Конструкция сцепления

В топологии , разделе математики, конструкция сцепления представляет собой способ построения расслоений волокон, в частности векторных расслоений на сферах.

Рассмотрим сферу как объединение верхнего и нижнего полушарий и вдоль их пересечения, экватора, .${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle D_{+}^{n}}$${\displaystyle D_{-}^{n}}$${\displaystyle S^{n-1}}$

Даны тривиализированные расслоения волокон с волокном и структурной группой над двумя полусферами, затем дана карта (называемая картой сцепления ), склеиваем два тривиальных расслоения вместе с помощью f .${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f\двоеточие S^{n-1}\to G}$

Формально это соуравнитель включений через и : склеивает два пучка вместе на границе, с поворотом.${\displaystyle S^{n-1}\times F\to D_{+}^{n}\times F\coprod D_{-}^{n}\times F}$${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v)\in D_{+}^{n}\times F}$${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,f(x)(v))\in D_{-}^{n}\times F}$

Таким образом, у нас есть карта : захват информации на экваторе дает пучок волокон на всем пространстве.${\displaystyle \pi _{n-1}G\to {\text{Fib}}_{F}(S^{n})}$

В случае векторных расслоений это дает , и действительно, это отображение является изоморфизмом (при связной сумме сфер справа).${\displaystyle \pi _{n-1}O(k)\to {\text{Vect}}_{k}(S^{n})}$

Вышеизложенное можно обобщить, заменив и любой замкнутой триадой , то есть пространством X , вместе с двумя замкнутыми подмножествами A и B , объединение которых равно X. Тогда сцепляющее отображение на дает векторное расслоение на X.${\displaystyle D_{\pm }^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle (X;A,B)}$${\displaystyle A\cap B}$

Пусть будет расслоением со слоем . Пусть будет набором пар, таким, что является локальной тривиализацией над . Более того, мы требуем, чтобы объединение всех множеств было (т.е. набор является атласом тривиализаций ). ${\displaystyle p\двоеточие от M\до N}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle (U_{i},q_{i})}$${\displaystyle q_{i}\colon p^{-1}(U_{i})\to N\times F}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U_{i}\subset N}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \coprod _{i}U_{i}=N}$

Рассмотрим пространство по модулю , отношение эквивалентности эквивалентно тогда и только тогда, когда и . По замыслу локальные тривиализации дают послойную эквивалентность между этим факторпространством и расслоением .${\displaystyle \coprod _{i}U_{i}\times F}$${\displaystyle (u_{i},f_{i})\in U_{i}\times F}$${\displaystyle (u_{j},f_{j})\in U_{j}\times F}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \phi }$${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}(u_{j},f_{j})=(u_{i},f_{i})}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle p}$

Рассмотрим пространство по модулю отношение эквивалентности эквивалентно тогда и только тогда, когда и рассмотрим отображение, то мы требуем, чтобы . То есть, в нашей реконструкции мы заменяем волокно топологической группой гомеоморфизмов волокна, . Если известно, что структурная группа расслоения редуцирует, вы можете заменить ее на редуцированную структурную группу. Это расслоение с волокном и является главным расслоением. Обозначим его через . Отношение к предыдущему расслоению индуцируется из главного расслоения: . ${\displaystyle \coprod _{i}U_{i}\times \operatorname {Homeo} (F)}$${\displaystyle (u_{i},h_{i})\in U_{i}\times \operatorname {Homeo} (F)}$${\displaystyle (u_{j},h_{j})\in U_{j}\times \operatorname {Homeo} (F)}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \phi }$${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}}$${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}:U_{i}\cap U_{j}\to \operatorname {Homeo} (F)}$${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}(u_{j})(h_{j})=h_{i}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \operatorname {Гомео} (F)}$${\displaystyle \operatorname {Гомео} (F)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \operatorname {Гомео} (F)}$${\displaystyle p\colon M_{p}\to N}$${\displaystyle (M_{p}\times F)/\operatorname {Homeo} (F)=M}$

Итак, у нас есть главное расслоение . Теория классифицирующих пространств дает нам индуцированное расслоение с прямым проталкиванием , где — классифицирующее пространство . Вот схема:${\displaystyle \operatorname {Homeo} (F)\to M_{p}\to N}$${\displaystyle M_{p}\to N\to B(\operatorname {Homeo} (F))}$${\displaystyle B(\operatorname {Homeo} (F))}$${\displaystyle \operatorname {Гомео} (F)}$

Для данного -главного расслоения рассмотрим пространство . Это пространство является расслоением двумя различными способами:${\displaystyle G}$${\displaystyle G\to M_{p}\to N}$${\displaystyle M_{p}\times _{G}EG}$

1) Проекция на первый множитель: . В этом случае волокно равно , которое является стягиваемым пространством по определению классифицирующего пространства. ${\displaystyle M_{p}\times _{G}EG\to M_{p}/G=N}$${\displaystyle EG}$

2) Проецируем на второй множитель: . Волокно в этом случае равно . ${\displaystyle M_{p}\times _{G}EG\to EG/G=BG}$${\displaystyle M_{p}}$

Таким образом, мы имеем расслоение . Это отображение называется классифицирующим отображением расслоения , поскольку 1) главное расслоение является обратным протягиванием расслоения вдоль классифицирующего отображения и 2) Расслоение индуцируется из главного расслоения, как указано выше.${\displaystyle M_{p}\to N\simeq M_{p}\times _{G}EG\to BG}$${\displaystyle p\двоеточие от M\до N}$${\displaystyle G\to M_{p}\to N}$${\displaystyle G\to EG\to BG}$${\displaystyle p}$

Скрученные сферы иногда называют конструкцией «сцепного типа», но это заблуждение: на самом деле сцепная конструкция касается пучков волокон.

• В скрученных сферах вы склеиваете две половинки вдоль их границы. Половинки априори отождествляются (со стандартным шаром ), и точки на граничной сфере в общем случае не переходят в соответствующие им точки на другой граничной сфере. Это отображение : склеивание нетривиально в основании.${\displaystyle S^{n-1}\to S^{n-1}}$
• В конструкции сцепления вы склеиваете два пучка по границе их базовых полусфер. Граничные сферы склеиваются посредством стандартной идентификации: каждая точка переходит в соответствующую, но каждое волокно имеет скручивание. Это карта : склеивание тривиально в основании, но не в волокнах.${\displaystyle S^{n-1}\to G}$

Конструкция сцепления используется для формирования хиральной аномалии путем склеивания пары самодвойственных форм кривизны. Такие формы локально точны на каждой полусфере, поскольку они являются дифференциалами 3-формы Черна–Саймонса ; при склеивании их форма кривизны больше не является глобально точной (и, следовательно, имеет нетривиальную гомотопическую группу ).${\displaystyle \пи _{3}.}$

Аналогичные конструкции можно найти для различных инстантонов , включая модель Весса–Зумино–Виттена .

• Александр трюк

• Незавершенная книга Аллена Хэтчера «Векторные пучки и теория К», версия 2.0, стр. 22.

• конструкция сцепления на nLab