Дель

This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (March 2010) (Learn how and when to remove this message)

Del , или nabla , — оператор, используемый в математике (в частности, в векторном исчислении ) как векторный дифференциальный оператор , обычно представленный символом набла ∇ . При применении к функции, определенной в одномерной области, он обозначает стандартную производную функции, как определено в исчислении . При применении к полю (функции, определенной в многомерной области) он может обозначать любую из трех операций в зависимости от способа его применения: градиент или (локально) самый крутой наклон скалярного поля ( или иногда векторного поля , как в уравнениях Навье–Стокса ); дивергенция векторного поля; или ротор (вращение) векторного поля.

Del — очень удобная математическая нотация для этих трех операций (градиента, расхождения и ротора), которая упрощает написание и запоминание многих уравнений . Символ del (или nabla) можно формально определить как векторный оператор, компонентами которого являются соответствующие операторы частных производных . Как векторный оператор, он может действовать на скалярные и векторные поля тремя различными способами, что приводит к трем различным дифференциальным операциям: во-первых, он может действовать на скалярные поля посредством формального скалярного умножения — чтобы получить векторное поле, называемое градиентом; во-вторых, он может действовать на векторные поля посредством формального скалярного произведения — чтобы получить скалярное поле, называемое дивергенцией; и, наконец, он может действовать на векторные поля посредством формального векторного произведения — чтобы получить векторное поле, называемое ротором. Эти формальные произведения не обязательно коммутируют с другими операторами или произведениями. Эти три использования, подробно описанные ниже, суммируются следующим образом:

• Градиент:${\displaystyle \operatorname {grad} f=\nabla f}$
• Расхождение:${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {v} =\nabla \cdot \mathbf {v} }$
• Завиток:${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {v} }$

В декартовой системе координат с координатами и стандартным базисом del — векторный оператор, компонентами которого являются операторы частных производных ; то есть,${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle {\partial \over \partial x_{1}},\dots ,{\partial \over \partial x_{n}}}$

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}=\left({\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}\right)}$

Где выражение в скобках — вектор-строка. В трехмерной декартовой системе координат с координатами и стандартным базисом или единичными векторами осей del записывается как${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}\}}$

${\displaystyle \nabla =\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}$

Как векторный оператор, del естественным образом действует на скалярные поля посредством скалярного умножения, а на векторные поля естественным образом действует посредством скалярных произведений и перекрестных произведений.

Более конкретно, для любого скалярного поля и любого векторного поля , если определить${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)f:={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}f)={\partial f \over \partial x_{i}}\mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)\cdot \mathbf {F} :={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {F} )={\partial F_{i} \over \partial x_{i}}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial x}(\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial y}(\mathbf {e} _{y}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial z}(\mathbf {e} _{z}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0),}$

тогда, используя приведенное выше определение , можно написать${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla f=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)f+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)f+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)f={\partial f \over \partial x}\mathbf {e} _{x}+{\partial f \over \partial y}\mathbf {e} _{y}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {e} _{z}}$

и

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\cdot \mathbf {F} \right)={\partial F_{x} \over \partial x}+{\partial F_{y} \over \partial y}+{\partial F_{z} \over \partial z}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\times \mathbf {F} \right)\\&={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})+{\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})+{\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0)\\&=\left({\partial F_{z} \over \partial y}-{\partial F_{y} \over \partial z}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\partial F_{x} \over \partial z}-{\partial F_{z} \over \partial x}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\partial F_{y} \over \partial x}-{\partial F_{x} \over \partial y}\right)\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$

Пример:

${\displaystyle f(x,y,z)=x+y+z}$

${\displaystyle \nabla f=\mathbf {e} _{x}{\partial f \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial f \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial f \over \partial z}=\left(1,1,1\right)}$

Del также может быть выражен в других системах координат, см., например, del в цилиндрических и сферических координатах .

Del используется как сокращенная форма для упрощения многих длинных математических выражений. Чаще всего он используется для упрощения выражений для градиента , дивергенции , ротора , производной по направлению и Лапласа .

