J-гомоморфизм

В математике J - гомоморфизм — это отображение гомотопических групп специальных ортогональных групп в гомотопические группы сфер . Он был определён Джорджем У. Уайтхедом  (1942), расширив конструкцию Хайнца Хопфа  (1935).

Исходный гомоморфизм Уайтхеда определяется геометрически и дает гомоморфизм

${\displaystyle J\двоеточие \pi _{r}(\mathrm {SO} (q))\to \pi _{r+q}(S^{q})}$

абелевых групп для целых чисел q и . (Хопф определил это для особого случая .)${\displaystyle r\geq 2}$${\displaystyle q=r+1}$

J - гомоморфизм можно определить следующим образом. Элемент специальной ортогональной группы SO( q ) можно рассматривать как отображение

${\displaystyle S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}}$

и гомотопическая группа ) состоит из гомотопических классов отображений из r -сферы в SO( q ). Таким образом, элемент из может быть представлен отображением${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$

${\displaystyle S^{r}\times S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}}$

Применение конструкции Хопфа к этому дает карту

${\displaystyle S^{r+q}=S^{r}*S^{q-1}\rightarrow S(S^{q-1})=S^{q}}$

в , который Уайтхед определил как образ элемента при J-гомоморфизме.${\displaystyle \пи _{r+q}(S^{q})}$${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$

Взяв предел при q, стремящемся к бесконечности, получаем стабильный J -гомоморфизм в стабильной гомотопической теории :

${\ displaystyle J \ двоеточие \ pi _ {r} (\ mathrm {SO}) \ to \ pi _ {r} ^ {S},}$

где — бесконечная специальная ортогональная группа, а правая часть — r -й стабильный стебель стабильных гомотопических групп сфер .${\displaystyle \mathrm {SO} }$

Образ J -гомоморфизма был описан Фрэнком Адамсом  (1966), предполагающим гипотезу Адамса (1963), которая была доказана Дэниелом Куилленом  (1971), следующим образом. Группа задается периодичностью Ботта . Она всегда циклическая ; и если r положительно, она имеет порядок 2 , если r равно 0 или 1 по модулю 8, бесконечность, если r равно 3 или 7 по модулю 8, и порядок 1 в противном случае (Switzer 1975, стр. 488). В частности, образ стабильного J -гомоморфизма является циклическим. Стабильные гомотопические группы являются прямой суммой (циклического) образа J -гомоморфизма и ядра e-инварианта Адамса (Adams 1966), гомоморфизма из стабильных гомотопических групп в . Если r равно 0 или 1 mod 8 и положительно, порядок образа равен 2 (поэтому в этом случае J -гомоморфизм инъективен ). Если r равно 3 или 7 mod 8, образ является циклической группой порядка, равного знаменателю , где — число Бернулли . В остальных случаях, когда r равно 2, 4, 5 или 6 mod 8, образ тривиален , поскольку тривиален. ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} )}$${\displaystyle \пи _{r}^{S}}$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle B_{2n}/4n}$${\displaystyle B_{2n}}$${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} )}$

г	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} )}$	1	2	1	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	1	1	1	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	2	2	1	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	1	1	1	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	2	2
${\displaystyle |\operatorname {im} (J)|}$	1	2	1	24	1	1	1	240	2	2	1	504	1	1	1	480	2	2
${\displaystyle \пи _{r}^{S}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	2	2	24	1	1	2	240	2 2	2 3	6	504	1	3	2 2	480×2	2 2	2 4
${\displaystyle B_{2n}}$				1 ⁄ 6				− 1 ⁄ 30				1 ⁄ 42				− 1 ⁄ 30

Майкл Атья  (1961) ввел группу J ( X ) пространства X , которая для сферы X является образом J -гомоморфизма в подходящей размерности.

Коядро J -гомоморфизма появляется в группе Θ _n классов h -кобордизма ориентированных гомотопических n -сфер (Косински (1992) ) .${\displaystyle J\двоеточие \pi _{n}(\mathrm {SO})\to \pi _{n}^{S}}$

• Атья, Майкл Фрэнсис (1961), «Комплексы Тома», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 11 : 291–310, doi :10.1112/plms/s3-11.1.291, MR  0131880
• Адамс, Дж. Ф. (1963), «О группах J(X) I», Топология , 2 (3): 181, doi : 10.1016/0040-9383(63)90001-6
• Адамс, Дж. Ф. (1965a), «О группах J(X) II», Топология , 3 (2): 137, doi : 10.1016/0040-9383(65)90040-6
• Адамс, Дж. Ф. (1965б), «О группах J(X) III», Топология , 3 (3): 193, doi :10.1016/0040-9383(65)90054-6
• Адамс, Дж. Ф. (1966), «О группах J(X) IV», Топология , 5 : 21, doi :10.1016/0040-9383(66)90004-8. "Исправление", Топология , 7 (3): 331, 1968, doi :10.1016/0040-9383(68)90010-4
• Хопф, Хайнц (1935), «Über die Abbildungen von Sphären auf Sphäre niedrigerer Dimension», Fundamenta Mathematicae , 25 : 427–440
• Косински, Антони А. (1992), Дифференциальные многообразия, Сан-Диего, Калифорния: Academic Press , стр. 195 и далее, ISBN 0-12-421850-4
• Милнор, Джон В. (2011), «Дифференциальная топология сорок шесть лет спустя» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 58 (6): 804–809
• Куиллен, Дэниел (1971), «Гипотеза Адамса», Топология , 10 : 67–80, doi :10.1016/0040-9383(71)90018-8, MR  0279804
• Свитцер, Роберт М. (1975), Алгебраическая топология — Гомотопия и гомология , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-06758-2
• Уайтхед, Джордж У. (1942), «О гомотопических группах сфер и группах вращений», Annals of Mathematics , Вторая серия, 43 (4): 634–640, doi :10.2307/1968956, JSTOR  1968956, MR  0007107
• Уайтхед, Джордж У. (1978), Элементы теории гомотопии , Берлин: Springer , ISBN 0-387-90336-4, МР  0516508