Основная лемма вариационного исчисления

В математике , в частности в вариационном исчислении , вариация δf функции f может быть сосредоточена на сколь угодно малом интервале, но не в одной точке. Соответственно, необходимое условие экстремума ( функциональная производная равна нулю) появляется в слабой формулировке (вариационной форме), интегрированной с произвольной функцией δf . Основная лемма вариационного исчисления обычно используется для преобразования этой слабой формулировки в сильную формулировку ( дифференциальное уравнение ), свободную от интегрирования с произвольной функцией. Доказательство обычно использует возможность выбора δf, сосредоточенного на интервале, на котором f сохраняет знак (положительный или отрицательный). Используется несколько версий леммы. Базовые версии легко формулировать и доказывать. Более сильные версии используются при необходимости.

Если непрерывная функция на открытом интервале удовлетворяет равенству${\displaystyle f}$${\displaystyle (а,б)}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

для всех гладких функций с компактным носителем на , то тождественно равен нулю. ^{[1] [2]} ${\displaystyle ч}$${\displaystyle (а,б)}$${\displaystyle f}$

Здесь «гладкий» может интерпретироваться как «бесконечно дифференцируемый», ^[1] но часто интерпретируется как «дважды непрерывно дифференцируемый» или «непрерывно дифференцируемый» или даже просто «непрерывный», ^[2] поскольку эти более слабые утверждения могут быть достаточно сильными для данной задачи. «Компактно носительный» означает «исчезает снаружи для некоторого , такого что «; ^[1] но часто достаточно более слабого утверждения, предполагая только, что (или и ряд его производных) обращается в нуль в конечных точках , ; ^[2] в этом случае используется замкнутый интервал .${\displaystyle [c,d]}$${\displaystyle с}$${\displaystyle д}$${\displaystyle а<с<d<b}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$${\displaystyle [а,б]}$

Предположим, что для некоторого . Поскольку является непрерывным, оно отлично от нуля с тем же знаком для некоторого такого, что . Без потери общности предположим . Затем возьмем , который положителен на и равен нулю в других местах, например ${\displaystyle f({\bar {x}})\neq 0}$${\displaystyle {\bar {x}}\in (a,b)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c,d}$${\displaystyle а<с<{\bar {x}}<d<b}$${\displaystyle f({\bar {x}})>0}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle (c,d)}$

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{(xc)(dx)}}\right),&c<x<d\\0,&\mathrm {иначе} \end{cases}}}$.

Обратите внимание, что эта функция выпуклости удовлетворяет свойствам в утверждении, включая . Поскольку${\displaystyle C^{\infty}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)h(x)dx>0,}$

мы приходим к противоречию. ^[3]

Если пара непрерывных функций f , g на интервале ( a , b ) удовлетворяет равенству

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x))\,\mathrm {d} x=0}$

для всех гладких функций h с компактным носителем на ( a , b ) g дифференцируема и g' = f  всюду. ^{[4] [5]}

Частный случай g = 0 — это всего лишь базовая версия.

Вот частный случай для f = 0 (часто достаточно).

Если непрерывная функция g на интервале ( a , b ) удовлетворяет равенству

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,h'(x)\,\mathrm {d} x=0}$

для всех гладких функций h на ( a , b ) таких, что , то g является константой . ^[6]${\displaystyle h(a)=h(b)=0}$

Если, кроме того, предполагается непрерывная дифференцируемость g , то интегрирование по частям сводит оба утверждения к базовой версии; этот случай приписывается Жозефу-Луи Лагранжу , тогда как доказательство дифференцируемости g принадлежит Полю дю Буа-Реймону .

