оператор Лапласа

Часть серии статей о
Исчисление
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Основная теорема Пределы Непрерывность Теорема Ролля Теорема о среднем значении Теорема об обратной функции
Дифференциал Определения Производные  ( обобщения ) Дифференциал бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявная дифференциация Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и идентичности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило Лопиталя Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
Интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Интегральное правило Лейбница Определения Первообразный Интегральный  ( несобственный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл обратных функций Интеграция по Части Диски Цилиндрические оболочки Substitution (trigonometric, tangent half-angle, Euler) Euler's formula Partial fractions (Heaviside's method) Changing order Reduction formulae Differentiating under the integral sign Risch algorithm
Series Geometric (arithmetico-geometric) Harmonic Alternating Power Binomial Taylor Convergence tests Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

В математике оператор Лапласа или лапласиан — это дифференциальный оператор , заданный дивергенцией градиента скалярной функции на евклидовом пространстве . Обычно он обозначается символами , (где — оператор набла ), или . В декартовой системе координат лапласиан задается суммой вторых частных производных функции по каждой независимой переменной . В других системах координат , таких как цилиндрические и сферические координаты , лапласиан также имеет полезную форму. Неформально, лапласиан Δ f  ( p ) функции f в точке p измеряет, насколько среднее значение f по малым сферам или шарам с центром в точке p отклоняется от f  ( p ) .${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \Delta }$

Оператор Лапласа назван в честь французского математика Пьера-Симона де Лапласа (1749–1827), который впервые применил оператор к изучению небесной механики : лапласиан гравитационного потенциала , обусловленного заданным распределением плотности массы, является постоянным кратным этого распределения плотности. Решения уравнения Лапласа Δ f = 0 называются гармоническими функциями и представляют возможные гравитационные потенциалы в областях вакуума .

Лапласиан встречается во многих дифференциальных уравнениях, описывающих физические явления. Уравнение Пуассона описывает электрический и гравитационный потенциалы ; уравнение диффузии описывает поток тепла и жидкости ; волновое уравнение описывает распространение волн ; а уравнение Шредингера описывает волновую функцию в квантовой механике . В обработке изображений и компьютерном зрении оператор Лапласа использовался для различных задач, таких как обнаружение пятен и краев . Лапласиан является простейшим эллиптическим оператором и лежит в основе теории Ходжа , а также результатов когомологий де Рама .

Оператор Лапласа — это дифференциальный оператор второго порядка в n -мерном евклидовом пространстве , определяемый как дивергенция ( ) градиента ( ). Таким образом, если — дважды дифференцируемая действительная функция , то лапласиан — это действительная функция, определяемая как:${\displaystyle \nabla \cdot }$${\displaystyle \nabla f}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$$

1

где последние обозначения вытекают из формальной записи: Таким образом, лапласиан функции f представляет собой сумму всех несмешанных вторых частных производных в декартовых координатах x _i :$${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right).}$$

$${\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}}$$

2

Как дифференциальный оператор второго порядка, оператор Лапласа отображает функции C ^k в функции C ^{k −2} для k ≥ 2. Это линейный оператор Δ : C ^k ( R ⁿ ) → C ^{k −2} ( R ⁿ ) или, в более общем смысле, оператор Δ : C ^k (Ω) → C ^{k −2} (Ω) для любого открытого множества Ω ⊆ R ⁿ .

