Квазикогерентный пучок над для любого конечного множества , без ненулевого локального сечения, опирающегося на объединение всех частичных диагоналей${\displaystyle {\mathcal {V}}_{X,I}}$${\displaystyle X^{I}}$${\displaystyle I}$
• Функториальные изоморфизмы квазикогерентных пучков над для сюръекций .${\displaystyle \Delta _{J/I}^{*}{\mathcal {V}}_{X,J}\rightarrow {\mathcal {V}}_{X,I}}$${\displaystyle X^{I}}$${\displaystyle J\rightarrow I}$
• ( Факторизация ) Функториальные изоморфизмы квазикогерентных пучков

$${\displaystyle j_{J/I}^{*}{\mathcal {V}}_{X,J}\rightarrow j_{J/I}^{*}(\boxtimes _{i\in I}{\mathcal {V}}_{X,p^{-1}(i)})}$$над . ${\displaystyle U^{J/I}}$

• ( Unit ) Пусть и . Глобальное сечение ( unit ) со свойством, что для каждого локального сечения ( ), сечение простирается по диагонали и ограничивается .${\displaystyle {\mathcal {V}}={\mathcal {V}}_{X,\{1\}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}_{2}={\mathcal {V}}_{X,\{1,2\}}}$${\displaystyle 1\in {\mathcal {V}}(X)}$${\displaystyle f\in {\mathcal {V}}(U)}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle 1\boxtimes f}$${\displaystyle {\mathcal {V}}_{2}|_{U^{2}\Delta }}$${\displaystyle f\in {\mathcal {V}}\cong {\mathcal {V}}_{2}|_{\Delta }}$

Любая ассоциативная алгебра может быть реализована как алгебра префакторизации на . Каждому открытому интервалу присвоим . Произвольный открытый интервал является несвязным объединением счетного числа открытых интервалов, , а затем установим . Карты структур просто получаются из карты умножения на . Для бесконечных тензорных произведений требуется некоторая осторожность, но для конечного числа открытых интервалов картина очевидна.${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{f}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle A^{f}((a,b))=A}$${\displaystyle U=\bigsqcup _{i}I_{i}}$${\displaystyle A^{f}(U)=\bigotimes _{i}A}$${\displaystyle A}$

• Вершинная алгебра