Заданные функции ( f , g ) могут быть разрывными, при условии, что они локально интегрируемы (на заданном интервале). В этом случае подразумевается интегрирование по Лебегу , выводы выполняются почти всюду (таким образом, во всех точках непрерывности), а дифференцируемость g интерпретируется как локальная абсолютная непрерывность (а не непрерывная дифференцируемость). ^{[7] [8]} Иногда заданные функции предполагаются кусочно-непрерывными , в этом случае достаточно интегрирования по Риману , и выводы формулируются всюду, за исключением конечного множества точек разрыва. ^[5]

Если кортеж непрерывных функций на интервале ( a , b ) удовлетворяет равенству${\displaystyle f_{0},f_{1},\точки ,f_{n}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f_{0}(x)\,h(x)+f_{1}(x)\,h'(x)+\dots +f_{n}(x)\,h^{(n)}(x))\,\mathrm {d} x=0}$

для всех гладких функций h с компактным носителем на ( a , b ) существуют непрерывно дифференцируемые функции на ( a , b ) такие, что${\displaystyle u_{0},u_{1},\dots ,u_{n-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{0}&=u'_{0},\\f_{1}&=u_{0}+u'_{1},\\f_{2}&=u_{1}+u'_{2}\\\vdots \\f_{n-1}&=u_{n-2}+u'_{n-1},\\f_{n}&=u_{n-1}\end{aligned}}}$

везде. ^[9]

Это необходимое условие является также достаточным, поскольку подынтегральное выражение становится${\displaystyle (u_{0}h)'+(u_{1}h')'+\dots +(u_{n-1}h^{(n-1)})'.}$

Случай n = 1 — это просто версия для двух заданных функций, поскольку и, таким образом,${\displaystyle f=f_{0}=u'_{0}}$${\displaystyle f_{1}=u_{0},}$${\displaystyle f_{0}-f'_{1}=0.}$

Напротив, случай n = 2 не приводит к соотношению , поскольку функция не обязана быть дифференцируемой дважды. Достаточное условие не является необходимым. Скорее, необходимое и достаточное условие можно записать как для n = 2, для n = 3 и т. д.; в общем случае скобки не могут быть раскрыты из-за недифференцируемости.${\displaystyle f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0,}$${\displaystyle f_{2}=u_{1}}$${\displaystyle f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0}$${\displaystyle f_{0}-(f_{1}-f'_{2})'=0}$${\displaystyle f_{0}-(f_{1}-(f_{2}-f'_{3})')'=0}$

Обобщение на векторные функции осуществляется просто: результаты для скалярных функций применяются к каждой координате отдельно ^[10] или рассматривается векторный случай с самого начала ^{[11] .}${\displaystyle (a,b)\to \mathbb {R} ^{d}}$

Если непрерывная функция многих переменных f на открытом множестве удовлетворяет равенству${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

для всех гладких функций h с компактным носителем на Ω f тождественно равна нулю.

Аналогично базовой версии можно рассмотреть непрерывную функцию f на замыкании Ω, предполагая, что h обращается в нуль на границе Ω (а не имеет компактного носителя). ^[12]

Вот версия для разрывных многомерных функций.

Пусть будет открытым множеством и удовлетворяет равенству${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle f\in L^{2}(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

для всех компактно носимых гладких функций h на Ω. Тогда ^f = 0 (в L2 , то есть почти всюду). ^[13]

Эта лемма используется для доказательства того, что экстремумы функционала

${\displaystyle J[y]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}L(t,y(t),{\dot {y}}(t))\,\mathrm {d} t}$

являются слабыми решениями (для соответствующего векторного пространства ) уравнения Эйлера–Лагранжа${\displaystyle y:[x_{0},x_{1}]\to V}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial y}={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial {\dot {y}}}.}$

Уравнение Эйлера–Лагранжа играет важную роль в классической механике и дифференциальной геометрии .

• Йост, Юрген; Ли-Йост, Сяньцин (1998), Вариационное исчисление , Кембриджский университет
• Гельфанд, И.М.; Фомин, С.В. (1963), Вариационное исчисление , Prentice-Hall(перевод с русского).
• Хестенес, Магнус Р. (1966), Вариационное исчисление и теория оптимального управления , Джон Уайли
• Джаквинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (1996), Вариационное исчисление I , Springer
• Либерзон, Дэниел (2012), Вариационное исчисление и теория оптимального управления , Princeton University Press