Альтернативно оператор Лапласа можно определить как:${\displaystyle \nabla ^{2}f({\overrightarrow {x}})=\lim _{R\rightarrow 0}{\frac {2n}{R^{2}}}(f_{shell_{R}}-f({\overrightarrow {x}}))=\lim _{R\rightarrow 0}{\frac {2n}{A_{n-1}R^{1+n}}}\int _{shell_{R}}f({\overrightarrow {r}})-f({\overrightarrow {x}})dr^{n-1}}$

Где — размерность пространства, — среднее значение на поверхности n-мерной сферы радиусом R, — поверхностный интеграл по n-мерной сфере радиусом R, — гиперобъем границы единичной n-мерной сферы . ^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{shell_{R}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \int _{shell_{R}}f({\overrightarrow {r}})dr^{n-1}}$${\displaystyle A_{n-1}}$

В физической теории диффузии оператор Лапласа естественным образом возникает при математическом описании равновесия . ^[2] В частности, если u — плотность в равновесии некоторой величины, такой как химическая концентрация, то чистый поток u через границу ∂ V (также называемую S ) любой гладкой области V равен нулю, при условии, что внутри V нет источника или стока : где n — внешняя единица, нормальная к границе V . По теореме о расходимости ,$${\displaystyle \int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,}$$$${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.}$$

Поскольку это справедливо для всех гладких областей V , можно показать, что это подразумевает: Левая часть этого уравнения — оператор Лапласа, а все уравнение Δ u = 0 известно как уравнение Лапласа . Решения уравнения Лапласа, т. е. функции, лапласиан которых тождественно равен нулю, таким образом, представляют собой возможные равновесные плотности при диффузии.$${\displaystyle \operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0.}$$

Сам оператор Лапласа имеет физическую интерпретацию для неравновесной диффузии как степени, в которой точка представляет собой источник или сток химической концентрации, в смысле, уточненном уравнением диффузии . Эта интерпретация Лапласа также объясняется следующим фактом о средних значениях.

Если задана дважды непрерывно дифференцируемая функция и точка , то среднее значение по шару с радиусом в центре равно: ^[3]${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle {\overline {f}}_{B}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2(n+2)}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0}$$

Аналогично, среднее значение по сфере (границе шара) с радиусом, центром в точке, равно:${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle {\overline {f}}_{S}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2n}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0.}$$

Если φ обозначает электростатический потенциал, связанный с распределением заряда q , то само распределение заряда задается отрицательным значением лапласиана φ : где ε ₀ — электрическая постоянная .$${\displaystyle q=-\varepsilon _{0}\Delta \varphi ,}$$

Это следствие закона Гаусса . Действительно, если V — любая гладкая область с границей ∂ V , то по закону Гаусса поток электростатического поля E через границу пропорционален заключенному в ней заряду: где первое равенство обусловлено теоремой о расходимости . Поскольку электростатическое поле — это (отрицательный) градиент потенциала, это дает:$${\displaystyle \int _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E} \,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$$${\displaystyle -\int _{V}\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )\,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$

Поскольку это справедливо для всех регионов V , мы должны иметь$${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}q}$$

Тот же подход подразумевает, что отрицание Лапласа гравитационного потенциала является распределением массы . Часто распределение заряда (или массы) задано, а связанный с ним потенциал неизвестен. Нахождение потенциальной функции при соответствующих граничных условиях эквивалентно решению уравнения Пуассона .

Другой мотивацией появления Лапласа в физике является то, что решения Δ f = 0 в области U являются функциями, которые делают функционал энергии Дирихле стационарным : $${\displaystyle E(f)={\frac {1}{2}}\int _{U}\lVert \nabla f\rVert ^{2}\,dx.}$$

Чтобы увидеть это, предположим, что f  : U → R — функция, а u  : U → R — функция, которая обращается в нуль на границе U. Тогда:$${\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\,\Delta f\,dx}$$

где последнее равенство следует из первого тождества Грина . Это вычисление показывает, что если Δ f = 0 , то E стационарно вокруг f . Наоборот, если E стационарно вокруг f , то Δ f = 0 по фундаментальной лемме вариационного исчисления .

Оператор Лапласа в двух измерениях задается выражением:

В декартовых координатах , где x и y — стандартные декартовы координаты плоскости xy .$${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$$

В полярных координатах r представляет собой радиальное расстояние, а θ — угол.$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}},\end{aligned}}}$$

В трехмерном пространстве принято работать с лапласианом в различных системах координат.