Векторная производная скалярного поля называется градиентом и может быть представлена ​​как:${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {grad} f={\partial f \over \partial x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\partial f \over \partial y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\partial f \over \partial z}{\hat {\mathbf {z} }}=\nabla f}$

Он всегда указывает в направлении наибольшего увеличения , и имеет величину, равную максимальной скорости увеличения в точке — как и стандартная производная. В частности, если холм определен как функция высоты над плоскостью , градиент в заданном месте будет вектором в плоскости xy (визуализируемым как стрелка на карте), указывающим вдоль самого крутого направления. Величина градиента — это значение этого самого крутого склона.${\displaystyle f}$${\displaystyle h(x,y)}$

В частности, эта нотация является мощной, поскольку правило градиентного произведения выглядит очень похоже на случай 1d-производной:

${\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}$

Однако правила для скалярных произведений не оказываются простыми, как показано ниже:

${\displaystyle \nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )=(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )}$

Дивергенция векторного поля — это скалярное поле , которое можно представить как:${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {v} ={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=\nabla \cdot \mathbf {v} }$

Дивергенция — это, грубо говоря, мера увеличения векторного поля в направлении, которое оно указывает; но, если говорить точнее, это мера тенденции этого поля сходиться к точке или расходиться от нее.

Сила записи del показана в следующем правиле произведения:

${\displaystyle \nabla \cdot (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\cdot \mathbf {v} +f(\nabla \cdot \mathbf {v} )}$

Формула для векторного произведения немного менее интуитивна, поскольку это произведение не является коммутативным:

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(\nabla \times \mathbf {u} )\cdot \mathbf {v} -\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )}$

Ротор векторного поля — это векторная функция , которую можно представить в виде:${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {v} =\left({\partial v_{z} \over \partial y}-{\partial v_{y} \over \partial z}\right){\hat {\mathbf {x} }}+\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right){\hat {\mathbf {y} }}+\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right){\hat {\mathbf {z} }}=\nabla \times \mathbf {v} }$

Завихрение в точке пропорционально крутящему моменту на оси, которому подвергалась бы крошечная вертушка, если бы она была центрирована в этой точке.

Операция векторного произведения может быть визуализирована как псевдодетерминант :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\left|{\begin{matrix}{\hat {\mathbf {x} }}&{\hat {\mathbf {y} }}&{\hat {\mathbf {z} }}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|}$

И снова сила нотации демонстрируется правилом произведения:

${\displaystyle \nabla \times (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )}$

Правило для векторного произведения оказывается не таким уж простым:

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} }$

Направленная производная скалярного поля по направлению определяется как:${\displaystyle f(x,y,z)}$${\displaystyle \mathbf {a} (x,y,z)=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \nabla )f=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+a_{x}h,y+a_{y}h,z+a_{z}h)-f(x,y,z)}{h}}.}$

Что равно следующему, когда градиент существует

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \operatorname {grad} f=a_{x}{\partial f \over \partial x}+a_{y}{\partial f \over \partial y}+a_{z}{\partial f \over \partial z}=\mathbf {a} \cdot (\nabla f)}$

Это дает скорость изменения поля в направлении , масштабированную по величине . В операторной нотации элемент в скобках можно считать единой связной единицей; динамика жидкости широко использует это соглашение, называя его конвективной производной — «движущейся» производной жидкости.${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$

Обратите внимание, что это оператор, который переводит скаляр в скаляр. Его можно расширить для работы с вектором, работая отдельно с каждым из его компонентов.${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \nabla )}$

Оператор Лапласа — скалярный оператор, который может применяться как к векторным, так и к скалярным полям; для декартовых систем координат он определяется как:

${\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$

а определение для более общих систем координат дано в векторном Лапласиане .

Лапласиан повсеместно используется в современной математической физике , появляясь, например, в уравнении Лапласа , уравнении Пуассона , уравнении теплопроводности , волновом уравнении и уравнении Шредингера .

В то время как обычно представляет собой лапласиан , иногда также представляет собой матрицу Гессе . Первый относится к внутреннему произведению , в то время как последний относится к двоичному произведению :${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla ^{T}}$.

Поэтому речь идет о матрице Лапласа или Гессе, зависит от контекста.${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Del также может быть применен к векторному полю, результатом чего будет тензор . Производная тензора векторного поля (в трех измерениях) является 9-членным тензором второго ранга, то есть матрицей 3×3, но может быть обозначена просто как , где представляет собой двоичное произведение . Эта величина эквивалентна транспонированию матрицы Якоби векторного поля относительно пространства. Тогда дивергенция векторного поля может быть выражена как след этой матрицы.${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \nabla \otimes \mathbf {v} }$${\displaystyle \otimes }$

При малом смещении изменение векторного поля определяется выражением:${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$

${\displaystyle \delta \mathbf {v} =(\nabla \otimes \mathbf {v} )^{T}\cdot \delta \mathbf {r} }$

