Экзотическая сфера

В области математики, называемой дифференциальной топологией , экзотическая сфера — это дифференцируемое многообразие M , гомеоморфное , но не диффеоморфное стандартной евклидовой n -сфере . То есть M является сферой с точки зрения всех ее топологических свойств, но несущей гладкую структуру , которая не является привычной (отсюда и название «экзотическая»).

Первые экзотические сферы были построены Джоном Милнором  (1956) в размерности как - расслоения над . Он показал, что на 7-сфере существует по крайней мере 7 дифференцируемых структур. В любой размерности Милнор (1959) показал, что классы диффеоморфизма ориентированных экзотических сфер образуют нетривиальные элементы абелева моноида относительно связной суммы, который является конечной абелевой группой , если размерность не равна 4. Классификация экзотических сфер Мишеля Кервера и Милнора (1963) показала, что ориентированные экзотические 7-сферы являются нетривиальными элементами циклической группы порядка 28 относительно операции связной суммы .${\displaystyle n=7}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{4}}$

В более общем случае, в любой размерности n ≠ 4 существует конечная абелева группа, элементы которой являются классами эквивалентности гладких структур на S ⁿ , где две структуры считаются эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию диффеоморфизм, переносящий одну структуру на другую. Групповая операция определяется как [x] + [y] = [x + y], где x и y — произвольные представители их классов эквивалентности, а x + y обозначает гладкую структуру на гладкой S ⁿ , которая является связной суммой x и y. Необходимо показать, что такое определение не зависит от сделанного выбора; на самом деле это можно показать.

Единичная n -сфера, , представляет собой множество всех ( n +1)-кортежей действительных чисел, таких что сумма . Например, является окружностью, а является поверхностью обычного шара радиуса один в 3 измерениях. Топологи считают пространство X n -сферой, если между ними существует гомеоморфизм , т. е. каждая точка в X может быть сопоставлена ​​ровно одной точке в единичной n -сфере непрерывной биекцией с непрерывной обратной. Например, точка x на n -сфере радиуса r может быть гомеоморфно сопоставлена ​​с точкой на единичной n -сфере путем умножения ее расстояния от начала координат на . Аналогично, n -куб любого радиуса гомеоморфен n -сфере.${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}=1}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle 1/r}$

В дифференциальной топологии два гладких многообразия считаются гладко эквивалентными, если существует диффеоморфизм из одного в другое, который является гомеоморфизмом между ними, с дополнительным условием, что он должен быть гладким — то есть он должен иметь производные всех порядков во всех своих точках — и его обратный гомеоморфизм также должен быть гладким. Для вычисления производных необходимо иметь локальные системы координат, определенные согласованно в X. Математики (включая самого Милнора) были удивлены в 1956 году, когда Милнор показал, что согласованные локальные системы координат могут быть установлены на 7-мерной сфере двумя различными способами, которые были эквивалентны в непрерывном смысле, но не в дифференцируемом смысле. Милнор и другие начали пытаться выяснить, сколько таких экзотических сфер может существовать в каждом измерении, и понять, как они соотносятся друг с другом. Никакие экзотические структуры невозможны на 1-, 2-, 3-, 5-, 6-, 12-, 56- или 61-мерной сфере. ^[1] Некоторые многомерные сферы имеют только две возможные дифференцируемые структуры, другие — тысячи. Существуют ли экзотические 4-сферы, и если да, то сколько их — это нерешенная проблема .

Моноид гладких структур на n -сферах — это набор ориентированных гладких n -многообразий, гомеоморфных n -сфере, взятый с точностью до сохраняющего ориентацию диффеоморфизма. Операция моноида — это связная сумма . При условии , этот моноид является группой и изоморфен группе классов h -кобордизмов ориентированных гомотопических n -сфер , которая конечна и абелева. В размерности 4 о моноиде гладких сфер почти ничего не известно, кроме того, что он конечен или счетно бесконечен и абелев, хотя предполагается, что он бесконечен; см. раздел о поворотах Глюка. Все гомотопические n -сферы гомеоморфны n -сфере согласно обобщенной гипотезе Пуанкаре , доказанной Стивеном Смейлом в размерностях больше 4, Майклом Фридманом в размерности 4 и Григорием Перельманом в размерности 3. В размерности 3 Эдвин Э. Моисе доказал, что каждое топологическое многообразие имеет по существу уникальную гладкую структуру (см. теорему Моисея ), поэтому моноид гладких структур на 3-сфере тривиален.${\displaystyle n\neq 4}$${\displaystyle \Тета _{n}}$