В декартовых координатах ,$${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

В цилиндрических координатах , где представляет собой радиальное расстояние, φ — азимутальный угол, а z — высоту.$${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},}$$${\displaystyle \rho }$

В сферических координатах : или путем расширения первого и второго члена, эти выражения читаются как где φ представляет азимутальный угол , а θ — зенитный угол или ко-широта . В частности, вышесказанное эквивалентно$${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$$${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(rf)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$$${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\left(\cos \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}+\sin \theta {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{2}}f,}$

где — оператор Лапласа-Бельтрами на единичной сфере. ${\displaystyle \Delta _{S^{2}}f}$

В общих криволинейных координатах ( ξ ¹ , ξ ² , ξ ³ ):$${\displaystyle \Delta =\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{m}}}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}\right),}$$

где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам , g ^mn — обратный метрический тензор , а Γ ^l _mn — символы Кристоффеля для выбранных координат.

В произвольных криволинейных координатах в N измерениях ( ξ ¹ , ..., ξ ^N ) мы можем записать лапласиан через обратный метрический тензор , : из формулы Фосса- Вейля ^[4] для дивергенции .${\displaystyle g^{ij}}$$${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\left({\sqrt {\det g}}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\right),}$$

В сферических координатах в N измерениях с параметризацией x = rθ ∈ RN ^, где r представляет собой положительный действительный радиус, а θ — элемент единичной сферы S ^{N −1} , где Δ _{S ^{N −1}} — оператор Лапласа–Бельтрами на ( N − 1) -сфере, известный как сферический лапласиан. Два радиальных производных члена можно эквивалентно переписать как:$${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}$$$${\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right).}$$

Как следствие, сферический лапласиан функции, определенной на S ^{N −1} ⊂ RN ^, можно вычислить как обычный лапласиан функции, расширенной на RN ^∖ {0} так, чтобы он был постоянным вдоль лучей, т.е. однородным степени нуль.

Лапласиан инвариантен относительно всех евклидовых преобразований : вращений и переносов . Например, в двух измерениях это означает, что: для всех θ , a и b . В произвольных измерениях, когда ρ является вращением, и аналогично: когда τ является переносом. (В более общем случае это остается верным, когда ρ является ортогональным преобразованием, таким как отражение .)$${\displaystyle \Delta (f(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b))=(\Delta f)(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b)}$$$${\displaystyle \Delta (f\circ \rho )=(\Delta f)\circ \rho }$$$${\displaystyle \Delta (f\circ \tau )=(\Delta f)\circ \tau }$$

Фактически, алгебра всех скалярных линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, коммутирующих со всеми евклидовыми преобразованиями, представляет собой алгебру полиномов, порожденную оператором Лапласа.

Спектр оператора Лапласа состоит из всех собственных значений λ , для которых существует соответствующая собственная функция f с: $${\displaystyle -\Delta f=\lambda f.}$$

Это известно как уравнение Гельмгольца .

Если Ω — ограниченная область в R ⁿ , то собственные функции лапласиана являются ортонормированным базисом для гильбертова пространства L ² (Ω) . Этот результат по существу следует из спектральной теоремы о компактных самосопряженных операторах , примененной к обратному оператору лапласиана (который является компактным в силу неравенства Пуанкаре и теоремы Реллиха–Кондрахова ). ^[5] Можно также показать, что собственные функции являются бесконечно дифференцируемыми функциями. ^[6] В более общем случае эти результаты справедливы для оператора Лапласа–Бельтрами на любом компактном римановом многообразии с границей или, в действительности, для задачи Дирихле на собственные значения любого эллиптического оператора с гладкими коэффициентами на ограниченной области. Когда Ω — n -сфера , собственными функциями лапласиана являются сферические гармоники .

