Двугранная треугольная призма
50-й Джонсон солидный
Двугранная треугольная призма
ТипДжонсон
Дж 49 – Дж 50 – Дж 51
Лица10 треугольников
1 квадрат
Края17
Вершины8
Конфигурация вершины 2 × 3 5 + 2 × 3 4 + 4 × 3 3 × 4 {\displaystyle 2\times 3^{5}+2\times 3^{4}+4\times 3^{3}\times 4}
Группа симметрии С 2 в {\displaystyle C_{2\mathrm {v} }}
Характеристикивыпуклый
Сеть
3D модель двугранной треугольной призмы

В геометрии двугранная треугольная призма — это многогранник, построенный из треугольной призмы путем присоединения двух равносторонних квадратных пирамид к двум ее квадратным граням . Это пример тела Джонсона . Его можно найти в стереохимии в двугранной тригональной призматической молекулярной геометрии .

Строительство

Двукратно увеличенная треугольная призма может быть построена из треугольной призмы путем присоединения двух равносторонних квадратных пирамид к ее двум квадратным граням, процесс, известный как аугментация . [1] Эти пирамиды покрывают квадратную грань призмы, поэтому полученный многогранник имеет 10 равносторонних треугольников и 1 квадрат в качестве своих граней. [2] Выпуклый многогранник, в котором все грани являются правильными многоугольниками, называется телом Джонсона . Двукратно увеличенная треугольная призма входит в их число и обозначается как 50-е тело Джонсона . [3] Дж. 50 {\displaystyle J_{50}}

Характеристики

Двунаправленная треугольная призма с длиной ребра имеет площадь поверхности, вычисляемую путем сложения десяти равносторонних треугольников и площади одного квадрата: [2] Ее объем можно получить, разрезав ее на правильную треугольную призму и две равносторонние квадратные пирамиды, и последовательно сложив их объемы: [2] а {\displaystyle а} 2 + 5 3 2 а 2 ≈ 5.3301 а 2 . {\displaystyle {\frac {2+5{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\approx 5.3301a^{2}.} 59 144 + 1 6 а 3 ≈ 0,904 а 3 . {\displaystyle {\sqrt {{\frac {59}{144}}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}}}a^{3}\приблизительно 0,904a^{3}.}

Он имеет трехмерную группу симметрии циклической группы 4-го порядка. Его двугранный угол можно вычислить, сложив угол равносторонней квадратной пирамиды и правильной треугольной призмы следующим образом: [4] С 2 в {\displaystyle C_{2\mathrm {v} }}

  • Двугранный угол двугранной треугольной призмы между двумя смежными треугольниками равен углу равносторонней квадратной пирамиды между двумя смежными треугольными гранями, арккос ⁡ ( − 1 / 3 ) ≈ 109.5 ∘ {\textstyle \arccos \left(-1/3\right)\approx 109.5^{\circ }}
  • Двугранный угол треугольной призмы, наращенной пополам, между квадратом и треугольником — это двугранный угол треугольной призмы между основанием и ее боковой гранью, π / 2 = 90 ∘ {\textstyle \pi /2=90^{\circ }}
  • Двугранный угол равносторонней квадратной пирамиды между треугольной гранью и ее основанием равен . Двугранный угол треугольной призмы между двумя смежными квадратными гранями равен внутреннему углу равностороннего треугольника . Таким образом, двугранный угол двугранной треугольной призмы между квадратом (боковой гранью треугольной призмы) и треугольником (боковой гранью равносторонней квадратной пирамиды) на ребре, где равносторонняя квадратная пирамида прикреплена к квадратной грани треугольной призмы, и между двумя смежными треугольниками (боковой гранью обеих равносторонних квадратных пирамид) на ребре, где две равносторонние квадратные пирамиды прикреплены смежно к треугольной призме, равен арктан ⁡ ( 2 ) ≈ 54,7 ∘ {\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54,7^{\circ }} π / 3 = 60 ∘ {\textstyle \pi /3=60^{\circ }} арктан ⁡ ( 2 ) + π 3 ≈ 114.7 ∘ , 2 арктан ⁡ ( 2 ) + π 3 ≈ 169.4 ∘ . {\displaystyle {\begin{aligned}\arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{3}}&\approx 114,7^{\circ },\\2\arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{3}}&\approx 169,4^{\circ }.\end{aligned}}}
  • Двугранный угол двугранной треугольной призмы между двумя смежными треугольниками (основанием треугольной призмы и боковой гранью равносторонней квадратной пирамиды) на ребре, где равносторонняя квадратная пирамида прикреплена к треугольной призме, равен: арккос ⁡ ( − 1 3 ) + π 2 ≈ 144,5 ∘ . {\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 144,5^{\circ }.}

Появление

Двукратно увеличенная треугольная призма может быть найдена в стереохимии как структурная форма химического соединения, известного как двушапочная тригональная призматическая молекулярная геометрия . Это одна из трех общих форм для комплексов переходных металлов с восемью вершинами, отличных от химической структуры, отличной от квадратной антипризмы и плосконосого дифеноида . Примером такой структуры является бромид плутония (III) PuBr 3, принятый бромидами и иодидами лантаноидов и актинидов . [ 5]

Ссылки

  1. ^ Раджваде, AR (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта. Тексты и чтения по математике. Hindustan Book Agency. стр. 84–89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
  2. ^ abc Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329– 352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
  3. ^ Фрэнсис, Даррил (август 2013 г.). «Твердые тела Джонсона и их сокращения». Word Ways . 46 (3): 177.
  4. ^ Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский журнал математики . 18 : 169– 200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
  5. ^ Уэллс, А. Ф. (1984). Структурная неорганическая химия (5-е изд.). Oxford University Press . стр. 78–79, 420–423. ISBN 978-0-19-965763-6.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Двунаправленная_треугольная_призма&oldid=1235955388"