Группа имеет циклическую подгруппу${\displaystyle \Тета _{n}}$

${\displaystyle bP_{n+1}}$

представлено n -сферами, которые ограничивают параллелизуемые многообразия . Структуры и фактор${\displaystyle bP_{n+1}}$

${\displaystyle \Тета _{n}/bP_{n+1}}$

описаны отдельно в статье ( Kervaire & Milnor  1963), которая оказала влияние на развитие теории хирургии . Фактически, эти вычисления можно сформулировать на современном языке в терминах точной последовательности хирургии, как указано здесь .

Группа является циклической группой и является тривиальной или имеет порядок 2, за исключением случая , в этом случае она может быть большой, с ее порядком, связанным с числами Бернулли . Она тривиальна, если n четно. Если n равно 1 mod 4, она имеет порядок 1 или 2; в частности, она имеет порядок 1, если n равно 1, 5, 13, 29 или 61, и Уильям Браудер  (1969) доказал, что она имеет порядок 2, если mod 4 не имеет вида . Из почти полностью решенной проблемы инварианта Кервера следует , что она имеет порядок 2 для всех n, больших 126; случай все еще открыт. Порядок для равен${\displaystyle bP_{n+1}}$${\displaystyle n=4k+3}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle 2^{k}-3}$${\displaystyle n=126}$${\displaystyle bP_{4k}}$${\displaystyle k\geq 2}$

${\displaystyle 2^{2k-2}(2^{2k-1}-1)B,}$

где B — числитель , а — число Бернулли . (Формула в топологической литературе немного отличается, поскольку топологи используют разные соглашения для обозначения чисел Бернулли; в этой статье используются соглашения теоретиков чисел.)${\displaystyle 4B_{2k}/k}$${\displaystyle B_{2k}}$

Фактор-группа имеет описание в терминах стабильных гомотопических групп сфер по модулю образа J-гомоморфизма ; она либо равна фактору, либо индексу 2. Точнее, существует инъективное отображение${\displaystyle \Тета _{n}/bP_{n+1}}$

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,}$

где - n- я стабильная гомотопическая группа сфер, а J - образ J -гомоморфизма. Как и в случае , образ J - циклическая группа, и является тривиальным или порядка 2, за исключением случая , в этом случае он может быть большим, с его порядком, связанным с числами Бернулли . Фактор-группа - это "жесткая" часть стабильных гомотопических групп сфер, и, соответственно, является жесткой частью экзотических сфер, но почти полностью сводится к вычислению гомотопических групп сфер. Отображение является либо изоморфизмом (образ - вся группа), либо инъективным отображением с индексом 2. Последнее имеет место тогда и только тогда, когда существует n -мерное оснащенное многообразие с инвариантом Кервера 1, которое известно как проблема инварианта Кервера . Таким образом, фактор 2 в классификации экзотических сфер зависит от проблемы инварианта Кервера.${\displaystyle \пи _{n}^{S}}$${\displaystyle bP_{n+1}}$${\displaystyle n=4k+3}$${\displaystyle \pi _{n}^{S}/J}$${\displaystyle \Тета _{n}/bP_{n+1}}$