Векторный оператор Лапласа , также обозначаемый как , является дифференциальным оператором, определенным над векторным полем . ^[7] Векторный лапласиан похож на скалярный лапласиан; в то время как скалярный лапласиан применяется к скалярному полю и возвращает скалярную величину, векторный лапласиан применяется к векторному полю , возвращая векторную величину. При вычислении в ортонормальных декартовых координатах возвращаемое векторное поле равно векторному полю скалярного лапласиана, примененного к каждому компоненту вектора.${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Векторный лапласиан векторного поля определяется как Это определение можно рассматривать как разложение Гельмгольца векторного лапласиана.${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ).}$$

В декартовых координатах это сводится к гораздо более простой форме, где , , и являются компонентами векторного поля , а слева от каждой компоненты векторного поля находится (скалярный) оператор Лапласа. Можно видеть, что это частный случай формулы Лагранжа; см. Вектор тройного произведения .$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z}),}$$${\displaystyle A_{x}}$${\displaystyle A_{y}}$${\displaystyle A_{z}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Выражения векторного Лапласа в других системах координат см. в разделе Del в цилиндрических и сферических координатах .

Лапласиан любого тензорного поля (тензор включает скаляр и вектор) определяется как дивергенция градиента тензора:${\displaystyle \mathbf {T} }$$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} .}$$

Для особого случая, когда — скаляр (тензор нулевой степени), лапласиан принимает знакомую форму.${\displaystyle \mathbf {T} }$

Если — вектор (тензор первой степени), градиент — ковариантная производная , которая приводит к тензору второй степени, а дивергенция этого — снова вектор. Формула для векторного лапласиана выше может быть использована, чтобы избежать тензорной математики, и может быть показано, что она эквивалентна дивергенции матрицы Якоби , показанной ниже для градиента вектора:${\displaystyle \mathbf {T} }$$${\displaystyle \nabla \mathbf {T} =(\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z})={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}},{\text{ where }}T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{u}}{\partial v}}.}$$

И, таким же образом, скалярное произведение вектора на градиент другого вектора (тензор 2-й степени), которое вычисляется как вектор, можно рассматривать как произведение матриц: это тождество является результатом, зависящим от координат, и не является общим.$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}.}$$

Примером использования векторного лапласиана являются уравнения Навье-Стокса для ньютоновского несжимаемого потока : где член с векторным лапласианом поля скорости представляет вязкие напряжения в жидкости.$${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right),}$$${\displaystyle \mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right)}$

Другим примером является волновое уравнение для электрического поля, которое можно вывести из уравнений Максвелла при отсутствии зарядов и токов:$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0.}$$

Это уравнение можно также записать как: где — даламбертиан , используемый в уравнении Клейна–Гордона .$${\displaystyle \Box \,\mathbf {E} =0,}$$$${\displaystyle \Box \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2},}$$

Прежде всего, мы говорим, что гладкая функция является супергармонической, если .${\displaystyle u\colon \Omega \subset \mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle -\Delta u\geq 0}$

Пусть будет гладкой функцией, а будет связным компактным множеством. Если является супергармоническим, то для любого имеем для некоторой константы, зависящей от и . ^[8]${\displaystyle u\colon \Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle K\subset \Omega }$${\displaystyle u}$${\displaystyle x\in K}$$${\displaystyle u(x)\geq \inf _{\Omega }u+c\lVert u\rVert _{L^{1}(K)}\;,}$$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle K}$

Версия Лапласа может быть определена везде, где функционал энергии Дирихле имеет смысл, что является теорией форм Дирихле . Для пространств с дополнительной структурой можно дать более явные описания Лапласа следующим образом.

