узел-трилистник

Трилистник
Общее название	Узел сверху
Арф инвариант	1
Длина косы	3
Номер косы	2
Мост №.	2
Номер крестообразной крышки	1
Пересечение №	3
Род	1
Гиперболический объем	0
Номер палки.	6
Номер туннеля.	1
Распутывание нет.	1
нотация Конвея	[3]
Обозначение A–B	3 1
нотация Доукера	4, 6, 2
Последний /  Следующий	0 1 /  4 1
Другой
чередующийся , тор , волокнистый , крендель , простой , срез узла , обратимый , трехцветный , скручивание

В теории узлов , разделе математики , узел трилистник является простейшим примером нетривиального узла . Трилистник можно получить, соединив два свободных конца обычного узла , что приведет к завязанной петле . Как простейший узел, трилистник имеет основополагающее значение для изучения математической теории узлов.

Узел «Трилистник» назван в честь растения клевер с тремя листами (или трилистник).

Узел трилистник можно определить как кривую, полученную из следующих параметрических уравнений :

${\displaystyle {\begin{align}x&=\sin t+2\sin 2t\\y&=\cos t-2\cos 2t\\z&=-\sin 3t\end{align}}}$

(2,3) -торический узел также является узлом-трилистником. Следующие параметрические уравнения дают (2,3)-торический узел, лежащий на торе :${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$

${\displaystyle {\begin{align}x&=(2+\cos 3t)\cos 2t\\y&=(2+\cos 3t)\sin 2t\\z&=\sin 3t\end{align}}}$

Любая непрерывная деформация кривой выше также считается узлом-трилистником. В частности, любая кривая, изотопная узлу-трилистнику, также считается трилистником. Кроме того, зеркальное изображение узла-трилистника также считается трилистником. В топологии и теории узлов трилистник обычно определяется с помощью диаграммы узла вместо явного параметрического уравнения.

В алгебраической геометрии трилистник ^{также может быть} получен как пересечение в C2 единичной 3-мерной сферы ^S3 с комплексной плоской кривой нулей комплексного многочлена z2  +  w3 ( кубик ^с параболой ).

Если один конец ленты или ремня перевернуть три раза, а затем приклеить к другому, то край образует узел-трилистник. ^[1]

Узел трилистника является хиральным в том смысле, что узел трилистника можно отличить от его собственного зеркального отражения. Два результирующих варианта известны как левосторонний трилистник и правосторонний трилистник . Невозможно непрерывно деформировать левосторонний трилистник в правосторонний трилистник или наоборот. (То есть, два трилистника не являются окружающими изотопами .)

Хотя узел трилистника хиральный, он также обратим, что означает, что нет различия между трилистником, ориентированным против часовой стрелки , и трилистником, ориентированным по часовой стрелке. То есть хиральность трилистника зависит только от пересечений сверху и снизу, а не от ориентации кривой.

Но узел имеет вращательную симметрию. Ось находится около линии, перпендикулярной странице для трехцветного изображения.

Узел трилистник нетривиален, то есть невозможно «развязать» узел трилистник в трех измерениях, не разрезав его. Математически это означает, что узел трилистник не изотопен распутыванию . В частности, не существует последовательности движений Рейдемейстера , которая развяжет трилистник.

Доказательство этого требует построения инварианта узла , который отличает трилистник от триплета. Простейшим таким инвариантом является трехцветность : трилистник трехцветен, а триплет — нет. Кроме того, практически каждый главный многочлен узла отличает трилистник от триплета, как и большинство других сильных инвариантов узлов.

В теории узлов трилистник является первым нетривиальным узлом и единственным узлом с числом пересечений три. Это простой узел , и в нотации Александера-Бриггса он обозначен как 3 _1. Нотация Доукера для трилистника — 4 6 2, а нотация Конвея — [3].

Трилистник можно описать как (2,3)-торический узел . Это также узел, полученный путем замыкания косы σ ₁ ³ .

Трилистник — это чередующийся узел . Однако он не является срезанным узлом , то есть он не ограничивает гладкий 2-мерный диск в 4-мерном шаре; один из способов доказать это — заметить, что его сигнатура не равна нулю. Другое доказательство — его многочлен Александера не удовлетворяет условию Фокса-Милнора .

Трилистник является расслоенным узлом , что означает, что его дополнение в является расслоением над окружностью . Трилистник K можно рассматривать как множество пар комплексных чисел таких, что и . Тогда это расслоение имеет отображение Милнора как проекцию расслоения дополнения узла к окружности . Волокно является однократно проколотым тором . Поскольку дополнение узла также является расслоением Зейферта с границей, оно имеет горизонтальную несжимаемую поверхность — это также волокно отображения Милнора . (Это предполагает, что узел был утолщен, чтобы стать полноторусом N _ε ( K ), и что внутренняя часть этого полнотора была удалена, чтобы создать компактное дополнение узла .)${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle (z,w)}$${\displaystyle |z|^{2}+|w|^{2}=1}$${\displaystyle z^{2}+w^{3}=0}$ ${\displaystyle \phi (z,w)=(z^{2}+w^{3})/|z^{2}+w^{3}|}$${\displaystyle S^{3}\setminus \mathbf {K} }$${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{3}\setminus \operatorname {int} (\mathrm {N} _ {\varepsilon }(\mathbf {K})}$

Многочлен Александера узла трилистника равен , а многочлен Конвея равен ^[2] Многочлен Джонса равен , а многочлен Кауфмана трилистника равен Многочлен ХОМФЛИ трилистника равен Группа узлов трилистника задается представлением или, что эквивалентно, ^[3] Эта группа изоморфна группе кос с тремя нитями.$${\displaystyle \Дельта (t)=t-1+t^{-1},}$$$${\displaystyle \nabla (z)=z^{2}+1.}$$$${\displaystyle V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4},}$$$${\displaystyle L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}- 2а^{2}.}$$$${\displaystyle L(\alpha,z)=-\alpha ^{4}+\alpha ^{2}z^{2}+2\alpha ^{2}.}$$$${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle }$$$${\displaystyle \langle x,y\mid xyx=yxy\rangle .}$$

Как простейший нетривиальный узел, трилистник является распространенным мотивом в иконографии и изобразительном искусстве . Например, распространенная форма символа трикветра — трилистник, как и некоторые версии германского Валькнута .

В современном искусстве гравюра на дереве «Узлы » М. К. Эшера изображает три трилистника, чьи твердые формы скручены по-разному. ^[4]

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Узлы-трилистники» .

• Ссылка на крендель
• Узел «восьмерка» (математика)
• Символ трикветра
• узел «Пятнистость»
• Гордиев узел

• Вольфрамальфа: (2,3)-торический узел
• 3D модель узла трилистника