Проблема инварианта Кервера почти полностью решена, открытым остается только случай , хотя Чжоули Сюй (в сотрудничестве с Вэйнаном Линем и Гочжэнем Ваном) объявил на семинаре в Принстонском университете 30 мая 2024 года, что окончательный случай размерности 126 решен и что существуют многообразия с инвариантом Кервера 1 в размерности 126. Предыдущая работа Браудера (1969) доказала, что такие многообразия существуют только в размерности , и Хилла, Хопкинса и Равенеля (2016), которые доказали, что таких многообразий не существует для размерности и выше. Многообразия с инвариантом Кервера 1 были построены в размерности 2, 6, 14, 30. Хотя известно, что существуют многообразия с инвариантом Кервера 1 в размерности 62, такое многообразие пока не было построено. Аналогично для размерности 126.${\displaystyle n=126}$${\displaystyle n=2^{j}-2}$${\displaystyle 254=2^{8}-2}$

Порядок группы указан в этой таблице (последовательность A001676 в OEIS ) из (Kervaire & Milnor 1963) (за исключением того, что запись для в их статье неверна в 2 раза; см. исправление в томе III, стр. 97 собрания сочинений Милнора).${\displaystyle \Тета _{n}}$${\displaystyle n=19}$

Тусклый н	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
заказ${\displaystyle \Тета _{n}}$	1	1	1	1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24
${\displaystyle bP_{n+1}}$	1	1	1	1	1	1	28	1	2	1	992	1	1	1	8128	1	2	1	261632	1
${\displaystyle \Тета _{n}/bP_{n+1}}$	1	1	1	1	1	1	1	2	2×2	6	1	1	3	2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
${\displaystyle \pi _{n}^{S}/J}$	1	2	1	1	1	2	1	2	2×2	6	1	1	3	2×2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
индекс	–	2	–	–	–	2	–	–	–	–	–	–	–	2	–	–	–	–	–	–

Обратите внимание, что для dim тогда , , , и . Дальнейшие записи в этой таблице могут быть вычислены из информации выше вместе с таблицей стабильных гомотопических групп сфер .${\displaystyle n=4k-1}$${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)}$${\displaystyle 992=2^{5}(2^{5}-1)}$${\displaystyle 16256=2^{7}(2^{7}-1)}$${\displaystyle 523264=2^{10}(2^{9}-1)}$

С помощью вычислений стабильных гомотопических групп сфер Ван и Сюй (2017) доказывают, что сфера S ⁶¹ имеет уникальную гладкую структуру и что это последняя нечетномерная сфера с этим свойством — единственными являются S ¹ , S ³ , S ⁵ и S ⁶¹ .

Одним из первых примеров экзотической сферы, найденных Милнором (1956, раздел 3), был следующий. Пусть будет единичным шаром в , и пусть будет его границей — 3-сферой, которую мы отождествляем с группой единичных кватернионов . Теперь возьмем две копии , каждая с границей , и склем их вместе, отождествив на первой границе с на второй границе. Полученное многообразие имеет естественную гладкую структуру и гомеоморфно , но не диффеоморфно . Милнор показал, что оно не является границей никакого гладкого 8-многообразия с исчезающим 4-м числом Бетти и не имеет диффеоморфизма, обращающего ориентацию, на себя; любое из этих свойств означает, что оно не является стандартной 7-сферой. Милнор показал, что это многообразие имеет функцию Морса всего с двумя критическими точками , обе невырожденные, что подразумевает, что оно топологически является сферой.${\displaystyle B^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle B^{4}\times S^{3}}$${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (a,a^{2}ba^{-1})}$${\displaystyle S^{7}}$${\displaystyle S^{7}}$

Как показал Эгберт Брискорн  (1966, 1966b) (см. также (Хирцебрух и Майер 1968)) пересечение комплексного многообразия точек в удовлетворяющем${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{3}+e^{6k-1}=0\ }$

с небольшой сферой вокруг начала координат для дает все 28 возможных гладких структур на ориентированной 7-сфере. Подобные многообразия называются сферами Брискорна .${\displaystyle k=1,2,\ldots ,28}$

Учитывая (сохраняющий ориентацию) диффеоморфизм , склеивание границ двух копий стандартного диска вместе с помощью f дает многообразие, называемое скрученной сферой (с скручиванием f ). Оно гомотопически эквивалентно стандартной n -сфере, поскольку склеивающее отображение гомотопно тождеству (будучи диффеоморфизмом, сохраняющим ориентацию, следовательно, имеет степень 1), но в общем случае не диффеоморфно стандартной сфере. (Milnor 1959b) Принимая в качестве группы скрученных n -сфер (под суммой соединений), получаем точную последовательность${\displaystyle f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}}$${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$