Лапласиан также может быть обобщен до эллиптического оператора, называемого оператором Лапласа–Бельтрами, определенного на римановом многообразии . Оператор Лапласа–Бельтрами, примененный к функции, является следом ( tr ) гессиана функции : где след берется относительно обратного метрического тензора . Оператор Лапласа–Бельтрами также может быть обобщен до оператора (также называемого оператором Лапласа–Бельтрами), который действует на тензорные поля , по аналогичной формуле.$${\displaystyle \Delta f=\operatorname {tr} {\big (}H(f){\big )}}$$

Другое обобщение оператора Лапласа, доступное на псевдоримановых многообразиях, использует внешнюю производную , в терминах которой «лапласиан геометра» выражается как$${\displaystyle \Delta f=\delta df.}$$

Здесь δ — кодифференциал , который также может быть выражен через звезду Ходжа и внешнюю производную. Этот оператор отличается по знаку от «лапласиана аналитика», определенного выше. В более общем смысле, лапласиан «Ходжа» определяется на дифференциальных формах α как$${\displaystyle \Delta \alpha =\delta d\alpha +d\delta \alpha .}$$

Это известно как оператор Лапласа–де Рама , который связан с оператором Лапласа–Бельтрами тождеством Вайтценбека .

Лапласиан можно обобщить некоторыми способами на неевклидовы пространства, где он может быть эллиптическим , гиперболическим или ультрагиперболическим .

В пространстве Минковского оператор Лапласа –Бельтрами становится оператором Даламбера или даламбертианом:${\displaystyle \Box }$$${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$

Это обобщение оператора Лапласа в том смысле, что это дифференциальный оператор, который инвариантен относительно группы изометрий базового пространства, и он сводится к оператору Лапласа, если ограничен не зависящими от времени функциями. Общий знак метрики здесь выбран таким образом, что пространственные части оператора допускают отрицательный знак, что является обычным соглашением в физике частиц высоких энергий . Оператор Даламбера также известен как волновой оператор, поскольку он является дифференциальным оператором, появляющимся в волновых уравнениях , и он также является частью уравнения Клейна–Гордона , которое сводится к волновому уравнению в безмассовом случае.

Дополнительный фактор c в метрике необходим в физике, если пространство и время измеряются в разных единицах; аналогичный фактор потребовался бы, если бы, например, направление x измерялось в метрах, а направление y — в сантиметрах. Действительно, физики-теоретики обычно работают в таких единицах, что c = 1 , чтобы упростить уравнение.

Оператор Даламбера обобщается до гиперболического оператора на псевдоримановых многообразиях .

• Оператор Лапласа–Бельтрами , обобщение на подмногообразия в евклидовом пространстве, римановом и псевдоримановом многообразии.
• Лапласиан в дифференциальной геометрии .
• Дискретный оператор Лапласа является конечно-разностным аналогом непрерывного лапласиана, определенным на графах и сетках.
• Лапласиан — это распространенный оператор в обработке изображений и компьютерном зрении (см. Лапласиан Гаусса , детектор пятен и масштабное пространство ).
• Список формул римановой геометрии содержит выражения для лапласиана через символы Кристоффеля.
• Лемма Вейля (уравнение Лапласа) .
• Теорема Ирншоу , показывающая, что устойчивый статический гравитационный, электростатический или магнитный подвес невозможен.
• Дель в цилиндрических и сферических координатах .
• Другими ситуациями, в которых определяется лапласиан, являются: анализ фракталов , исчисление временной шкалы и дискретное внешнее исчисление .

• Эванс, Л. (1998), Уравнения с частными производными , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0772-9
• Фейнмановские лекции по физике, том II, гл. 12: Электростатические аналоги
• Гилбарг, Д.; Трудингер, Н. (2001), Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка , Springer, ISBN 978-3-540-41160-4.
• Шей, Х. М. (1996), Div, Grad, Curl и все такое , WW Norton, ISBN 978-0-393-96997-9.

• Лапласиан - Ричард Фицпатрик 2006

• «Оператор Лапласа», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Лапласиан». MathWorld .
• Вывод Лапласа в полярных координатах
• Уравнения Лапласа на фрактальных кубах и эффект Казимира