Для векторного исчисления :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (fg)&=f\nabla g+g\nabla f\\\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} \\\nabla \cdot (f\mathbf {v} )&=f(\nabla \cdot \mathbf {v} )+\mathbf {v} \cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {v} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )-\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (f\mathbf {v} )&=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Для матричного исчисления (для которого можно записать ):${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} ^{\text{T}}\mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \nabla \right)^{\text{T}}\mathbf {u} &=\nabla ^{\text{T}}\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\mathbf {u} \right)-\left(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)\mathbf {u} \end{aligned}}}$

Другое интересное соотношение (см., например, уравнения Эйлера ) заключается в следующем, где — тензор внешнего произведения :${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} +(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Когда del работает со скаляром или вектором, возвращается либо скаляр, либо вектор. Из-за разнообразия векторных произведений (скаляр, точка, крест) одно применение del уже приводит к трем основным производным: градиенту (скалярное произведение), дивергенции (скалярное произведение) и ротору (перекрестное произведение). Применение этих трех видов производных снова друг к другу дает пять возможных вторых производных для скалярного поля f или векторного поля v ; использование скалярного лапласиана и векторного лапласиана дает еще два:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f\\\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)\\\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {v} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\operatorname {curl} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \times (\nabla \times \mathbf {v} )\\\Delta f&=\nabla ^{2}f\\\Delta \mathbf {v} &=\nabla ^{2}\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Они интересны в основном потому, что они не всегда уникальны или независимы друг от друга. Пока функции ведут себя хорошо ( в большинстве случаев), две из них всегда равны нулю:${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)=0\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0\end{aligned}}}$

Два из них всегда равны:

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f}$

Три оставшиеся векторные производные связаны уравнением:

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {v} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\nabla ^{2}\mathbf {v} }$

И один из них можно даже выразить с помощью тензорного произведения, если функции ведут себя хорошо:

${\displaystyle \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )=\nabla \cdot (\mathbf {v} \otimes \nabla )}$

Большинство из вышеперечисленных векторных свойств (за исключением тех, которые явно опираются на дифференциальные свойства del, например, правило произведения) опираются только на перестановку символов и должны обязательно сохраняться, если символ del заменяется любым другим вектором. Это часть ценности, которая должна быть получена при обозначении этого оператора как вектора.

Хотя часто можно заменить del вектором и получить векторную идентичность, сделав эти идентичности мнемоническими, обратное не обязательно надежно, поскольку del в общем случае не коммутирует.

Контрпример, демонстрирующий, что оператор дивергенции ( ) и оператор адвекции ( ) не являются коммутативными:${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )f&\equiv (\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )f\\(\nabla \cdot \mathbf {v} )f&=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f\\(\mathbf {v} \cdot \nabla )f&=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}\\\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {v} )f&\neq (\mathbf {v} \cdot \nabla )f\\\end{aligned}}}$

Контрпример, основанный на дифференциальных свойствах Дэля:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla x)\times (\nabla y)&=\left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial x}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial x}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial x}{\partial z}}\right)\times \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial y}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial y}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\\&=(\mathbf {e} _{x}\cdot 1+\mathbf {e} _{y}\cdot 0+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\times (\mathbf {e} _{x}\cdot 0+\mathbf {e} _{y}\cdot 1+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\\&=\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {e} _{y}\\&=\mathbf {e} _{z}\\(\mathbf {u} x)\times (\mathbf {u} y)&=xy(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )\\&=xy\mathbf {0} \\&=\mathbf {0} \end{aligned}}}$

Центральным в этих различиях является тот факт, что del — это не просто вектор; это векторный оператор . В то время как вектор — это объект, имеющий как величину, так и направление, del не имеет ни величины, ни направления, пока не работает с функцией.

По этой причине тождества, включающие del, следует выводить с осторожностью, используя как векторные тождества, так и тождества дифференциации, такие как правило произведения.

• Del в цилиндрических и сферических координатах
• Обозначение для дифференциации
• Тождества векторного исчисления
• Уравнения Максвелла
• Уравнения Навье–Стокса
• Таблица математических символов
• Оператор Quabla

• Уиллард Гиббс и Эдвин Бидвелл Уилсон (1901) Векторный анализ , Издательство Йельского университета , 1960: Dover Publications .
• Schey, HM (1997). Div, Grad, Curl и все такое: неформальный текст по векторному исчислению . Нью-Йорк: Norton. ISBN 0-393-96997-5.
• Миллер, Джефф. «Древнейшее использование символов исчисления».
• Арнольд Ноймайер (26 января 1998 г.). Клив Молер (ред.). «История Наблы». NA Digest, том 98, выпуск 03. netlib.org.

• Обзор неправильного использования ∇ в векторном анализе (1994) Тай, Чэнь