${\displaystyle \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})\to \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})\to \Gamma _{n}\to 0.}$

Для , каждая экзотическая n -сфера диффеоморфна скрученной сфере, результат, доказанный Стивеном Смейлом , который можно рассматривать как следствие теоремы о h -кобордизме . (Напротив, в кусочно-линейной постановке самое левое отображение происходит на через радиальное расширение : каждая кусочно-линейно-скрученная сфера является стандартной.) Группа скрученных сфер всегда изоморфна группе . Обозначения различаются, поскольку сначала не было известно, что они одинаковы для или 4; например, случай эквивалентен гипотезе Пуанкаре .${\displaystyle n>5}$${\displaystyle \Gamma _{n}}$${\displaystyle \Theta _{n}}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle n=3}$

В 1970 году Жан Серф доказал теорему о псевдоизотопии , из которой следует, что является тривиальной группой, приведённой , и, следовательно, приведённой .${\displaystyle \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})}$${\displaystyle n\geq 6}$${\displaystyle \Gamma _{n}\simeq \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})}$${\displaystyle n\geq 6}$

Если M — кусочно-линейное многообразие , то задача нахождения совместимых гладких структур на M зависит от знания групп Γ _k = Θ _k . Точнее, препятствия к существованию любой гладкой структуры лежат в группах H _k+1 ( M , Γ _k ) для различных значений k , в то время как если такая гладкая структура существует, то все такие гладкие структуры можно классифицировать с помощью групп H _k ( M , Γ _k ) . В частности, группы Γ _k исчезают, если k < 7 , поэтому все PL-многообразия размерности не более 7 имеют гладкую структуру, которая по существу уникальна, если многообразие имеет размерность не более 6.

Следующие конечные абелевы группы по сути одинаковы:

• Группа Θ _n классов h-кобордизмов ориентированных гомотопических n -сфер.
• Группа классов h-кобордизма ориентированных n -сфер.
• Группа Γ _n скрученных ориентированных n -сфер.
• Гомотопическая группа π _n (PL/DIFF)
• Если n ≠ 3 , то гомотопическая группа π _n (TOP/DIFF) (если n = 3, то эта группа имеет порядок 2; см. инвариант Кирби–Зибенмана ).
• Группа гладких структур ориентированной ПЛ n -сферы.
• Если n ≠ 4 , то группа гладких структур ориентированной топологической n -сферы.
• Если n ≠ 5 , то группа компонент группы всех сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов S ^{n −1} .

В 4 измерениях неизвестно, существуют ли какие-либо экзотические гладкие структуры на 4-сфере. Утверждение, что их не существует, известно как «гладкая гипотеза Пуанкаре» и обсуждается Майклом Фридманом , Робертом Гомпфом и Скоттом Моррисоном и др. (2010), которые говорят, что это считается ложным.

Некоторые кандидаты, предложенные для экзотических 4-сфер, — это сферы Каппелла–Шейнсона ( Сильвен Каппелл и Юлиус Шейнсон  (1976)) и те, которые получены с помощью скручиваний Глюка (Глюк 1962). Скручивания Глюка строятся путем вырезания трубчатой ​​окрестности 2-сферы S в S ⁴ и склеивания ее обратно с помощью диффеоморфизма ее границы S ² × S ¹ . Результат всегда гомеоморфен S ⁴ . Многие случаи на протяжении многих лет были исключены как возможные контрпримеры к гладкой 4-мерной гипотезе Пуанкаре. Например, Кэмерон Гордон  (1976), Хосе Монтесинос (1983), Стивен П. Плотник (1984), Гомпф (1991), Хабиро, Марумото и Ямада (2000), Селман Акбулут  (2010), Гомпф (2010), Ким и Ямада (2017).

• Сфера Милнора
• Атлас (топология)
• Конструкция сцепления
• Экзотический R ⁴
• Теория Серфа
• Семимерное пространство

• Акбулут, Селман (2010), «Гомотопические сферы Каппелла–Шейнсона являются стандартными», Annals of Mathematics , 171 (3): 2171– 2175, arXiv : 0907.0136 , doi : 10.4007/annals.2010.171.2171, S2CID  754611
• Брискорн, Эгберт В. (1966), «Примеры сингулярных нормальных комплексных пространств, которые являются топологическими многообразиями», Труды Национальной академии наук , 55 (6): 1395– 1397, Bibcode : 1966PNAS...55.1395B, doi : 10.1073/pnas.55.6.1395 , MR  0198497, PMC  224331 , PMID  16578636
• Брискорн, Эгберт (1966b), "Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten", Invent. Математика. , 2 (1): 1–14 , Bibcode :1966InMat...2....1B, doi :10.1007/BF01403388, MR  0206972, S2CID  123268657
• Браудер, Уильям (1969), «Инвариант Кервера оснащенных многообразий и его обобщение», Annals of Mathematics , 90 (1): 157– 186, doi :10.2307/1970686, JSTOR  1970686, MR  0251736
• Каппелл, Сильвен Э .; Шейнсон, Юлиус Л. (1976), «Некоторые новые четырехмерные многообразия», Annals of Mathematics , 104 (1): 61– 72, doi :10.2307/1971056, JSTOR  1971056
• Фридман, Майкл ; Гомпф, Роберт; Моррисон, Скотт; Уокер, Кевин (2010), «Человек и машина, размышляющие о гладкой 4-мерной гипотезе Пуанкаре», Квантовая топология , 1 (2): 171– 208, arXiv : 0906.5177 , doi : 10.4171/qt/5, S2CID  18029746
• Глюк, Герман (1962), «Вложение двухсфер в четырехсферу», Труды Американского математического общества , 104 (2): 308–333 , doi : 10.2307/1993581 , JSTOR  1993581, MR  0146807
• Хьюз, Марк; Ким, Сынвон; Миллер, Мэгги (2018), Глюковские повороты S ⁴ диффеоморфны S ⁴ , arXiv : 1804.09169v1
• Гомпф, Роберт Э. (1991), «Уничтожение 4-сферы Акбулута-Кирби, имеющее отношение к проблемам Андреса-Кертиса и Шёнфлиса», Топология , 30 : 123–136 , doi : 10.1016/0040-9383(91)90036-4
• Gompf, Robert E (2010), «Больше сфер Каппелла-Шейнсона являются стандартными», Algebraic & Geometric Topology , 10 (3): 1665– 1681, arXiv : 0908.1914 , doi : 10.2140/agt.2010.10.1665, S2CID  16936498
• Гордон, Кэмерон МакА. (1976), «Узлы в 4-сфере», Commentarii Mathematici Helvetici , 51 : 585–596 , doi : 10.1007/BF02568175, S2CID  119479183
• Хабиро, Кадзуо; Марумото, Ёсихико; Ямада, Юичи (2000), «Хирургия Глюка и рамочные связи в 4-многообразиях», Серия об узлах и всем остальном , 24 , World Scientific: 80–93 , ISBN 978-9810243401
• Хилл, Майкл А.; Хопкинс, Майкл Дж .; Равенел, Дуглас К. (2016) [Впервые опубликовано как arXiv 2009]. «О несуществовании элементов инварианта Кервера один». Annals of Mathematics . 184 (1): 1– 262. arXiv : 0908.3724 . doi : 10.4007/annals.2016.184.1.1. S2CID  13007483.
• Хирцебрух, Фридрих; Майер, Карл Хайнц (1968), O (n)-Mannigfaltigkeiten, exotische Sphären und Singularitäten , Конспекты лекций по математике, том. 57, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/BFb0074355, ISBN. 978-3-540-04227-3, МР  0229251В этой книге описывается работа Брискорна, связывающая экзотические сферы с особенностями комплексных многообразий.
• Кервер, Мишель А .; Милнор, Джон В. (1963). «Группы гомотопических сфер: I» (PDF) . Annals of Mathematics . 77 (3): 504–537 . doi :10.2307/1970128. JSTOR  1970128. MR  0148075.– В этой статье описывается структура группы гладких структур на n- сфере для n > 4. Обещанная статья «Группы гомотопических сфер: II» так и не появилась, но лекционные заметки Левина содержат материал, который, как можно было бы ожидать, должен был в ней содержаться.
• Ким, Мин Хун; Ямада, Шохей (2017), Идеальные классы и гомотопия Каппелла-Шейнсона 4-сфер , arXiv : 1707.03860v1
• Левин, Джером П. (1985), «Лекции о группах гомотопических сфер», Алгебраическая и геометрическая топология , Lecture Notes in Mathematics, т. 1126, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр.  62–95 , doi :10.1007/BFb0074439, ISBN 978-3-540-15235-4, г-н  8757031
• Милнор, Джон В. (1956), «О многообразиях, гомеоморфных 7-мерной сфере», Annals of Mathematics , 64 (2): 399– 405, doi :10.2307/1969983, JSTOR  1969983, MR  0082103, S2CID  18780087
• Милнор, Джон В. (1959), «Некоторые разновидности дифференциалов и структуры дифференциалов сфер», Bulletin de la Société Mathématique de France , 87 : 439–444 , doi : 10.24033/bsmf.1538 , MR  0117744
• Милнор, Джон В. (1959б), «Дифференцируемые структуры на сферах», American Journal of Mathematics , 81 (4): 962– 972, doi :10.2307/2372998, JSTOR  2372998, MR  0110107
• Милнор, Джон (2000), «Классификация -связных -мерных многообразий и открытие экзотических сфер», в Cappell, Sylvain ; Ranicki, Andrew ; Rosenberg, Jonathan (ред.), Surveys on Surgery Theory: Volume 1 , Annals of Mathematics Studies 145, Princeton University Press, стр.  25–30 , ISBN${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle 2n}$ 9780691049380, г-н  1747528.
• Milnor, John Willard (2009), "Пятьдесят лет назад: топология многообразий в 50-х и 60-х годах" (PDF) , в Mrowka, Tomasz S. ; Ozsváth, Peter S. (ред.), Топология малых размерностей. Заметки лекций с 15-й летней школы математиков Park City Mathematics Institute (PCMI), состоявшейся в Park City, UT, летом 2006 г. , IAS/Park City Math. Ser., т. 15, Providence, RI: American Mathematical Society, стр.  9–20 , ISBN 978-0-8218-4766-4, МР  2503491
• Милнор, Джон В. (2011), «Дифференциальная топология сорок шесть лет спустя» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 58 (6): 804–809
• Монтесинос, Хосе М. (1983), «О близнецах в четырехмерной сфере I» (PDF) , The Quarterly Journal of Mathematics , 34 (6): 171– 199, doi :10.1093/qmath/34.2.171
• Плотник, Стивен П. (1984), Гордон, Кэмерон МакА. (ред.), Волокнистые узлы в – скрученные, прядильные, прокатные, хирургические и разветвленные${\displaystyle S^{4}}$ , Американское математическое общество, Contemporary Mathematics, том 35, стр.  437–459 , ISBN 978-0-8218-5033-6.
• Ван, Гочжэнь; Сюй, Чжоули (2017), «Тривиальность 61-ствола в стабильных гомотопических группах сфер», Annals of Mathematics , 186 (2): 501– 580, arXiv : 1601.02184 , doi : 10.4007/annals.2017.186.2.3, MR  3702672, S2CID  119147703.
• Рудяк, Юлий Б. (2001) [1994], "Сфера Милнора", Энциклопедия математики , EMS Press

• Экзотические сферы в Manifold Atlas
• Домашняя страница экзотической сферы на домашней странице Эндрю Раницки. Разнообразные исходные материалы, касающиеся экзотических сфер.
• Анимация экзотических 7-сфер Видео с презентации Найлза Джонсона на Второй Абелевской конференции в честь Джона Милнора .
• Конструкция Глюка на атласе Manifold